高烽

摘 ?要：“向量”是學(xué)生從未接觸過的一個(gè)全新的概念，而《向量的加法》作為向量運(yùn)算入門的第一課就顯得尤為重要. 筆者設(shè)計(jì)本課時(shí)將生活情境貫穿于教學(xué)之中，通過一個(gè)生活情境把所有知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，讓學(xué)生從生活情境中觀察、思考、自主探究知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，而后再讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)回到生活情境中去解決問題. 整節(jié)課以問題串的形式展開，通過巧妙設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生開展探究. 在學(xué)習(xí)知識(shí)以外，讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活，用于生活的本質(zhì).

關(guān)鍵詞：向量;情境;探究

《向量的加法》是學(xué)生學(xué)習(xí)了向量的基本概念之后，進(jìn)而開始學(xué)習(xí)向量運(yùn)算的第一課，主要的教學(xué)目的是通過本課的教學(xué)使學(xué)生理解向量加法的定義;會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和;掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量運(yùn)算.

“向量”的加法區(qū)別于學(xué)生已經(jīng)習(xí)以為常的“數(shù)量”的加法，這種既有大小又有方向的特殊性讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不易適應(yīng). 為了讓學(xué)生想得通，學(xué)得懂，筆者設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)將生活情境貫穿于教學(xué)之中，通過一個(gè)生活情境把所有知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，讓學(xué)生從生活情境中觀察、思考、自主探究知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，而后再讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)回到生活情境中去解決問題.整節(jié)課以問題串的形式展開，通過巧妙設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生開展探究. 在學(xué)習(xí)知識(shí)以外，讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活，用于生活的本質(zhì). 本文結(jié)合蘇教版必修四《向量的加法》的教學(xué)設(shè)計(jì)，主要從以下幾方面來談?wù)剬?duì)教學(xué)實(shí)施過程中的一些認(rèn)識(shí).

創(chuàng)設(shè)情境 ?生成概念

俗話說“萬事開頭難”. 在課堂教學(xué)中，教師若能有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)一些與本節(jié)課緊密相關(guān)的生活情境，以此來激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的情感，那教學(xué)活動(dòng)的開展勢(shì)必會(huì)更加自然順暢.本節(jié)課在導(dǎo)入部分創(chuàng)設(shè)了以下一個(gè)情境：

情境（一）：？搖一只蜘蛛從O點(diǎn)爬到A點(diǎn)再爬到B點(diǎn)吃蚊子（如圖1）.

圖1

問題1：從O點(diǎn)到A點(diǎn)過程中產(chǎn)生的位移可如何表示？從A點(diǎn)到B點(diǎn)呢？

問題2：從O點(diǎn)到A點(diǎn)再到B點(diǎn)的過程與從O點(diǎn)直接到B點(diǎn)的過程所產(chǎn)生的位移相同嗎？

問題3：你能用等式刻畫出問題2的結(jié)論嗎？

+=，即向量是向量與向量的和.

設(shè)計(jì)意圖說明：筆者在設(shè)計(jì)情境之前了解到學(xué)生在物理課上已經(jīng)學(xué)過“位移”這樣一個(gè)既有大小又有方向的向量，因而考慮在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了以上情境引入新課. 通過三個(gè)問題，讓學(xué)生順理成章地發(fā)現(xiàn)蜘蛛的兩種不同路徑卻是同樣的位移，進(jìn)而讓學(xué)生思考用數(shù)學(xué)關(guān)系式來刻畫這個(gè)結(jié)論，學(xué)生無意中已經(jīng)引出了今天的課題.需要指出的是，筆者在前一節(jié)課《向量的概念及表示》中引入的也是這個(gè)情境. 若在條件允許的情況下，情境的使用具有一定的連續(xù)性是有利于學(xué)生理解教材，領(lǐng)會(huì)教師意圖的.

問題4：你能總結(jié)如何作向量a與b的和嗎？

問題5：對(duì)于兩個(gè)尾首不相接的向量，我們?cè)趺炊x兩個(gè)向量的和呢？（如圖2）.

圖2

學(xué)生：可以將向量a平移，使它的起點(diǎn)與向量b的終點(diǎn)重合，然后就和上面的一樣了.

教師：能不能平移向量b呢？

學(xué)生：可以.

問題6：平移的過程中要注意什么？

學(xué)生：第二個(gè)向量的終點(diǎn)與第一個(gè)向量的起點(diǎn)重合.

教師：可以用四個(gè)字概括：首尾相接.你能說出完整的作法嗎？

作法：（1）如圖3，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O;

（2）作=a，=b（多媒體動(dòng)態(tài)演示平移的過程）;

（3）=a+b.

圖3

兩個(gè)向量和的定義：已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，則向量叫做向量a，b的和，記作：a+b，即a+b=+=.

向量的加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.

設(shè)計(jì)意圖說明：在生成“向量的加法”概念的過程仍舊依托于之前用于引入的情境部分，讓學(xué)生一脈相承，從情境中發(fā)覺到原來我們要學(xué)的概念就在其中. 兩個(gè)向量和的定義其實(shí)就是給出向量加法的三角形法則. 這種生成概念的過程自然、流暢，讓學(xué)生能深刻體會(huì)到生活中是可以提煉出數(shù)學(xué)的，也讓整個(gè)課堂教學(xué)避免了雜亂無章，凸顯出了主線.

依托情境 ?探究法則

新課程理念積極倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，然而筆者認(rèn)為“探究”不等同于“放野馬”，并非是撒手不管，教師依然是要完成教學(xué)目標(biāo)的. 因而在引導(dǎo)探究的教學(xué)中，教師的預(yù)設(shè)就顯得非常重要，要找到合適于學(xué)生的探究方法和路徑，精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程，要讓學(xué)生有得探究、能夠探究、能探究得下去. 筆者在設(shè)計(jì)向量加法法則的探究時(shí)，依然緊扣課堂伊始所設(shè)立的情境，準(zhǔn)確抓住問題切入點(diǎn)，為學(xué)生鋪設(shè)了合理的思維坡度和主線.

情境（二）：投影儀投放一只蜘蛛從O點(diǎn)到B點(diǎn)后旋轉(zhuǎn)一圈的過程（如圖4）.

問題7：蜘蛛從O點(diǎn)到B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移是什么？

問題8：蜘蛛旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的位移是什么？

問題9：你能用向量的加法表示出蜘蛛兩次運(yùn)動(dòng)的過程嗎？

+0=.

情境（二）′：投影儀投放一只蜘蛛旋轉(zhuǎn)一圈后從O點(diǎn)到B點(diǎn)的過程.

問題10：你能用向量的加法表示出蜘蛛兩次運(yùn)動(dòng)的過程嗎？

0+=.

問題11：你發(fā)現(xiàn)什么？

+0=0+=.

問題12：由此你能得到什么結(jié)論？

a+0=0+a=a.

情境（三）：投影儀投放一只蜘蛛從O點(diǎn)到C點(diǎn)后又回到O點(diǎn)的過程.

問題13：蜘蛛在這整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所產(chǎn)生的位移是什么？

問題14：你能用向量的加法表示出蜘蛛運(yùn)動(dòng)的過程嗎？

+=0.

問題15：與是什么關(guān)系？互為相反向量

問題16：由此你能得到什么結(jié)論？

（-a）+a=0;a+（-a）=0.

情境（四）：投影儀投放一只蜘蛛從O點(diǎn)到C點(diǎn)后再到B點(diǎn)的過程.

問題17：蜘蛛在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所產(chǎn)生的位移是什么？

問題18：你能用向量的加法表示出蜘蛛運(yùn)動(dòng)的過程嗎？

+=.

情境（四）′：投影儀投放一只蜘蛛從O點(diǎn)到A點(diǎn)后再到B點(diǎn)的過程.

問題19：你能用向量的加法表示出蜘蛛運(yùn)動(dòng)的過程嗎？

+=.

問題20：你發(fā)現(xiàn)什么？

？搖+=+.

問題21：與是什么關(guān)系？與呢？相等向量

問題22：由此你能得到什么結(jié)論？

a+b=b+a.

設(shè)計(jì)意圖說明：以上的三個(gè)情境顯而易見是從引入中延續(xù)下來的. 通過生動(dòng)的情境，以三組問題串的形式讓學(xué)生直觀感受到向量加法的三個(gè)恒等式即a+0=0+a=a;a+（-a）=（-a）+a=0;a+b=b+a，在探究過程中也順帶著復(fù)習(xí)了相等向量、相反向量等知識(shí)點(diǎn). 應(yīng)該說這樣的設(shè)計(jì)避免了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的憑空想象，把知識(shí)融入情境中，合理地把握了學(xué)生的思維跨度，讓學(xué)生真真切切地、順理成章地感受到了這三個(gè)恒等式的存在性、合理性以及生活性. 在教學(xué)中筆者將學(xué)生要探究的內(nèi)容巧妙地轉(zhuǎn)化成環(huán)環(huán)相扣的問題，使學(xué)生的探究活動(dòng)始終圍繞著這些問題展開，從而較為順利地完成探究任務(wù)，也有效地幫助學(xué)生樹立了對(duì)探究學(xué)習(xí)的信心.

問題23：與a，b是什么關(guān)系？

a+b=

問題24：我們可以如何作a與b的和（如圖5）？

圖5

以O(shè)A，OC為鄰邊作平行四邊形OABC，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和.

教師：你能以此方法說出完整的a+b的作法嗎？

學(xué)生：作法：（1）如圖6，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O;

（2）作=a，=b（多媒體動(dòng)態(tài)演示平移的過程）;

（3）以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB;

（4）=a+b.

圖6

教師：這種求和的方法稱為平行四邊形法則，在平移a，b的過程中要注意什么？

學(xué)生：讓a的起點(diǎn)與b的起點(diǎn)重合.

教師：可概括為“共起點(diǎn)”.

設(shè)計(jì)意圖說明：筆者在設(shè)計(jì)向量加法的平行四邊形法則時(shí)是有一個(gè)整體構(gòu)思的. 筆者并未采取大多數(shù)教師所考慮的在講三角形法則時(shí)一并將平行四邊形法則給出，這種設(shè)計(jì)不利于學(xué)生同時(shí)消化兩個(gè)“法則”，筆者將平行四邊形法則延后，轉(zhuǎn)而承接上面的情境（四），利用在探究“a+b=b+a”時(shí)所呈現(xiàn)出的一個(gè)平行四邊形并以此為平臺(tái)挖掘出“平行四邊形”法則，進(jìn)而對(duì)法則加以完善，自然、清晰地生成了一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn).

練習(xí)：（1）在圖中先作a+b，再作（a+b）+c.

（2）在圖中先作b+c，再作a+（b+c）.

圖7

問題25：你能從作的圖中得到什么結(jié)論？（a+b）+c=a+（b+c）.

教師：運(yùn)算律：（1）交換律：a+b=b+a;（2）結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b？搖+c）.

設(shè)計(jì)意圖說明：在此處安插一個(gè)練習(xí)主要有兩個(gè)方面的考慮：（1）依托簡(jiǎn)單的練習(xí)讓學(xué)生能對(duì)前面學(xué)習(xí)的“法則”有一個(gè)實(shí)際操作的過程，通過運(yùn)用體會(huì)法則;（2）在前面的情境設(shè)計(jì)中筆者讓學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)了向量加法其中的一個(gè)運(yùn)算律——交換律，而設(shè)計(jì)這個(gè)練習(xí)則希望能實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)另一運(yùn)算律即“結(jié)合律”的目的.

回歸情境 ?運(yùn)用新知

“為生活而教育”是陶行知先生的至理名言，告誡我們教育工作者要意識(shí)到生活是教育的中心. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)要做到適應(yīng)社會(huì)生活的需要，數(shù)學(xué)教學(xué)最終還是要以生活為落腳點(diǎn)，為生活所用. 要想把數(shù)學(xué)知識(shí)回歸生活，讓學(xué)生學(xué)以致用，就要求老師在教學(xué)過程中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)出運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的條件，尋找數(shù)學(xué)模型與生活原型間的聯(lián)系. 在新課程背景下，加強(qiáng)對(duì)現(xiàn)在高中學(xué)生應(yīng)用能力和解決問題意識(shí)的培養(yǎng)已顯得尤為重要.

例1 （投影投出）如圖8，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：

（1）+;（2）+;（3）+.

圖8

學(xué)生：+=.

教師：依據(jù)是什么？

學(xué)生：平行四邊形法則. +=.

教師：對(duì)，是三角形法則的特殊情況. （3）呢？

學(xué)生：+=0.

教師：很好，本題主要考查三角形法則和平行四邊形法則的理解和應(yīng)用. 應(yīng)用兩個(gè)法則要記?。菏孜蚕噙B;共起點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖說明：例1在設(shè)計(jì)時(shí)的背景仍然沿用了前面情境中涉及的“蜘蛛網(wǎng)”，在這個(gè)正六邊形中利用所學(xué)新知解決一些向量加法的問題有利于讓學(xué)生感受到知識(shí)的連貫性，同時(shí)由于學(xué)生對(duì)此圖形已有接觸，相對(duì)較為熟悉，也便于學(xué)生解決，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用新知的成就感，更重要的是此圖形有利于學(xué)生感受后面的“結(jié)論”.

例2 ?（投影投出）在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h. 渡船要垂直地渡過長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？

圖9

教師：船頭能不能按垂直于對(duì)岸的方向航行？

學(xué)生（齊答）：不能.

教師：應(yīng)該怎樣？

學(xué)生：考慮到水流，航向應(yīng)北偏西（如圖10）.

（師巡視，學(xué)生板演）

設(shè)計(jì)意圖說明：設(shè)計(jì)這道應(yīng)用題的目的是讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)并非是束之高閣遙不可及的，相反數(shù)學(xué)是切實(shí)有用的，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在實(shí)際生活中果然有些問題需要依靠數(shù)學(xué)知識(shí)來解決并且數(shù)學(xué)知識(shí)還是解決這類問題的關(guān)鍵之所在，那么他對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是充滿了自豪感和成就感的，而這種自豪感和成就感必然又會(huì)進(jìn)一步地增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的積極性.

梳理小結(jié) ?雙管齊下

好的課堂小結(jié)對(duì)一堂課能起到畫龍點(diǎn)睛的作用，是針對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容所做的概括性、系統(tǒng)性、延伸性的總結(jié)，其在教學(xué)中的作用是不容忽視的. 在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師包辦代替式的總結(jié)時(shí)有發(fā)生，同時(shí)極易忽視對(duì)思維方法和數(shù)學(xué)思想的提煉，只注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)的總結(jié). 這種傳統(tǒng)的課堂總結(jié)方式不利于學(xué)生暴露問題，不利于學(xué)生溫故知新，也不利于學(xué)生提升思維，理應(yīng)摒棄.

問題26：請(qǐng)同學(xué)們來談一談，這節(jié)課你學(xué)到些什么？

設(shè)計(jì)意圖說明：課堂小結(jié)設(shè)計(jì)時(shí)主要有兩個(gè)方面的考慮：第一，由學(xué)生自己來做課堂小結(jié)，根據(jù)學(xué)生的總結(jié)情況教師判斷學(xué)生的知識(shí)漏洞，進(jìn)而補(bǔ)充提醒，幫助學(xué)生完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 第二，學(xué)生的課堂小結(jié)極大可能只注意到對(duì)知識(shí)點(diǎn)的梳理，筆者在設(shè)計(jì)時(shí)特別注意到從思想方法的角度總結(jié)課堂所學(xué)，并且筆者板書設(shè)計(jì)時(shí)也注意將“知識(shí)要點(diǎn)”與“思想方法”對(duì)應(yīng)聯(lián)系起來，這樣的“雙管齊下”能讓學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)課堂所學(xué)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).