朱振華

摘 ?要：一題多解是對同一個(gè)問題從不同的角度進(jìn)行觀察和思考，溝通知識之間的聯(lián)系，分析各種解題方法之間的差別，找到最佳的解法，對培養(yǎng)和開拓學(xué)生的發(fā)散思維能力有很大的幫助. 本文通過對一道高考數(shù)學(xué)題的幾種解法的探究，旨在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力及分析、解決問題的能力，以提升學(xué)生的解題能力.

關(guān)鍵詞：一題多解;發(fā)散思維;培養(yǎng)

一題多解就是對同一個(gè)數(shù)學(xué)問題從不同的角度進(jìn)行觀察和思考，溝通知識之間的聯(lián)系，進(jìn)而分析各種解題方法之間的差別，并由此找到最佳的解法，對培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力以及分析問題和解決問題的能力是極大的幫助. 因此，我們在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中尤其是在高三復(fù)習(xí)課中提倡一題多解的深入探究，這對開拓參加高考考生的發(fā)散思維尤為重要. 筆者通過對近年一道高考數(shù)學(xué)題的幾種解法的探究分析，旨在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力及分析、解決問題的能力，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

題目 在△ABC中，已知·=3·.

（1）求證：tanB=3tanA;

（2）若cosC=，求A的值. （2012年江蘇高考數(shù)學(xué)第15題）

解析：（1）因?yàn)椤?3·，所以AB·AC·cosA=3BA·BC·cosB，即AC·cosA=3BC·cosB.

由正弦定理，得=，所以sinB·cosA=3sinA·cosB. 又因?yàn)?0，cosB>0.

所以=3·， 即tanB=3tanA.

（2）因?yàn)閏osC=，0

由（1），得=-2，

解得tanA=1，tanA=-.

因?yàn)閏osA>0，所以tanA=1. 所以A=.

評注：本題作為江蘇高考數(shù)學(xué)第15題，雖難度不大，但考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正切公式、解三角形、平面向量的數(shù)量積等知識，綜合性比較強(qiáng)，并且對運(yùn)算求解能力和推理論證能力做了考查. 在（1）中先將·=3·表示成數(shù)量積，再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明;在（2）中由cosC=可求tanC，由三角形的三角關(guān)系，得到tan[π-（A+B）]，從而根據(jù)兩角和的正切公式和（1）中的結(jié)論即可求得A的值.

以上是江蘇教育考試院給出的一種參考解答，對本題第（2）問也可以采用這樣幾種解法，供大家參考.

解法1：因?yàn)閏osC=，0

由（1），tanB=3tanA，B=π-（A+C），得 -tan（A+C）=3tanA，-=3tanA.又tanC=2，所以tanA=1，A=.

評注：這種解法直接通過cosC=>0、角C為三角形的內(nèi)角，將角C縮小為0

解法2：由cosC=，0

所以sinA·+cosA··cosA=-3cosA·-sinA·sinA，即4sinAcosA=6sin2A-2cos2A=6-8cos2A，故sin2A+2cos2A=1.

又sin22A+cos22A=1，解得sin2A=1或-. 因?yàn)?<2A<π，所以sin2A=1，所以2A=，A=.

評注：本解法也是在高考過程中很多學(xué)生一開始想到的一個(gè)思路，通過已知cosC=，由余弦想到要求出A的正余弦值，但是在具體操作過程中直接求出單角A不是太容易. 由（1）中sinBcosC=3cosBsinA，B=π-（A+C），轉(zhuǎn)化為關(guān)于A，C的三角關(guān)系式，特別是轉(zhuǎn)化到sin2A+2cos2A=1. 解出sin2A=1或-是本解法的關(guān)鍵.

解法3：由cosC=，0

評注：本解法同樣是求出角A的某個(gè)三角函數(shù)值，從而求出角A.但在本題解法中，我們用到了三角形中的一個(gè)結(jié)論：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，又根據(jù)（1）的結(jié)論tanB=3tanA，得出4tanA+2=3tan2A·2，進(jìn)而求出角A的正切值tanA=1.

解法4：由·=3·，

得bccosA=3accosB.

又cosA=，cosB=，

所以2a2-2b2+c2=0，而cosC=，所以=，所以=，=，所以cosA==，所以A=.

評注：本解法完全打破了前面幾種解法的解題思路，而是利用余弦定理將bccosA=3accosB，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系：2a2-2b2+c2=0，=，=，再次利用余弦定理求出cosA=，由角轉(zhuǎn)邊，再由邊轉(zhuǎn)角不失為一種較好的思路.

反思：對于考生來講，由于在思維的角度、水平和方式等方面存在差異性，故在考試過程中想到或快速找到的解決方法也不同. 很多考生解決時(shí)往往根據(jù)cosC的條件，可能只想到求出sinA或cosA，阻礙了思路，因此沒有很順利地找到最佳方法，也影響了考試時(shí)的心態(tài).如果能拓寬思路，轉(zhuǎn)化角度，發(fā)散思維，用提供的第一種解法求出tanA，這個(gè)問題就迎刃而解了，而本文的另外幾種解法給大家開闊了思路，對培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維有一定的幫助.

一題多解作為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一種常見方法，對學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)和提高有較大的作用，也是創(chuàng)新能力，分析、解決問題能力的培養(yǎng)的有效方法之一. 一題多解的思維策略往往要注重聯(lián)想、類比、反思，把一個(gè)新的問題轉(zhuǎn)化為某一個(gè)已經(jīng)解決或較易解決的問題，最終實(shí)現(xiàn)問題的解決，同時(shí)對學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的減輕，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率大有幫助. 探究一題多解，開拓發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，使學(xué)生能夠全面地發(fā)展成為具有探索科學(xué)精神，擁有良好創(chuàng)新思維品質(zhì)的新時(shí)代高素質(zhì)人才.