王剛 陶煜瑾

摘 要：衡量學(xué)生創(chuàng)造力的其中一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是問(wèn)題解決能力的高低，而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的其中一個(gè)突破口就是數(shù)學(xué)概念的理解. 研究數(shù)學(xué)概念理解的障礙，對(duì)于探討提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的途徑有重要的現(xiàn)實(shí)意義. 本文旨在通過(guò)研究數(shù)學(xué)概念的理解障礙來(lái)試圖尋找到障礙的表現(xiàn)形式，為促進(jìn)學(xué)生概念理解的數(shù)學(xué)教學(xué)提供依據(jù)和建議.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；理解障礙；表現(xiàn)形式

數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得是一種過(guò)程，又可以解釋為通過(guò)概念的方式來(lái)把握數(shù)學(xué)知識(shí)的一般規(guī)律與本質(zhì)屬性的一種過(guò)程. 而數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是這一過(guò)程的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的理解又是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的前提和基礎(chǔ). 現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中不斷涌現(xiàn)的密集而又抽象的數(shù)學(xué)概念，給剛剛步入高中階段的學(xué)生帶來(lái)了沉重的理解負(fù)擔(dān).本文主要談?wù)劯拍畹睦斫庹系K的表現(xiàn)形式.

[?] 概念的理解

概念是否被真正理解，密歇根州大學(xué)（Michigan Stata University）教授愛(ài)德華·史密斯（Edward L.smith）提出對(duì)科學(xué)中的概念理解的兩條標(biāo)準(zhǔn)：

（1）概念是否被理解應(yīng)表現(xiàn)在：學(xué)習(xí)者能用適當(dāng)?shù)姆绞絹?lái)表示概念；能知道相關(guān)的概念，并能夠?qū)⑵渎?lián)系起來(lái)，特別是能將學(xué)習(xí)者原有的概念與新理解的概念進(jìn)行聯(lián)系.

（2）概念是否被理解徹底的程度在于：學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)與實(shí)際生活中能用已理解的概念來(lái)解決他所面對(duì)的問(wèn)題.

以上概念理解的兩條標(biāo)準(zhǔn)涉及個(gè)人的知識(shí)結(jié)構(gòu)和個(gè)人的知識(shí)功能，它闡述了學(xué)習(xí)者應(yīng)具備的兩個(gè)狀態(tài)：首先，通過(guò)概念的理解，學(xué)習(xí)者具備相應(yīng)的能力來(lái)完成各種實(shí)際問(wèn)題；其次，這些問(wèn)題的解決是被認(rèn)可的.

[?] 數(shù)學(xué)概念的理解障礙的表現(xiàn)形式

數(shù)學(xué)概念理解障礙的表現(xiàn)形式，在筆者看來(lái)就是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)由于種種原因，不能順利地把概念的本質(zhì)抽取出來(lái)并加以概括、描述與應(yīng)用，不能達(dá)到對(duì)概念的真正理解，即不能達(dá)到愛(ài)德華·史密斯（Edward L.smith）提出的對(duì)概念理解應(yīng)該達(dá)到的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn).

1. 數(shù)學(xué)概念推測(cè)、想象障礙

這是一種比較低層次的理解障礙，在所謂的數(shù)學(xué)“學(xué)困生”中更加突出. 主要是指經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間的接觸，學(xué)生對(duì)于新概念、新的數(shù)學(xué)名詞、短語(yǔ)等，還不能形成正確的表象，由此產(chǎn)生影響后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解的障礙. 數(shù)學(xué)概念推測(cè)、想象障礙包括兩個(gè)方面：

其一，不了解數(shù)學(xué)概念基本屬性及其所表示的數(shù)學(xué)對(duì)象. 這種概念理解障礙實(shí)質(zhì)上是學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵缺乏真正的理解. 概念的內(nèi)涵是特指“存在于某一類事物中的共同的本質(zhì)的屬性”. 在概念課中，學(xué)生對(duì)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、變化的理解過(guò)程是建立在足夠多且感知過(guò)的概念例證題上，如果學(xué)生沒(méi)有能夠理解其中的一個(gè)或多個(gè)例證中的特別屬性，則無(wú)法形成概念中的特性，學(xué)生對(duì)這類概念的共同屬性的把握程度就有所欠缺，從而無(wú)法抽象出概念的本質(zhì)，即理解不了概念. 此時(shí)，無(wú)論教師給學(xué)生做多少習(xí)題，和讓學(xué)生將概念背的如何熟練，都無(wú)法讓學(xué)生徹底地掌握概念.

其二，對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的特別的符號(hào)語(yǔ)言及文字語(yǔ)言的理解存在障礙. 比如，在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用中存在著大量邏輯語(yǔ)言和符號(hào)，如“或”、“且”、“非”、“當(dāng)且僅當(dāng)”等等，這些邏輯語(yǔ)言符號(hào)的使用，一方面增加了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，使數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，但同時(shí)也增加了數(shù)學(xué)的抽象性. 當(dāng)一個(gè)詞語(yǔ)或概念在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中表達(dá)的意義與自然語(yǔ)言中表達(dá)的語(yǔ)義不同時(shí)，學(xué)生必須重新構(gòu)建其數(shù)學(xué)意義，這就會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解造成障礙. 如邏輯聯(lián)接詞“或”，數(shù)學(xué)含義與生活含義在學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是相互影響的，這種影響導(dǎo)致學(xué)生在理解邏輯“或”時(shí)產(chǎn)生了負(fù)遷移，學(xué)生在推測(cè)邏輯“或”的含義時(shí)就會(huì)受到生活中的“或”的影響，從而產(chǎn)生理解障礙.

2. 數(shù)學(xué)概念描述、表達(dá)障礙

華羅庚教授生前曾教育中學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)上要“想得清楚，說(shuō)得明白，寫得干凈”. 從這一點(diǎn)來(lái)看，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力是提高數(shù)學(xué)能力的重要途徑.數(shù)學(xué)概念描述、表達(dá)障礙是指在對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行篩選、貯存等加工及表達(dá)（口頭或書面的表達(dá)）過(guò)程中產(chǎn)生了困難.

數(shù)學(xué)概念描述、表達(dá)障礙表現(xiàn)在：不能篩選出有關(guān)數(shù)學(xué)語(yǔ)言特征的信息，清楚或全面地表達(dá)自己對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解. 數(shù)學(xué)概念描述、表達(dá)障礙分為口頭表達(dá)障礙和書面表達(dá)障礙. 我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中有這樣的感覺(jué)，對(duì)上節(jié)所講的數(shù)學(xué)概念，在下一節(jié)上課復(fù)習(xí)提問(wèn)時(shí)，有的學(xué)生不能完整地、準(zhǔn)確地回答上來(lái)，只能照搬教材中的定義，而不會(huì)用自己的語(yǔ)言進(jìn)行解釋，不能把所學(xué)知識(shí)內(nèi)化后用自己的語(yǔ)言表述出來(lái)；考試中由于表達(dá)不規(guī)范、不清晰造成智力的嚴(yán)重浪費(fèi)，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)詞不達(dá)意、不設(shè)先用、思路混亂、審題不清、以圖代證等錯(cuò)誤.

通常數(shù)學(xué)概念描述、表達(dá)障礙有以下四種情形：第一種，知道含義但不能用自己的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)；第二種，含義不清晰，表達(dá)有錯(cuò)誤；第三種，知道含義，但表達(dá)不夠完整；第四種，含義明確，但在不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言中不能自由的轉(zhuǎn)換.

數(shù)學(xué)概念的理解是建立在能把數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)抽象出來(lái)的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)概括能力的缺失是導(dǎo)致這類障礙產(chǎn)生的根本原因. 數(shù)學(xué)概括能力需要平時(shí)的不斷積累，需要教師平常在課堂上的不斷引導(dǎo)，這說(shuō)明我們的教學(xué)方式有待改進(jìn).

3. 數(shù)學(xué)概念比較、識(shí)別障礙

數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)前后知識(shí)的聯(lián)系要求很高，前面所學(xué)的知識(shí)一般是后續(xù)內(nèi)容的鋪墊與基礎(chǔ)，低年級(jí)所學(xué)的知識(shí)一般是高年級(jí)所學(xué)知識(shí)的特例，高年級(jí)所學(xué)是低年級(jí)所學(xué)的推廣. 所謂比較、識(shí)別障礙，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念的時(shí)候不能有意識(shí)地與前面與此相關(guān)的概念建構(gòu)實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系. 從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)興趣的角度來(lái)看，我們應(yīng)該對(duì)學(xué)生理解性的學(xué)習(xí)機(jī)制的探索給予重視，正如卡彭特所說(shuō)：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種理解性的學(xué)習(xí)，它的重要特征是具備生成性，如果學(xué)生學(xué)會(huì)理解性的概念知識(shí)時(shí)，學(xué)生就能使用這些知識(shí)去生成新的知識(shí)，去學(xué)習(xí)新的技能，能夠解決碰到的新問(wèn)題. 如果學(xué)生的知識(shí)不是通過(guò)理解而得來(lái)的，而是通過(guò)機(jī)械模仿暫時(shí)獲得的，這些知識(shí)在碰到新問(wèn)題和新情境時(shí)會(huì)一無(wú)是處. 國(guó)際上數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)重要切入點(diǎn)就是改善當(dāng)前教育圖景，以適應(yīng)未來(lái)發(fā)展的理解性學(xué)習(xí)及其教學(xué)設(shè)計(jì)研究. 因此，選取其中的一個(gè)方面進(jìn)行研究，對(duì)整個(gè)理論的建立有一定的輔助作用.

[?] 概念的正確理解

對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確理解，關(guān)鍵在于能否使學(xué)習(xí)者在心中已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上建立起相對(duì)于新概念而言的恰當(dāng)?shù)男睦肀碚鳎^數(shù)學(xué)概念的心理表征，就是“與所學(xué)概念直接相聯(lián)系的整體性質(zhì)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，包括相應(yīng)的心智圖象、對(duì)概念性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和有關(guān)過(guò)程的記憶等，是所學(xué)概念在頭腦中的投射或者說(shuō)是由于與新概念的接觸之后而引起的綜合反應(yīng)，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是概念的心理對(duì)應(yīng)物”. 不同的學(xué)習(xí)個(gè)體由于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)狀態(tài)的不同，即學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的差異，對(duì)概念學(xué)習(xí)各因素建構(gòu)方式的有差別，導(dǎo)致對(duì)當(dāng)前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念的理解會(huì)產(chǎn)生不同的心理反應(yīng)，相對(duì)應(yīng)的心理表征是個(gè)性化的，特別是這個(gè)概念即使經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)者的長(zhǎng)期建構(gòu)，也會(huì)在每個(gè)人的心中建立起不同的心理表征. 在這里不難看出，學(xué)習(xí)者在接受（主動(dòng)建構(gòu)）新概念的過(guò)程（課堂學(xué)習(xí)）及一段時(shí)間（課后復(fù)習(xí)或階段性復(fù)習(xí)）或很長(zhǎng)時(shí)間以后，這個(gè)心理表征一直是發(fā)展變化的，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程. 學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)所建立起的心理表征往往會(huì)夾雜著大量與概念本質(zhì)無(wú)關(guān)的東西，教師的作用就是使學(xué)生去掉或修正這些無(wú)關(guān)物，引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)，由于概念的本質(zhì)特征及表達(dá)形式在數(shù)學(xué)界是公認(rèn)的，它所確定的內(nèi)涵相對(duì)于一個(gè)時(shí)期是基本穩(wěn)定的.

從這個(gè)理論來(lái)看，教師要幫助學(xué)生依靠自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)在學(xué)習(xí)過(guò)程中去主動(dòng)建構(gòu)起相對(duì)于嚴(yán)格準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念而言的恰當(dāng)?shù)男睦肀碚?，使得個(gè)性化的心理表征所反映出的內(nèi)容接近于此數(shù)學(xué)概念的本質(zhì). 學(xué)生對(duì)一個(gè)概念的理解需要對(duì)有關(guān)概念的學(xué)習(xí)經(jīng)歷進(jìn)行多次必要的反思與整合，才能形成相對(duì)穩(wěn)定的、整體性的形式定義與具體事例，特別是與其解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合的認(rèn)識(shí).

[?] 結(jié)語(yǔ)

要給學(xué)生一杯水，教師就得有一桶水，把握數(shù)學(xué)概念教學(xué)的先決條件是教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)程度. 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)需要教師對(duì)概念有全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，即在主觀上應(yīng)再澄清對(duì)概念認(rèn)識(shí)的階梯. 所謂再澄清對(duì)概念認(rèn)識(shí)的階梯，是指從整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的角度看待每個(gè)概念個(gè)體，不是局限于個(gè)別年級(jí)、個(gè)別學(xué)科認(rèn)識(shí)某個(gè)概念. 這個(gè)角度是指要認(rèn)識(shí)概念從開(kāi)始涉及目前所教授的全過(guò)程，從概念體系的角度而不是從就事論事的孤立角度把握個(gè)別概念. 教師是概念教學(xué)的主要傳遞者，課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的主要環(huán)境，學(xué)生的概念理解水平直接受到教師的教學(xué)方式、方法的影響. 教師應(yīng)該首先對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)正確的理解，為學(xué)生學(xué)習(xí)概念起到一個(gè)引導(dǎo)和示范作用，但光這一點(diǎn)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，教師應(yīng)該進(jìn)一步了解影響學(xué)生理解概念的因素，理解概念存在的障礙，在教學(xué)中采取針對(duì)性的措施，摒棄舊的教學(xué)觀念和改進(jìn)原有教學(xué)方法，豐富課堂教學(xué)方式，從而更有效地實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué).