郭繼強

摘 ?要：確定橢圓的方程只需兩個獨立的條件，而2014高考江蘇卷17題卻給出了三個互相獨立的條件，故其存在多條件的問題，通過筆者的分析、演算得以驗證，并且給出了改進的題目.

關鍵詞：高考;江蘇;橢圓;條件;紕謬

筆者近期認真研讀了2014高考數學江蘇卷，覺得第17題存在一定的紕漏.原題如下：

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，F1，F2分別是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，頂點B的坐標為（0，b），連結BF2并延長交橢圓于點A，過點A 作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結F1C.

（1）若點C的坐標為，，且BF2=，求橢圓的方程;

（2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

圖1

筆者認為此題的第（1）問存在多條件的問題，作為高考題實為不妥，因為這樣顯得非常不嚴謹，違背了出一道數學題的基本理念，給做題者帶來一定的誤導.

我們知道確定一個橢圓，只需兩個相互獨立的條件即可，然而此題在求解橢圓方程時，卻給出了三個相互獨立的條件：（1）C，;（2）BF2=;（3）B，F2，A三點共線，非常不嚴謹. 標準答案是根據條件（1）和（2）求解的，當然很快就能完成. 實際上，從這三個條件中任選兩個均可求解，下面筆者作出演示：

首先就去掉BF2=這一條件進行求解：

由以上的條件（1）可得+=1.

①

由條件（3）可得kBF2=kAF2？圯-=？圯4b-3bc=c. ②

由②可得c=，再由b2+c2=a2可得b2+=a2，再將此式代入①整理：27b3+9b2-3b-33=0？圯（b-1）（27b2+36b+33）=0此方程只有唯一解，即b=1，因為方程27b2+36b+33=0無實數解，從而可得a=，所以橢圓的方程為+y2=1.

接下來，筆者就去掉C，這一條件進行求解.

首先由條件（3）可得4b-3bc=c？圯c=，再由b2+=a2，因為BF2=，即a=，所以b2+=2，整理可得

9b4+6b3-b2-12b-2=0？圯（b-1）（9b3+15b2+14b+2）=0. （*）

下面研究方程9b3+15b2+14b+2=0的實數解：

構造函數f（x）=9x3+15x2+14x+2，因為f ′（x）=27x2+30x+14，所以f ′（x）>0恒成立，所以函數f（x）在R上單調遞增，不難發(fā)現f（0）=2>0，f（-1）=-6<0 所以函數f（x）的零點在區(qū)間（-1，0）上，而b>0 ，所以方程（*）只有b=1，所以橢圓的方程為+y2=1.

事實上，本題只要將題干中的條件的位置稍作修改，就無懈可擊了. 改題如下：

如圖2，在平面直角坐標系xOy中， F1，F2分別是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，頂點B的坐標為（0，b）.

圖2

（1）若點C的坐標為，，且BF2=，求橢圓的方程;

（2）連結BF2并延長交橢圓于點A，過點A作軸的垂線交橢圓于另一點C，連結F1C，若F1C⊥AB求橢圓離心率e的值.

筆者認為，一道數學題中的條件不可少，當然也不可多，特別是高考題，條件多余會給考生一個誤導，同時也顯得不夠嚴謹. 筆者認為出題人的本意可能是如果不給出條件BF2=，計算量就會過大，而且也會有超出考試大綱的嫌疑，所以加上了這個條件，這個條件加得既巧妙又貼切，如果單單從考生的角度出發(fā)，是件好事，不過要是能夠將此題做出改進會更好.