黃國麗

摘 ?要：本文以2014年江蘇高考卷上與恒成立有關(guān)的4道題目為基本素材，對恒成立問題進行剖析. 恒成立問題一直是高考中的重點、熱點問題，今年江蘇高考卷上還出現(xiàn)了以恒成立問題為背景的應(yīng)用題，命題的新穎性與創(chuàng)造性進一步加強. 恒成立問題綜合性較強，常滲透著數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等重要數(shù)學(xué)思想，有效地考查學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟程度，考查了學(xué)生的思維能力和解題能力.

關(guān)鍵詞：恒成立;參數(shù);數(shù)形結(jié)合;應(yīng)用題;函數(shù)

恒成立問題一直是高考中的重點、熱點問題，涉及內(nèi)容較多，可考查函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用建模等諸多方面的知識，題目靈活多變，綜合性強. 以恒成立問題為背景的創(chuàng)新題多，可培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題、綜合運用知識的能力. 因此每年許多省市的高考題中都會有此類問題出現(xiàn). 本文以2014年江蘇高考卷上的4道與恒成立相關(guān)的問題為基本素材，對“恒成立”問題做如下剖析.

含參數(shù)不等式（或等式）中的恒成立問題常用分離參數(shù)法

在解決不等式（或等式）恒成立問題時，用得較多的一種方法就是分離參數(shù)法. 當(dāng)參數(shù)可以分離時，就把所需考查的某個參數(shù)a從不等式（或等式）中分離出來，變形為形如a>f（x）或a

例1 ?（2014江蘇高考第19題）已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù);

（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍;

解析：（1）略;第（2）個問題是一種典型的含參數(shù)不等式的恒成立問題，此類問題的方法是分離參數(shù)m，轉(zhuǎn)化為m≤g（x）的形式，再通過研究g（x）的最值來得到m的范圍.

解：（1）？坌x∈R，f（-x）=e-x+ex=f（x），所以f（x）是R上的偶函數(shù).

（2）解法一：由題意，m（e-x+ex）≤e-x+m-1，即m（ex+e-x-1）≤e-x-1.

因為x∈（0，+∞），所以ex+e-x-1>0，即m≤，對x∈（0，+∞）恒成立.

令t=ex（t>1），則m≤對任意t∈（1，+∞）恒成立.

因為=-= -≥-，當(dāng)且僅當(dāng)t=2即x=ln2時，等號成立.

所以m≤-.

（2）解法二：由題意，m（e-x+ex）≤e-x+m-1，即m（ex+e-x-1）≤e-x-1.

因為x∈（0，+∞），所以ex+e-x-1>0，即m≤對x∈（0，+∞）恒成立，

令g（x）=，t=ex（t>1），所以g（t）==，

即m≤g（t）對任意t∈（1，+∞）恒成立，

因為g′（t）=，

所以g（t）的單調(diào)減區(qū)間為（1，2），g（t）的單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）

所以當(dāng)且僅當(dāng)t=2即x=ln2時，g（t）的最小值為g（2）=-，

所以m≤-.

點評：解決此類問題時注意運用函數(shù)與方程的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想來解決問題.

利用數(shù)形結(jié)合的思想來研究恒成立問題

有時恒成立問題如果用分離參數(shù)的方法往往需要討論，甚至難以分離出參數(shù)，這時我們可以通過將不等式（等式）整理成一邊為函數(shù)，另一邊為常數(shù)的形式，從而問題又轉(zhuǎn)化為研究一個函數(shù)的最值問題，而對函數(shù)可利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖象，直觀、自然地想到解決問題的方法. 比如對于一元二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c分別作開口向上和開口向下兩種情況，容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a>0時，若對于任意x∈[m，n]都有f（x）<0恒成立，則f（m）<0，f（n）<0;當(dāng)a<0時，若對于任意x∈[m，n]都有f（x）>0恒成立，則f（m）>0，f（n）>0.

例2 ?（2014江蘇高考第10題）已知函數(shù)f（x）=x2+mx-1，若對于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.

解析：本題也是一道恒成立問題，可用分離參數(shù)法，將mx<1-x2中的x分離過去. 因為x∈[m，m+1]，所以需要討論x的正負，需要討論m與-1，0的關(guān)系. 如果我們研究這個不等式的左邊的函數(shù)，發(fā)現(xiàn)這個二次函數(shù)開口向上，要對于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，只要兩個端點處f（m）<0，f（m+1）<0即可，這樣問題就可以順利地得到解決.

解：由題意，二次函數(shù)f（x）=x2+mx-1的開口向上，要對于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，只要

f（m）<0，f（m+1）<0？圯

f（m）=m2+m2-1<0，f（m+1）=（m+1）2+m（m+1）-1<0？圯-

點評：恒成立問題雖然用得較多的一種方法是分離參數(shù)法，但分離參數(shù)需要討論時，常常不分離參數(shù)，而用研究整體函數(shù)的思想便可以避免討論，從而達到簡化的目的. 研究整體函數(shù)時，有時還需要借助于導(dǎo)數(shù)這個工具來作出函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合的思想，可以直觀、快速地使恒成立問題得到解決.

以恒成立問題為背景的應(yīng)用題要弄清恒成立問題的本質(zhì)

2014年江蘇高考卷上試題涉及恒成立的問題類型廣泛. 其中還以恒成立問題為背景設(shè)計了應(yīng)用題，其命題具有鮮明的時代特征，體現(xiàn)出命題的新穎性與創(chuàng)新性.

例3 ?（2014年江蘇高考第18題）

如圖1，為了保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護區(qū). 規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓. 且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于800 m. 經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60 m處，點C位于點O正東方向170 m處（OC為河岸），tan∠BCO=.

（1）求新橋BC的長;

（2）當(dāng)OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？

圖1

解析：第（1）題略;（2）求面積最大，即求半徑最大，設(shè)MD=r m，OM=d m（0≤d≤60），由于第（1）小題有兩種常用解法，就導(dǎo)致第（2）題也有兩種方法用d來表示半徑r，從而得到統(tǒng)一的r=，題目中的O和A到圓M上任意一點P的距離均不少于80 m，這其實就是以恒成立問題為背景的一道應(yīng)用題，問題的本質(zhì)是要OP≥80，AP≥80.先研究要OP≥80，由于OP≥MP-MO恒成立，所以問題轉(zhuǎn)化為：因為OP≥r-d恒成立，要OP≥80，根據(jù)子集間的關(guān)系，只要r-d≥80;同理要AP≥80，只要r-（60-d）≥80，從而得到r與d就滿足的不等式，再將r=代入，得d的取值范圍，再利用d的取值范圍求出半徑最大值，問題得到解決.

解法一：

（1）如圖2，以O(shè)為坐標原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy.

圖2

由條件知A（0，60），C（170，0），

直線BC的斜率kBC=-tan∠BCO= -.

又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率kBC=.

設(shè)點B的坐標為（a，b），

則kBC==- .

kAB==.

解得a=80，b=120.所以BC==150.

因此新橋BC的長是150 m .

（2）設(shè)保護區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM=d m（0≤d≤60），

由條件知，直線BC的方程為y=-·（x-170），即4x+3y-680=0，

由于圓M與直線BC相切，故點M（0，d）到直線BC的距離是r，

即r==.

因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m，

所以r-d≥80，r-（60-d）≥80，

即-d≥80，-（60-d）≥80，

解得10≤d≤35.

故當(dāng)d=10時，r=最大，即圓面積最大.

所以當(dāng)OM=10 m時，圓形保護區(qū)的面積最大.

解法二：（1）如圖3，延長OA，CB交于點F.

圖3

因為tan∠BCO=，所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.

因為OA=60，OC=170，

所以O(shè)F=OCtan∠FCO=，

CF==，從而AF=OF-OA=.

因為OA⊥OC ，

所以cos∠AFB=sin∠FCO=.

又因為AB⊥BC，

所以BF=AFcos∠AFB=，

從而BC=CF-BF=150.

因此新橋BC的長是150 m.

（2）設(shè)保護區(qū)的邊界圓M與BC的切點為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD=r m，OM=d m（0≤d≤60）.

因為OA⊥OC，

所以sin∠CFO=cos∠FCO，

故由（1）知，

sin∠CFO====，所以r=.

因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m，

所以r-d≥80，r-（60-d）≥80，

即-d≥80，-（60-d）≥80，

解得10≤d≤35.

故當(dāng)d=10時，r=最大，即圓面積最大.

所以當(dāng)OM=10 m時，圓形保護區(qū)的面積最大.

點評：此題雖然看上去是一道應(yīng)用題，但我們建立數(shù)學(xué)模型后再弄清這里恒成立的本質(zhì)便能將問題順利解決.用子集的關(guān)系，可以得到：

當(dāng)A≤B恒成立時，要A≤C，則B≤C;當(dāng)A≥B恒成立時，要A≥C，則B≥C;當(dāng)A≤B恒成立時，又已知A≤C，則B≤C;當(dāng)A≥B恒成立時，又已知A≥C，則B≥C.

與自然數(shù)有關(guān)的恒成立問題

在理科的附加題中，常會出現(xiàn)與自然數(shù)有關(guān)的恒成立，此類問題有兩種常見解決方法，一是用數(shù)學(xué)歸納法來證明，二是利用二項式定理，也可能會與數(shù)列有關(guān)，或者對函數(shù)中的自變量進行賦值等等. 命題較難時，為了適當(dāng)降低難度，試題常以兩問出現(xiàn)，第一小問的結(jié)論常用來暗示第二小問.

例4 ?（2014年江蘇高考第23題）

已知函數(shù)f0（x）=（x>0），設(shè)fn（x）為fn-1（x）的導(dǎo)數(shù)，n∈N*.

（1）求2f1+f2的值;

（2）證明：對任意的n∈N*，等式nfn-1+fn=都成立.

解析：此題的第一小題不困難，按部就班就可以求出來，但第二小題“對任意的n∈N*，

等式nfn-1+fn=成立”，

對這樣一個恒成立問題，顯然不可能把n的值一個個驗證，但仔細觀察第一問與第二問，就會發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)造函數(shù)g（x）=nfn-1（x）+xfn（x）. 通過用對n取特殊值來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到等式nfn-1（x）+xfn（x）=sinx+. 因為是歸納猜想，所以可以利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，證到之后再將等式中的x用來賦值即可.

解：（1）略

（2）證明：由已知，得xf0（x）=sinx，等式兩邊分別對x求導(dǎo)，得f0（x）+xf ′0（x）=cosx，即f0（x）+xf1（x）=cosx=sinx+，類似可得

2f1（x）+xf2（x）=-sinx=sin（x+π），

3f2（x）+xf3（x）=-cosx=sinx+，

4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1（x）+xfn（x）=sinx+對所有的n∈N*都成立.

（Ⅰ）當(dāng)n=1時，由上可知等式成立.

（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即kfk-1（x）+xfk（x）=sinx+.

因為[kfk-1（x）+xfk（x）]′=kf ′k-1（x）+fk（x）+xf ′k（x）=（k+1）fk（x）+xfk+1（x），

sinx+′=cosx+·x+′=sinx+，所以（k+1）fk（x）+xfk+1（x）=sinx+.

所以當(dāng)n=k+1時，等式也成立.

綜合（Ⅰ）（Ⅱ）可知等式nfn-1（x）+xfn（x）=sinx+對所有的n∈N*都成立.

令x=，可得nfn-1+fn=sin+（n∈N*）.

所以nfn-1+fn=（n∈N*）.

點評：解決本題中的恒成立問題的關(guān)鍵是先根據(jù)題意，通過觀察與猜想，構(gòu)造函數(shù)，發(fā)現(xiàn)等式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，然后對函數(shù)中的x進行賦值，從而得到最終所求的等式. 本題中的恒成立問題運用了數(shù)學(xué)歸納法以及函數(shù)與方程的思想.

綜上所述，恒成立問題題型多樣，背景豐富，綜合性強，我們要具體問題具體分析. 但我們要重視以下幾點：1. 注重通解通法，比如分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，有時不可避免地要進行分類討論. 2. 遇到新的背景下的問題要弄清問題的本質(zhì)，學(xué)會將不熟悉的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的甚至是模式化的問題. 3. 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究的重要手段之一，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，可見數(shù)和形有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透. 正因為恒成立問題常涉及高中數(shù)學(xué)的四大數(shù)學(xué)思想，所以2014年江蘇高考卷上的這4道有關(guān)恒成立的命題，其命題的動向是值得廣大師生深入思考和研究的.