何秀杰

摘 ?要：現(xiàn)行教材下的誘導(dǎo)公式具有兩大問題：由誘導(dǎo)公式本身給出的運(yùn)算規(guī)則，只能得出結(jié)果的絕對(duì)值，不能確定符號(hào)，因此是半個(gè)完全公式，尚待完善;誘導(dǎo)公式太多，有6組，每組4個(gè)共24個(gè)，其符號(hào)需另外再看象限及函數(shù)名稱來確定，也有24種，相當(dāng)復(fù)雜. 對(duì)此，本文給出一組新的誘導(dǎo)公式，并將其應(yīng)用于具體的例子中.

關(guān)鍵詞：三角基本性質(zhì);誘導(dǎo)公式;升級(jí)換代

筆者認(rèn)為現(xiàn)行教材下的誘導(dǎo)公式具有如下問題：由誘導(dǎo)公式本身給出的運(yùn)算規(guī)則，只能得出結(jié)果的絕對(duì)值，不能確定符號(hào)，因此是半個(gè)完全公式，尚待完善;誘導(dǎo)公式太多，有6組，每組4個(gè)共24個(gè)，其符號(hào)需另外再看象限及函數(shù)名稱來確定，也有24種，相當(dāng)復(fù)雜.

下面介紹一組新公式

sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα， n∈z.

可以解決上述問題.

證明如下：

證法一：由和角公式Sα+β，sin（nπ+α）=sinnπcosα+cosnπsinα=cosnπsinα=（-1）nsinα，（cosnπ=（-1）n）.

由和角公式Cα+β，cos（nπ+α）=cosnπcosα-sinnπsinα=cosnπcosα=（-1）ncosα.

所以sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα， n∈z.可見公式nπ+α是獨(dú)立于誘導(dǎo)公式之外的新公式，顯然nπ+α（n∈z，α∈R）包含2kπ±α，π±α，且結(jié)果的符號(hào)由公式中的（-1）n自動(dòng)確定.

下面介紹公式nπ+α的幾何意義.

證法二：如圖1，將任意角α的終邊OP1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)π，得角π+α，這時(shí)點(diǎn)P1到達(dá)P2，由于P1，P2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)P1（x，y），則P2（-x，-y），令OP1=r，由此

sinα=，cosα=，

sin（π+α）==-sinα，

cos（π+α）==-cosα，

所以sin（π+α）=- sinα，

cos（π+α）=-cosα.

由于α的任意性，則

sin（2π+α）=sin[π+（π+α）]=-sin（π+α）=-（-sinα）=（-1）2sinα，

sin（3π+α）= sin[π+（2π+α）]=-sin（2π+α）=（-1）3sinα，

一般地，sin（nπ+α）= （-1）nsinα（n∈z+）.

同理，cos（nπ+α）= （-1）ncosα（n∈z+），

顯然，tan（nπ+α）=tanα（n∈z+）.

若將角α的終邊OP1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)-π，得角-π+α. 這時(shí)點(diǎn)P1（x，y）仍到達(dá)點(diǎn)P2（-x，-y）的位置.

顯然sin（-π+α）=-sinα，

cos（-π+α）=-cosα，

采取同樣的過程可以得到

sin（-nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z+），

cos（-nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z+）.

又（-1）-n==（-1）n.

所以，sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），

cos（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z）.

這樣我們得到下面公式：

對(duì)于任意角α，有

sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），

cos（nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z）.

這個(gè)證法構(gòu)造了公式nπ+α的幾何意義，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的模型，它直觀地告訴了我們一個(gè)重要規(guī)律：sinα，cosα隨角的變化，每增加一個(gè)π（-π），函數(shù)值改變一次符號(hào)，絕對(duì)值不變. 它的代數(shù)表達(dá)即公式：

sin（nπ+α）=（-1）nsinα（n∈z），cos（nπ+α）=（-1）ncosα（n∈z）.

有了這組公式，再與–α的公式配合，就可將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名的銳角三角函數(shù). 這樣就可用公式nπ+α替代2kπ±α，π±α，所以同時(shí)用二組公式2kπ±α，π±α解決的問題，用公式nπ+α一次就解決了. 因此用nπ+α解答問題，一般可將過程精減一半，且符號(hào)隨（-1）n（n∈z）給出，省去了用誘導(dǎo)公式“符號(hào)看象限”最復(fù)雜的部分，因此題的難度至少降低.

在應(yīng)用nπ+α?xí)r，

1. 將角化為nπ+α（n∈z）的形式.

2. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，符號(hào)為“+”，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，符號(hào)為“—”，轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù).

例1 求下列三角函數(shù)的值

（1）cos1290°=cos（7×180°+30°）= -cos30°=-，

（2）2kπ+α，π+α.

下面用2kπ+α，π+α來解：

（1）解：cos1290°=cos（360°×3+210°）=cos210°=cos（180°+30°）

=-cos30°=-.

后者增加了兩個(gè)步驟，又有兩次“符號(hào)看象限”復(fù)雜的判斷.

（2）解：sin-π=-sinπ= -sin4π+π=-sinπ=-sinπ+

=sin=.

后者增加了兩個(gè)步驟，又有兩次“符號(hào)看象限”復(fù)雜的判斷.

比較前后兩種解法，使用公式nπ+α過程減少，難度至少降低3/4.

例2 （2011武漢調(diào)研）已知函數(shù)f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，又知f（2011）=-1，求f（2012）的值.

用公式2kπ±α，π±α來解（標(biāo)準(zhǔn)答案）：

f（2011）=asin（2011π+α）+bcos（2011π+β）

=asin（2010π+π+α）+bcos（2010π+π+β）

=asin（π+α）+bcos（π+β）=-asinα-bcosβ

=-（asinα+bcosβ）=-1，

所以asinα+bcosβ=1

所以f（2012）=asin（2012π+α）+bcos（2012π+β）=asinα+bsinβ=1.

用公式nπ+α來解：

f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）=（-1）xasinα+（-1）xbcosβ，

f（2011）=（-1）2011asinα+（-1）2011bcosβ= -asinα-bcosβ=-1，

所以asinα+bcosβ=1，

所以f（2012）=（-1）2012asinα+（-1）2012b·cosβ=asinα+bcosβ=1.

比較兩種解法：后者，一經(jīng)代入公式，即將前者復(fù)雜的化簡(jiǎn)過程精減掉，難度降至初中二年級(jí)水平，簡(jiǎn)單得令人興奮！

以下二例摘自《世界著名三角學(xué)經(jīng)典著作鉤沉》平面三角卷P95，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.

例3 已知n用7除余3，化簡(jiǎn)

cos-π+cosnπ-π+cosnπ-π.

解：設(shè)n=7k+3，則

原式=cosπ-π+cosπ-π+cosπ-π

=coskπ-+cos（3kπ+1）π++cos（5k+2）π-

=（-1）kcos+（-1）3k+1cos+（-1）5k+2·cos

=（-1）k+1cos+（-1）k+2cos=0.

例4 化簡(jiǎn)sinx+n，n∈N.

解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∈N，

所以sinx+n=sinx+π=（-1）sinx;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k+1，則

sinx+（2k+1）=sinx+kπ+=（-1）ksinx+=（-1）kcosx=（-1）cosx.

在探索公式nπ+α的證明中，我們發(fā)現(xiàn)了sinα，cosα隨α的變化，每增加一個(gè)π（-π），函數(shù)值變更一次符號(hào)，絕對(duì)值不變. 這一規(guī)律的推論，可得sinα，cosα的周期是2π;這一規(guī)律的代數(shù)表示，即公式

sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα，n∈z，α∈R.

由于這個(gè)規(guī)律角的間隔是π，這是使函數(shù)值具有代數(shù)規(guī)律性變化的最小的角的間隔，2kπ是π的整數(shù)倍，故2kπ±α（k∈N）是nπ+α（n∈z，α∈R）的個(gè)例，因此可用公式nπ+α更替π四組公式，使誘導(dǎo)公式得以換代. 又因?yàn)樵诮堑拈g隔為π時(shí)，又有確定的用代數(shù)式表示的函數(shù)值相對(duì)應(yīng)，使公式的結(jié)果含符號(hào)，結(jié)束了“符號(hào)看象限”的時(shí)代！同時(shí)又使誘導(dǎo)公式由半個(gè)完全公式升格為1個(gè)完全公式，這是三角學(xué)的歷史性進(jìn)步！

這還說明理論上的微小發(fā)現(xiàn)，可以帶來實(shí)用計(jì)算上的飛躍發(fā)展！

由于sin+α=sin-（-α）

=cos（-α）=cosα，

cos+α=cos-（-α）=sin（-α）= -sinα，

所以，公式+α可歸并于-α，這樣新一代誘導(dǎo)公式就為：

sin（-α）= -sinα， cos（-α）= cosα①

（-α）

sin（nπ+α）=（-1）nsinα，cos（nπ+α）=（-1）ncosα，tan（nπ+α）=tanα.（n∈z）②（nπ+α）

sinα=cosα，cosα=±sinα ③α

共三組，較現(xiàn)行的六組精減了一半.

關(guān)于符號(hào)，-α的函數(shù)符號(hào)全部為“+”，只有-α的函數(shù)符號(hào)有變化，又由于角α，-α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，α與-α的余弦線相同，正弦線是相反數(shù)，

所以cos（-α）=cosα，sin（-α）=-sinα，這就徹底結(jié)束了“符號(hào)看象限”的時(shí)代！