甘永林

【摘要】立體幾何是高中數(shù)學(xué)里非常重要的一個(gè)板塊，它對(duì)于學(xué)生鍛煉空間思維和想象能力有很大作用。但是學(xué)生在剛開始接觸立體幾何時(shí)，卻很難下手，很難想象出具體畫面。在這個(gè)時(shí)候，教師如果能夠合理地利用幾何畫板來(lái)進(jìn)行輔助教學(xué)，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果，對(duì)于學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)也會(huì)起到立竿見(jiàn)影的效果。

【關(guān)鍵詞】立體幾何 幾何畫板 輔助教學(xué) 空間想象

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）10-0125-02

一、實(shí)際背景

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的必修課，在課本中占有很大的篇幅，可見(jiàn)其重要性。從短期來(lái)看，立體幾何在高考分?jǐn)?shù)中占有很大的比重，學(xué)好立體幾何，能使學(xué)生在高考中取得更好的成績(jī)；從長(zhǎng)期來(lái)看，學(xué)好立體幾何，能夠培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，對(duì)于他們空間思維的鍛煉也是很有好處的。

現(xiàn)在的學(xué)生雖然物質(zhì)生活更加優(yōu)越，但是缺乏動(dòng)手的機(jī)會(huì)，空間感知能力較弱；另外，立體幾何又來(lái)源于生活，抽象于生活，空間幾何體千變?nèi)f化，教師很難擁有那么豐富的教學(xué)模型。如果上課在黑板作圖，一方面效果難以達(dá)到，再者也給老師帶來(lái)很多不便，同時(shí)也得不到課堂的有效性。

幾何畫板可以輕松解決這些問(wèn)題，利用幾何畫板，可以直觀的給學(xué)生演示各種空間幾何體，有效的提高課堂效率。

二、具體應(yīng)用舉例

下面，從幾個(gè)方面來(lái)舉例說(shuō)明利用幾何畫板的優(yōu)越性。

1.利用幾何畫板來(lái)探究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

在人教版高中教材必修2第1章中，需要研究棱柱的結(jié)構(gòu)特征，這時(shí)不妨用幾何畫板展示幾個(gè)棱柱（圖1.1）

圖1.1

通過(guò)這幾個(gè)圖，學(xué)生就能比較容易的得到幾個(gè)圖的共性，也即是棱柱的結(jié)構(gòu)特征。

另外，在這部分內(nèi)容里，有些問(wèn)題比較難以理解，學(xué)生根據(jù)棱柱的概念不好判斷對(duì)錯(cuò)。

例1：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎？[1]

分析：這個(gè)問(wèn)題的答案是不一定。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，只需要給學(xué)生舉出一個(gè)反例即可（圖1.2）

解：

2.利用幾何畫板來(lái)探究空間幾何體的表面積和體積

例2：在四面體ABCD中，AB=CD=■，BC=AD=2■，BD=AC=5，求四面體ABCD的體積。

分析：很多學(xué)生看到這個(gè)題就會(huì)按照平時(shí)的思路，畫出一個(gè)四面體（圖2.1）。

畫完之后就難以下手，不知該怎么做，原因是學(xué)生沒(méi)有認(rèn)識(shí)到四面體棱之間的關(guān)系。從題目中我們可以發(fā)現(xiàn)，四面體兩兩不相交的棱棱長(zhǎng)相等。所以可以引導(dǎo)學(xué)生將四面體看成是一個(gè)長(zhǎng)方體的一部分，而四面體的棱長(zhǎng)則是長(zhǎng)方體各面的對(duì)角線。說(shuō)到這里還是有些抽象，可以利用幾何畫板展示給學(xué)生（圖2.2）。

解：以四面體的各棱為對(duì)角線還原為長(zhǎng)方體，如圖2.2。

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，

則x■+y■=13，y■+z■=20，x■+z■=25，，∴x=3y=2z=4

∵VD-ABE=■DE·S△ABE=■V長(zhǎng)方體，

同理VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=■V長(zhǎng)方體，

∴V四面體ABCD=V長(zhǎng)方體-4×■V長(zhǎng)方體=■V長(zhǎng)方體，

而V長(zhǎng)方體=2×3×4=24，

∴V四面體ABCD=8

例3：已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，高為■，則正三棱柱的側(cè)面積S1與底面積之和S2的大小關(guān)系為（ ）

A. S1>S2 B.S1

分析：這個(gè)題目階梯的關(guān)鍵是能夠畫出正三棱臺(tái)的直觀圖，通過(guò)圖形來(lái)解答就較為直觀，故可以利用幾何畫板畫出一個(gè)正三棱臺(tái)的直觀圖（圖2.3），讓學(xué)生直觀感受。

解：斜高DE=■

=■=■

S1=■（c+c1）·DE=9■，S2=■×22+■×42=5■，∴S1>S2，選A。

3.利用幾何畫板探究球的體積和表面積

例4.（2012.新課標(biāo)全國(guó)）平面α截球O的球面多的圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為■，則此球的體積為（ ）

A.■π B.4■π C.4■π D.6■π

分析：利用幾何畫板畫出直觀圖（圖3.1），再畫出截面圖（圖3.2）會(huì)對(duì)求解有很大幫助。

圖3.1 圖3.2

解：如圖，設(shè)截面圖的圓心為O1，M為截面圓上任一點(diǎn)，則

OO1=■，O1M=1

∴OM=■=■，即球的半徑為■

V=■π（■）3=4■π，選B

例5.已知一個(gè)表面積為24的正方體，設(shè)有一個(gè)與每條棱都相切的球，則此球的體積為（ ）

A.■π B.4■π C. ■■π D.■■π

分析：利用幾何畫板畫出該組合圖的直觀圖（圖3.3），再畫出軸截面圖（圖3.4），即可求解。

圖3.3 圖3.4

解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2=24，解得a=2，又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)2■等于球的直徑，則球的半徑為■，則此球的體積為■π（■）3=■π，選D。

三、實(shí)際效果測(cè)評(píng)

在利用幾何畫板進(jìn)行輔助教學(xué)一段時(shí)間后，學(xué)生對(duì)于立體幾何，空間圖形的想象能力有了很大的提高，能夠獨(dú)立自主地畫出常見(jiàn)空間幾何體的直觀圖，能夠?qū)ΤＲ?guī)題型進(jìn)行求解，空間思維得到有效地鍛煉。并且，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果如圖4.1所示：

圖4.1

從調(diào)查結(jié)果可以看出，利用幾何畫板進(jìn)行輔助教學(xué)，是學(xué)生認(rèn)可并喜歡的一種教學(xué)方式，能夠有效的幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體，培養(yǎng)空間思維能力，鍛煉空間想象能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]王朝銀.創(chuàng)新設(shè)計(jì).西安：陜西人民出版社，2009-02