周佳

摘 ?要：本文從向量和直線在判斷平行、垂直時(shí)結(jié)論的相似性出發(fā)，來(lái)探討向量與直線的聯(lián)系，并利用向量作為工具來(lái)討論直線中的夾角問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：向量;平行;垂直;夾角;點(diǎn)到直線的距離

我們知， 對(duì)于直線l1：A1x+B1y+C1=0（A1，B1不全為0），l2：A2x+B2y+C2=0（A2，B2不全為0），有l(wèi)1∥l2？圳A1B2=A2B1，A1C2≠A2C1，l1⊥l2？圳A1A2+B1B2=0.

對(duì)于向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），有a∥b？圳x1y2=x2y1，a⊥b？圳x1x2+y1y2=0.

從上面兩個(gè)結(jié)論可以看出，直線和向量在判斷平行垂直時(shí)非常相似，二者必然有一定聯(lián)系，下面從幾個(gè)方面探討.

直線的平行與垂直

對(duì)于直線l：Ax+By+C=0（A，B不全為0），先討論A≠0，B≠0的情況，直線斜率為k=-=，易構(gòu)造向量（B，-A）∥l，又與l垂直的直線斜率為k==，則向量（A，B）⊥l.

易驗(yàn)證當(dāng)A=0或B=0時(shí)，上述結(jié)論仍然成立.

則對(duì)于直線l1：A1x+B1y+C1=0（A1，B1不全為0），有向量（B1，-A1）∥l1，向量（A1，B1）⊥l1，同理對(duì)于直線l2：A2x+B2y+C2=0（A2，B2不全為0），向量（B2，-A2）∥l2，向量（A2，B2）⊥l2.

因?yàn)楫?dāng)向量（B1，-A1）∥（B2，-A2）時(shí)，有A1B2=A2B1，則直線l1∥l2時(shí)，也有A1B2=A2B1.

因?yàn)楫?dāng)向量（A1，B1）⊥（A2，B2）時(shí)，有A1A2+B1B2=0，則直線l1⊥l2時(shí)，也有A1A2+B1B2=0.

從而探討出直線和向量在判斷平行垂直時(shí)相似的原因.

用向量求直線的夾角

當(dāng)直線l1與l2相交時(shí)，設(shè)夾角為θ（0<θ≤），由一知向量（B1，-A1）∥l1，向量（B2，-A2）∥l2，則向量（B1，-A1）與（B2，-A2）的夾角為θ或其互補(bǔ)角.

則利用向量的夾角公式推得cosθ=（B1，-A1）？搖×（B2，-A2）？搖

=.

用向量法另證點(diǎn)到直線的距離公式

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A，B不全為0，且Ax0+By0+C0≠0），我們知道教材中關(guān)于點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)運(yùn)算是比較麻煩的，下面用介紹兩種用向量推導(dǎo)的方法，并進(jìn)行比較.

方法一：如圖1，過(guò)P作PN⊥l交l于點(diǎn)N，在l上選取一點(diǎn)不同于N的點(diǎn)M（x1，y1），則Ax1+By1+C=0.

圖1

由一知向量（A，B）⊥l，則（A，B）∥. 又向量（x1-x0，y1-y0）∥，則∠MPN為向量（A，B）與（x1-x0，y1-y0）的夾角或互補(bǔ)角，由二知，=×cos∠MPN=×（A，B）？搖×（x1-x0，y1-y0）？搖

=×

=

=.

（根據(jù)Ax1+By1+C=0得）

方法二：由一知向量（A，B）⊥l，所以（A，B）∥，由共線定理知，存在λ，使得=λ（A，B）=（λA，λB），則點(diǎn)N（λA+x0，λB+y0），由于點(diǎn)N在l上，將點(diǎn)N代入l方程得：A（λA+x0）+B（λB+y0）+C=0，

解得λ=-.

所以=（λA，λB）=λ·=×=.

上面兩種方法可以看出向量作為一個(gè)工具來(lái)推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式比直接用平面幾何方法推導(dǎo)要簡(jiǎn)潔很多.

小結(jié)

本文從三個(gè)方面用向量探討了直線，可以看出向量和直線方程之間確實(shí)是緊密聯(lián)系、相互滲透的，而且向量也是一直探討直線方程的有效工具.