周瑞明

摘 ?要：在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生在解答完題目后進(jìn)行再思考，從重視一題多解、重視一題多變到培養(yǎng)學(xué)生抓住問(wèn)題本質(zhì)的能力，進(jìn)一步來(lái)鞏固所學(xué)知識(shí)和提高其解題能力，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)解題教學(xué)的價(jià)值，讓數(shù)學(xué)解題教學(xué)取得更好的效果.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);解題

在今年的高三復(fù)習(xí)備考中，筆者在函數(shù)的二輪復(fù)習(xí)中碰到了一道試題：2009年山東數(shù)學(xué)理科卷16題. 為了提高高三數(shù)學(xué)課堂復(fù)習(xí)的效率，對(duì)題目進(jìn)行深入的挖掘是一種很好的途徑，特別是歷年的高考試題. 本文將對(duì)該題目的探究歷程以試題解析、探究拓展、反思回顧等環(huán)節(jié)展現(xiàn)出來(lái)，供同仁參考.

原題呈現(xiàn)：（09山東數(shù)學(xué)理科卷16）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-8，8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=___________.

試題解析

f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x-4）=-f（x），此式隱含如下條件：函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱且f（0）=0;又由f（x-4）=-f（x）可得f（x-8）=f（x），所以函數(shù)f（x）是以8為周期的周期函數(shù)，這是從條件得到的另一個(gè)隱含條件. 這時(shí)函數(shù)f（x）具有的性質(zhì)就都暴露出來(lái)了，圖象也就很容易畫(huà)出來(lái). 如圖1所示，方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-8，8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1

由對(duì)稱性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

【命題立意】 ?本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性，以及由函數(shù)圖象解答方程問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問(wèn)題.

探究拓展

探究一：改變條件，鞏固相關(guān)知識(shí)

將試題中的“奇函數(shù)”改成“偶函數(shù)”，“f（x-4）=-f（x）”改成“f（x-4）=f（x）”，問(wèn)題改成：則方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-8，8]上實(shí)根的個(gè)數(shù)為：________.

分析：根據(jù)條件變化可畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象如下：

圖2

此時(shí)不難得到方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-8，8]上實(shí)根的個(gè)數(shù)情況：0個(gè)、4個(gè)或8個(gè).

探究二：弱化條件，提高問(wèn)題難度

在問(wèn)題中若將條件m>0去掉，則x1+x2+x3+x4的值會(huì)不會(huì)改變，如果會(huì)，答案又是什么？

分析：當(dāng)m>0時(shí)同上;

當(dāng)m=0時(shí)，方程f（x）=m在區(qū)間[-8，8]上有五個(gè)不同的根，不合題意;

當(dāng)m<0時(shí)，方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-8，8]上的四個(gè)不同根分別關(guān)于直線x=-2與直線x=6對(duì)稱，所以x1+x2+x3+x4=-4+12=8.

綜上得x1+x2+x3+x4=-8或8.

說(shuō)明：去掉條件m>0后，題目不僅考查了函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，還涉及分類(lèi)討論的思想，思維量增加，難度加深，更能考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

探究三：增加條件，命制新題

將問(wèn)題增加一個(gè)條件，就可以改變問(wèn)題的提問(wèn)方式. 將問(wèn)題改造為：

變式1：已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)且f（2）=3，若方程f（x）=m在區(qū)間[-8，8]上恒有四個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

分析：結(jié)合問(wèn)題的圖形不難得到實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-3，0）∪（0，3）.

說(shuō)明：通過(guò)改造本題不僅綜合考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及由函數(shù)圖象解答方程問(wèn)題，還涉及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

探究四：反思解法，拓展創(chuàng)新

變式2：已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-100，100]上的根從左向右依次記為a1，a2，a3，a4，…，則數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______，所有項(xiàng)的和Sn為_(kāi)_______.

圖3

分析：結(jié)合圖象及函數(shù)的周期性（T=8）不難得到數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為50，并且數(shù)列{an}的前兩項(xiàng)之和a1+a2，次兩項(xiàng)之和a3+a4，再兩項(xiàng)之和a5+a6，…，構(gòu)成等差數(shù)列，

所以S50=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a49+a50）

=2·（-94）+2·（-86）+…+2·98

=2·（-94-86-78-…+98）

=100.

說(shuō)明：通過(guò)改編，變式2涉及的知識(shí)面更廣，不僅有抽象函數(shù)的性質(zhì)，還與數(shù)列的分組求和緊密聯(lián)系起來(lái)，這就對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力提出了更高的要求，同時(shí)還考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.

反思回顧，透析本質(zhì)

從問(wèn)題的解答過(guò)程可以看到，由題目的已知條件：奇函數(shù)和關(guān)系式f（x-4）= -f（x）得到函數(shù)關(guān)于直線x=-2對(duì)稱是非常關(guān)鍵的一步. 而關(guān)系式f（x-4）=-f（x）實(shí)際上隱含著周期性，也就是由函數(shù)的奇偶性、周期性可以得到函數(shù)具有對(duì)稱性，因此可以得到一般情況下的結(jié)論：

性質(zhì)1 若f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+a）=f（x-a），a∈R+，則f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，即f（x+a）=f（a-x）.

證明：f（x+a）=f（x-a）=f[-（a-x）]

=f[（a-x）]，

所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

性質(zhì)2 若f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+a）=f（a-x），a∈R+，則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，即f（x+2a）=f（x）.

證明：f（x）=f[a-（a-x）]=f[a+（a-x）]

=f（2a-x）

=f[-（x-2a）]

=f（x-2a），

所以f（x+2a）=f（x），即f（x）為周期函數(shù).

性質(zhì)3 若f（x）為定義在R上的函數(shù)，關(guān)于直線x=a對(duì)稱，即f（x+a）=f（a-x），且滿足f（x+a）=f（x-a），a∈R+，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，即f（-x）=f（x）.

證明：因?yàn)閒（x+a）=f（a-x），f（x+a）=f（x-a），a∈R+，

所以f（a-x）=f（x-a），

所以f（-x）=f[a-（x+a）]=f[（x+a）-a]=f（x），

即函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

性質(zhì)4 若f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+a）=-f（x），a∈R+，則f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，即f+x=f-x.

性質(zhì)5 若f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f+x=f-x，a∈R+，則函數(shù)f（x）是以2a為周期的周期函數(shù)，即f（x+2a）=f（x）.

性質(zhì)6 若f（x）為定義在R上的函數(shù)，關(guān)于直線x=（a∈R+）對(duì)稱，即f+x=f-x，且滿足f（x+a）=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）.

說(shuō)明：從上面我們可以發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)函數(shù)具有：奇偶性、周期性、對(duì)稱性中的兩個(gè)，那就可以推出它具有第三個(gè)性質(zhì). 這就是題目的隱含條件，能否找出隱含條件經(jīng)常是解決問(wèn)題的突破口. 對(duì)于以上性質(zhì)我們只要知道有這么一種情況就可以，不需要去死記硬背，但關(guān)鍵要掌握推導(dǎo)方法.

結(jié)束語(yǔ)

目前，我們都有一個(gè)共識(shí)，那就是減輕學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，讓他們輕松而愉快地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)好數(shù)學(xué). 對(duì)于這一點(diǎn)，筆者認(rèn)為，只有教師跳入“題?！?，進(jìn)行大量的對(duì)試題的文化價(jià)值、思維價(jià)值、方法價(jià)值、教學(xué)價(jià)值的研究、思考和總結(jié)，才能夠達(dá)到“通過(guò)對(duì)有限道題的解題教學(xué)，讓學(xué)生領(lǐng)悟一種解許多道題甚至是無(wú)限道題也未必能生成的數(shù)學(xué)機(jī)智”的效果，也才能讓學(xué)生真正地跳出題海，提高數(shù)學(xué)能力同時(shí)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，從而真正減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力.