胡建國

摘 要：在人教A版選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》中，只介紹了直線、圓的極坐標(biāo)方程，沒有介紹圓錐曲線的極坐標(biāo)方程.實(shí)際上，對于圓錐曲線的焦半徑或者焦點(diǎn)弦問題，引入極坐標(biāo)，會大大簡化計(jì)算過程. 本文通過幾道例題來介紹這種方法以及分析這種方法的優(yōu)勢.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；焦半徑；極坐標(biāo)系方程

高中數(shù)學(xué)教材通過幾個(gè)例題，實(shí)際上給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義：與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)01時(shí)，軌跡是雙曲線. 我們可以利用這個(gè)統(tǒng)一定義，得到圓錐曲線的極坐標(biāo)方程.

以橢圓為例，介紹極坐標(biāo)方程的推導(dǎo)過程.

如圖1，以左焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，沿長軸方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)M（ρ，θ）是橢圓上任意一點(diǎn)，則=e，把左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離記為p，則=e，整理得：ρ=，此方程為橢圓的極坐標(biāo)方程.

圖1

例題1 已知橢圓C：+=1，過點(diǎn)F1（-2，0）作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A，B和D，E，求AB+DE的最小值.

解法一：設(shè)直線AB的方程為x=ty-2，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y1），

由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，

得AB=y1-y2=·=；

同理可得DE=，

所以AB+DE=+

=12≥12·=.

當(dāng)且僅當(dāng)t2+2=2t2+1，即t=±1時(shí)取到“=”號. 另外，當(dāng)直線AB的方程為y=0時(shí)，AB=4，DE=2，此時(shí)，AB+DE=6. 綜上，由<6，得AB+DE的最小值為.

解法二：以F1為極點(diǎn)，沿長軸方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系，得到橢圓的極坐標(biāo)方程為：ρ=.

設(shè)B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，則

AB=AF1+BF1=+=，

DE=DF1+EF1=+=，

所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值為.

對比上述兩種解法，我們可以發(fā)現(xiàn)，第一種解法不僅要分情況討論，另外計(jì)算量也很大，尤其是求最值的部分需要較好的數(shù)學(xué)功底；第二種解法過程簡潔，不需要分情況討論，而且求最值的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.顯然，在橢圓的焦點(diǎn)弦問題中，引入極坐標(biāo)能極大地提高解題效率.

例題2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，過F（1，0）點(diǎn)作兩條互相垂直的直線l1，l2，其中l(wèi)1與C1相交于A，B，l2與C2相交于C，D，求四邊形ACBD面積的取值范圍.

解：以F為極點(diǎn)，沿橢圓長軸方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系. 由橢圓的直角坐標(biāo)系方程+=1得到橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ=，則CD=CF+DF=+=. 由拋物線的直角坐標(biāo)系方程y2=4x得到其極坐標(biāo)方程為ρ=.

AB=BF+AF=+=

SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四邊形ACBD面積的取值范圍是[8，+∞）.

例題3 試證明：過雙曲線C：-=1的一個(gè)焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦分別交雙曲線于AB和CD，則+=.

證明：以右焦點(diǎn)F2為極點(diǎn)，沿實(shí)軸方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系，得到雙曲線的極坐標(biāo)方程為：ρ=，記t=-a，則AB=+=，

CD=+=+=，

+=+===，

所以，命題得證.