朱國(guó)仙 章顯聯(lián)

摘 ?要：“生動(dòng)”課堂不是平常意義上的“生動(dòng)”，還包括了另一種詮釋?zhuān)杭瓷皠?dòng)” ，包括學(xué)生“能說(shuō)”、“能做”、“能思”. 在高中數(shù)學(xué)課堂上，如何才能做到“生動(dòng)”呢？本文結(jié)合同課異構(gòu)的課《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》給予說(shuō)明.

關(guān)鍵詞：“生動(dòng)”;生“動(dòng)”;“可動(dòng)”;“會(huì)動(dòng)”;“愿動(dòng)”;“自然而動(dòng)”

？搖近日，紹興縣名師班成員活動(dòng)期間安排了兩節(jié)同課異構(gòu)的課，課題是《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》，筆者全程聽(tīng)了二位老師的精彩上課，并參與了課后的點(diǎn)評(píng). 大家一致認(rèn)為其中鄭老師開(kāi)設(shè)的課給人的感覺(jué)是很“生動(dòng)”，但絕不是平常意義上的“生動(dòng)”，還包括了另一種詮釋?zhuān)杭瓷皠?dòng)”. 以下是這節(jié)課的教學(xué)簡(jiǎn)錄及啟示.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 情境創(chuàng)設(shè)，引入課題

教師：很高興能和大家一起來(lái)研究數(shù)學(xué)，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)橢圓，提到橢圓，同學(xué)們并不陌生.

問(wèn)題1：你能舉出生活中的橢圓嗎？

學(xué)生舉例：小到我們常吃的一些蛋類(lèi)的外形，再到我們?cè)隈R路上見(jiàn)到的油罐車(chē)的橫截面，大到一些建筑，如漂亮的國(guó)家大劇院、世博會(huì)上令人目不暇接的沙特館，它們的外形都給我們以橢圓的印象，再大到轟動(dòng)世界觀的“神六”則賦予了橢圓更多的內(nèi)涵.

問(wèn)題2：我們已能畫(huà)圓，你能畫(huà)橢圓嗎？

教師在自制的紙板上做了演示后，請(qǐng)了幾位學(xué)生在紙板上演示.

（這樣的處理雖然少了點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的驚喜，但是這樣節(jié)約了時(shí)間，提高了課堂效率，為教學(xué)難點(diǎn)即橢圓的方程的推導(dǎo)提供了更充足的時(shí)間）

問(wèn)題3：“在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中什么是不動(dòng)的或者不變的？”“什么是運(yùn)動(dòng)的或變化的”？由此你們能說(shuō)出橢圓上的點(diǎn)的幾何特征嗎？ 并能歸納出橢圓的定義嗎？

學(xué)生1：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和保持不變的點(diǎn)的軌跡.

教師：也就是距離和永遠(yuǎn)是一個(gè)固定的值，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為定值的點(diǎn)的軌跡，一定是橢圓嗎？

學(xué)生2：不一定，如線(xiàn)段上所在的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值，但不是橢圓上的點(diǎn).

最后師生共同歸納出橢圓完整定義，并提醒學(xué)生：“認(rèn)準(zhǔn)商標(biāo)（PF1+PF2>F1F2），謹(jǐn)防假冒”.

2. 自主探究，意義構(gòu)建

問(wèn)題4：圓x2+y2=4橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半后成為橢圓，聯(lián)想橢圓的方程為_(kāi)_______（可利用幾何畫(huà)板課件演示，引導(dǎo)學(xué)生得出橢圓的方程）

問(wèn)題5：我們?nèi)绾吻髨A的方程？

學(xué)生3（笑）：“建設(shè)現(xiàn)（限）代化”.

問(wèn)題6：結(jié)合問(wèn)題4類(lèi)比圓，你覺(jué)得如何建立合適的坐標(biāo)系求橢圓的方程？

學(xué)生4：以F1F2所在直線(xiàn)為x軸，以F1F2的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

教師：還有其他建系方法嗎？

學(xué)生5：以F1F2所在直線(xiàn)為x軸，以F1或F2在為坐標(biāo)原點(diǎn).

教師：建系方法可以說(shuō)仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智，不同的建系方法下，我們會(huì)有不同的計(jì)算過(guò)程，得到不同方程，因此我們?cè)诮ㄏ档臅r(shí)候應(yīng)考慮圖形的幾何特征，如橢圓是有對(duì)稱(chēng)性. 學(xué)生4的建系方法，符合對(duì)稱(chēng)性，學(xué)生5的方法大家課后可以嘗試一下. 還有其他的對(duì)稱(chēng)的建系方法嗎？

學(xué)生6：以F1F2中點(diǎn)為原點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

問(wèn)題7：設(shè)P（x，y），由PF1+PF2=2a，得到方程+=2a后如何化簡(jiǎn)呢？

學(xué)生7：平方.

教師：我們是直接平方還是移項(xiàng)后平方？

學(xué)生7：移項(xiàng)后平方.

教師：這樣做是否合適呢？給大家一點(diǎn)時(shí)間嘗試一下，看看怎樣化簡(jiǎn)最合適. （學(xué)生討論，嘗試不同方法，教師巡視）

七分鐘后，教師挑了學(xué)生8和學(xué)生9上臺(tái)展示過(guò)程及結(jié)果：（a2-c2）x2+a2y2=a4-a2c2.

教師：方程改為（a2-c2）x2+a2y2=a4-a2c2后還能化簡(jiǎn)嗎？

學(xué)生10：因?yàn)閍2-c2>0，所以+=1.

教師：的確比以前美了，還能更美嗎？（這個(gè)問(wèn)題可以放給學(xué)生，讓學(xué)生去觀察，發(fā)現(xiàn)）

學(xué)生11：令a2-c2=b2，則+=1（a>b>0）.

教師：這個(gè)想法非常棒，即方程可化為+=1（a>b>0），這是所求橢圓方程，我們還要做什么？

學(xué)生12：一是驗(yàn)證橢圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)都是方程的解，二是驗(yàn)證方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.

教師：說(shuō)得非常好，這個(gè)工作留給同學(xué)課后去做.

教師：還有其他的推導(dǎo)方法嗎？學(xué)生的方法見(jiàn)2.4中的說(shuō)明.

教師：根據(jù)前面的討論，你能猜測(cè)學(xué)生6的建系方法可得到橢圓方程嗎？請(qǐng)大家利用課外時(shí)間推導(dǎo).

學(xué)生13：+=1（a>b>0）.

構(gòu)建1： 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+=1（a>b>0），

焦點(diǎn)不在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+=1（a>b>0）.

教師：很好，我們最終得到的兩個(gè)方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

構(gòu)建2：請(qǐng)?zhí)畋?.

問(wèn)題8：橢圓的兩種形式的方程有哪些共同特征？

學(xué)生14：方程的左邊是兩個(gè)式子的平方和，右邊都是1.

教師：（追問(wèn)1）它們表示的橢圓有何特點(diǎn)？

學(xué)生15：都是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.

教師：（追問(wèn)2）如何判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸？

學(xué)生16：焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，a2就扛著誰(shuí).

教師：該同學(xué)回答得很形象.

3. 數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化理解

例1 ?填空：已知橢圓的方程為：+=1，則a=______，b=______，c=______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：______焦距等于______;若CD為過(guò)左焦點(diǎn)F1的弦，則△F2CD的周長(zhǎng)為_(kāi)_______. （強(qiáng)調(diào)定義的應(yīng)用）

例2 ?如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

例3 ?兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-3，0）、（3，0），求到兩定點(diǎn)距離之和等于10的點(diǎn)P的軌跡方程.

思考：化簡(jiǎn)：

+=10.

例4 ?已知橢圓的兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），并且經(jīng)過(guò)，-，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

由學(xué)生說(shuō)解法，教師幫助板書(shū)，補(bǔ)充講解.

4. 課堂小結(jié)，提煉法

（1）知識(shí)點(diǎn)：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）數(shù)學(xué)方法：用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程;

（3）數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、類(lèi)比思想.

幾點(diǎn)啟示

“生動(dòng)”的課堂不僅是老師講得生動(dòng)，而且是學(xué)生能“動(dòng)”，包括學(xué)生“能說(shuō)”、“能做”、“能思”.在高中數(shù)學(xué)課堂上，如何才能做到“生動(dòng)”呢？受鄭老師的這節(jié)課的啟示，筆者收獲了以下幾點(diǎn)啟示：

1. 教師樹(shù)立“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考”作為最核心的教學(xué)任務(wù)的意識(shí)，立足學(xué)生“可動(dòng)”

教師最基本且重要的職責(zé)是教好課本，而“教課本”的核心是“教概念”，這是因?yàn)椋骸皵?shù)學(xué)是玩概念的”;概念中蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)思維，它對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考的訓(xùn)練價(jià)值最大;概念是思維的細(xì)胞，概念清楚了，思維的基礎(chǔ)就有了;將概念中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思維打開(kāi)，并用于訓(xùn)練學(xué)生，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的捷徑，也是提高高考成績(jī)的法寶;另外教師應(yīng)努力在知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

在選修2中，教材利用三種圓錐曲線(xiàn)進(jìn)一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題. 由于教材以橢圓為重點(diǎn)交代如何求方程、如何利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，在雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的教學(xué)中進(jìn)一步得到應(yīng)用和鞏固，因此“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”起到了承上啟下的重要作用. 在教師教學(xué)用書(shū)中明確指出，不僅要求學(xué)生能化簡(jiǎn)得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還要求學(xué)生掌握化簡(jiǎn)含根號(hào)等式的方法. 因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，鄭老師在這一部分做了較為充分的準(zhǔn)備，除教材中介紹的移項(xiàng)后兩次平方這種方法，又準(zhǔn)備了兩個(gè)預(yù)案：引入歷史上的賴(lài)特“平方差法”（共軛無(wú)理數(shù)對(duì)法）和洛比達(dá)“和差數(shù)”. 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生思維活躍，其中前一種方案得以實(shí)施，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)知識(shí)間的普遍聯(lián)系，更感受到了創(chuàng)新思維帶來(lái)的成就感和滿(mǎn)足感，教師確實(shí)做到了既講結(jié)果，更重過(guò)程和方法. 為保證課堂上有足夠的時(shí)間讓學(xué)生“可動(dòng)”， 鄭老師對(duì)課堂各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)與對(duì)時(shí)間進(jìn)行合理的分配. 如對(duì)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的處理，采用了課上猜想、課下證明的方式;本課的引人采用教師在自制的紙板上做了演示后，請(qǐng)了幾位學(xué)生在紙板上演示. 這樣的處理雖然少了點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的驚喜，但是這樣節(jié)約了時(shí)間，提高了課堂效率，為教學(xué)難點(diǎn)即橢圓的方程的推導(dǎo)提供了更充足的時(shí)間，保證了學(xué)生有足夠的時(shí)間“可動(dòng)”.

2. “循循善誘”中促進(jìn)學(xué)生“會(huì)動(dòng)”

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，有效的提問(wèn)才能保證探究的順其自然. 課堂提問(wèn)的有效性應(yīng)具有以下幾個(gè)特征：（1）可及性. 問(wèn)題的設(shè)計(jì)要結(jié)合學(xué)生一般認(rèn)知律，身心發(fā)展規(guī)律;（2）開(kāi)發(fā)性. 問(wèn)題富有層次感，入手較易，開(kāi)發(fā)性強(qiáng)，解決方案多，學(xué)生思維與創(chuàng)造的空間多;（3）挑戰(zhàn)性. 能引起學(xué)生的認(rèn)知，沖突與學(xué)習(xí)心向，能激發(fā)興趣，促進(jìn)學(xué)生積極參與，接受問(wèn)題的挑戰(zhàn);（4）體驗(yàn)性. 能給學(xué)生提供深刻體驗(yàn)，人人有所得，包括操作、探究的機(jī)會(huì)或替代性實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能感受，體驗(yàn)數(shù)學(xué).

在本節(jié)課的教學(xué)中， 鄭老師先后設(shè)置了八個(gè)問(wèn)題來(lái)推進(jìn)教學(xué). 問(wèn)題1可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣;問(wèn)題2與3通過(guò)師生的動(dòng)手操作，三個(gè)小問(wèn)題對(duì)學(xué)生提煉概念有很好的引導(dǎo)作用;問(wèn)題4設(shè)置是本節(jié)的一大亮點(diǎn)，一方面讓學(xué)生知道，圓按某個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓，另一方面為橢圓方程的化簡(jiǎn)指引方向; 問(wèn)題5、問(wèn)題6通過(guò)類(lèi)比圓的方程的推導(dǎo)方法自然想到橢圓方程的推導(dǎo)，問(wèn)題7在講解焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，只是一帶而過(guò)，“容易知道，此時(shí)（焦點(diǎn)在y軸上）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1（a>b>0）”，沒(méi)有過(guò)程. 其實(shí)這是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題的一個(gè)很好的機(jī)會(huì)，可引導(dǎo)學(xué)生抓住事物間聯(lián)系，化未知為已知，用已知解決未知，可以通過(guò)翻折和旋轉(zhuǎn)的方式實(shí)現(xiàn)圖形變換，從而利用焦點(diǎn)在x軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)在y軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免煩瑣、重復(fù)的推導(dǎo)過(guò)程（這過(guò)程可留在課外讓學(xué)生思考）. 但在橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程中，教師直接給出設(shè)繩長(zhǎng)為2a，兩點(diǎn)間距離為2c，沒(méi)有給學(xué)生足夠的時(shí)間與空間對(duì)比不同的設(shè)立參數(shù)方法對(duì)于計(jì)算和化簡(jiǎn)的影響，從思維的角度看是有損失的. 問(wèn)題8是引導(dǎo)學(xué)生如何區(qū)分與記憶橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后一句總結(jié)“焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，a2就扛著誰(shuí)”，這對(duì)學(xué)生記憶方程是很有幫助的.

3. “平等對(duì)話(huà)”中鼓勵(lì)學(xué)生“愿動(dòng)”

有人說(shuō)“課堂應(yīng)變成“學(xué)堂”，一字之差體現(xiàn)了不同的教育觀，后者體現(xiàn)了以“學(xué)生為主體”，但實(shí)際教學(xué)中，很多教師將教學(xué)目標(biāo)鎖定在完成教學(xué)任務(wù)上，更多的是采取“講授法”，而忽視了學(xué)生的表現(xiàn)，于是造成了課堂上學(xué)生“不愿動(dòng)”. 因此，每當(dāng)學(xué)生展示后，教師要對(duì)學(xué)生的成果及時(shí)做出點(diǎn)評(píng)，對(duì)其中正確成分要不吝惜贊美，使學(xué)生始終處在積極興奮的狀態(tài)中，讓師生“平等對(duì)話(huà)”成為學(xué)生主動(dòng)探究的加油站.

在本節(jié)課的教學(xué)中，鄭老師運(yùn)用多種形式對(duì)學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià). 在教學(xué)過(guò)程中鄭老師多次激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探究，如“很好”，“你的想法太妙了”，“回答得很棒”. 由于鄭老師不斷給學(xué)生“加油”，因此課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性很高.

4. 經(jīng)歷橢圓方程之旅，讓學(xué)生“自然而動(dòng)”

數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)是重教書(shū)輕育人，重分?jǐn)?shù)輕情感，重技術(shù)輕文化. 今天的中學(xué)教科書(shū)采用橢圓第一定義，并以此為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)兩次平方，推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 我們太熟悉這種方法，以致不會(huì)去想：橢圓的方程有怎樣的歷史發(fā)展過(guò)程，我們還有別的推導(dǎo)方法嗎？正是基于鄭老師對(duì)橢圓方程歷史的深刻認(rèn)識(shí)，本節(jié)課推導(dǎo)橢圓方程時(shí)用了多種方法，開(kāi)闊了學(xué)生的視野，教材中呈現(xiàn)的兩次平方法，不過(guò)是歷史上許多方法中的一種而已. 以下是學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程的一種方法：

因?yàn)镻F1=，PF=，所以PF -PF =4cx，

所以+=2a-==a+x+=1.

因此若要豐富橢圓方程的教學(xué)，拓實(shí)學(xué)生的思維，讓學(xué)生“自然而動(dòng)”，就需在歷史這座寶藏中汲取營(yíng)養(yǎng).