洪朝暉

摘 ?要：計(jì)算機(jī)軟件可以直觀形象地理解曲線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，并由此看到在參數(shù)控制下的曲線形成過程. 本文探討在幾何畫板軟件中，以參數(shù)方程為原理，利用軌跡操作構(gòu)造圓錐曲線的主要思路與方法.

關(guān)鍵詞：參數(shù)方程;曲線軌跡

幾何構(gòu)造軌跡簡介及緒論

圓錐曲線的表示形式主要有：定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，其中，定義繪制圓錐曲線并不困難，但是其做法的適用范圍則非常局限，標(biāo)準(zhǔn)方程與極坐標(biāo)方程涉及數(shù)量的乘除運(yùn)算，這在幾何操作中難以實(shí)現(xiàn).本文探討在幾何畫板軟件中，以參數(shù)方程為原理，利用軌跡操作構(gòu)造圓錐曲線的主要思路與方法. 允許使用的操作有：

◆ 在曲線上取一點(diǎn);

◆ 作直線、線段、射線;

◆ 過一點(diǎn)作一直線垂線;

◆ 過一點(diǎn)以一線段長作圓;

◆ 取直線與圓、直線與直線的交點(diǎn);

◆ 取相關(guān)聯(lián)的兩點(diǎn)，繪制一點(diǎn)自由移動(dòng)時(shí)另一點(diǎn)的軌跡.

由以上的基本操作，給定所需點(diǎn)，可以繪制圓錐曲線.

橢圓、雙曲線與拋物線的作圖

（1）如圖1，給定點(diǎn)P，Q，R（PQ⊥PR），要求繪出以P為中心，以PQ為長半軸，以PR為短半軸的橢圓.

？搖？搖考慮橢圓的參數(shù)方程x=acosθ，y=bsinθ， 利用圓中的三角函數(shù)線，完成所需操作.

作圖步驟：

1. 連接直線PQ，PR;

2. 以P為圓心，分別以PQ，PR為半徑作圓C1，C2;

3. 取C1上一點(diǎn)M，連接PM，與C2交于K;

4. 過K作PR的垂線，過M作PQ的垂線，兩垂線交于S;

當(dāng)M在C1上移動(dòng)時(shí)，S的軌跡即為所求橢圓，在這一過程中，有∠MPQ=θ，S（acosθ，bsinθ）.

對于雙曲線，注意到x=asecθ，y=btanθ，可以有類似的操作方法.

（2）如圖2，給定點(diǎn)P，Q，A（PQ⊥PA），要求繪出以P為中心，以PQ為實(shí)半軸，以PA為虛半軸的雙曲線.

作圖步驟：

1. 連接直線PQ，PA;

2. 以P為圓心，分別以PA，PQ為半徑作圓C1，C2，C1與PQ交于D;

3. 取C2上一點(diǎn)B，作直線BP;

4. 過B作BP的垂線，與PQ交于C，過D作PQ的垂線，與BP交于E;

圖2

過C作PQ的垂線，過E作DE的垂線，兩垂線交于F，當(dāng)B在C2上移動(dòng)時(shí)，F(xiàn)的軌跡即為所求雙曲線. 過程中，有∠DPB=θ，F(xiàn)（asecθ，btanθ）.

（3）如圖3，給定點(diǎn)P，Q，要求繪出以Q為焦點(diǎn)，以PQ中點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線.

圖3

對于拋物線，有 x=，y=，因此同樣可以制作軌跡，拋物線的參數(shù)方程與其他兩者稍有區(qū)別，應(yīng)另外作圖.

作圖步驟：

1. 連接直線PQ，作PQ中點(diǎn)O;

2. 取PQ上一點(diǎn)M，以M為圓心，2PQ為半徑作圓C1，過M作PQ垂線與圓C1交于H，連接OH;

3. 以O(shè)為圓心，以O(shè)M為半徑作圓C2，過O作PQ垂線與圓C2交于G;

4. 過G作OG的垂線，與OH交于F.

當(dāng)M在射線OQ上移動(dòng)時(shí)，F(xiàn)的軌跡即為所求拋物線的上半部分.

鏡像進(jìn)行操作，即可得到拋物線下半部分E的軌跡. 在此例中，∠HOM=θ，F(xiàn)，.

圓錐曲線的另一種繪制方法

根據(jù)圓錐曲線的定義，以下的繪制方法也是可行的，但這種方法適用范圍窄，故僅就橢圓作法加以簡單介紹.

如圖4，該作圖方法的主要原理是，先作出焦點(diǎn)，而后過焦點(diǎn)作定半徑的圓，兩圓相交的點(diǎn)的軌跡即為橢圓，具體步驟不再詳述.

推廣

本文所述利用參數(shù)方程與三角函數(shù)線構(gòu)造曲線的方法并不限于圓錐曲線. 事實(shí)上對于參數(shù)方程為三角形式的曲線，均有類似的做法，以下舉兩例，同上不再詳述作圖步驟.

先考慮x=acosθ，y=bscsθ，即+=1，如圖5.

圖5

再有x=btanθ，y=ascsθ，即-=1，如圖6.

圖6

以上思想均是相同的. 故不給出具體步驟，也不再舉他例佐證.

總結(jié)

在圓錐曲線的幾何軌跡表達(dá)中，可以發(fā)現(xiàn)它的方式與函數(shù)式表達(dá)有很大區(qū)別. 由于不能進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算，這讓教材中圓錐曲線的方程難以直接使用;而結(jié)合三角函數(shù)線的參數(shù)方程則給予了我們很大的方便，可以僅僅運(yùn)用垂直與圓的性質(zhì)產(chǎn)生數(shù)量關(guān)系，從而進(jìn)一步達(dá)到構(gòu)成軌跡的目的. 同樣地，這一方法也不僅限于圓錐曲線，可以通過改善，刻畫更復(fù)雜的參數(shù)曲線運(yùn)動(dòng).