摘 要：向量是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體，其有關(guān)內(nèi)容已經(jīng)成為高考必考的重要知識(shí)之一，其中平面向量的數(shù)量積更是歷屆高考數(shù)學(xué)考查熱點(diǎn)，但是從學(xué)生的答卷來(lái)看，每年的得分率并不理想. 本文通過(guò)分析一次期末考試中學(xué)生的答卷情況，反思我們?cè)谄矫嫦蛄繑?shù)量積的新授課教學(xué)和復(fù)習(xí)課教學(xué)過(guò)程中的缺失，并提出了相應(yīng)改進(jìn)設(shè)想.

關(guān)鍵詞：平面向量；數(shù)量積；反思；缺失；對(duì)策

[?] 卷面陳述

2012—2013學(xué)年蘇州市高一期末調(diào)研測(cè)試（數(shù)學(xué)）第16題：已知a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，其中c>b，若a=4，cosA=-，D為BC邊上一點(diǎn)，且·=0，·=，求：（1）

；（2）b，c.

此題年級(jí)均分7.66分（包括兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班，兩個(gè)重點(diǎn)班），從筆者帶的兩個(gè)普通班的情況來(lái)看，有三分之一的學(xué)生完全沒(méi)思路，得0分；四分之一的學(xué)生只寫出了兩個(gè)公式，⊥和·=

·

·cos∠BAD=，接下去便沒(méi)有思路了，得1分或2分；余下的學(xué)生有的只做對(duì)了第二問(wèn)，少數(shù)幾個(gè)學(xué)生做全對(duì). 總的來(lái)看，大部分學(xué)生都卡在了第一問(wèn).

[?] 試題分析與解答

此題第1問(wèn)實(shí)際上考查數(shù)量積的幾何意義，a·b=

a

·

b

·cosθ，其中

b

·cosθ是b在a方向上的射影. 由題⊥，故·=

·

·cos∠BAD=

2=，即可得

，非?；A(chǔ)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)！

此外，·=（+）·=

2+·=

2亦可求解，也是非常簡(jiǎn)單的一個(gè)轉(zhuǎn)化！

[?] 考后反思

一個(gè)概念性的考點(diǎn)，這種答卷實(shí)在出乎筆者的意料，但這種普遍性的知識(shí)點(diǎn)缺陷讓筆者不得不反思自己的教學(xué)過(guò)程. 下面就平面向量數(shù)量積的新授課和復(fù)習(xí)課過(guò)程中可能出現(xiàn)的不足之處分析如下，并提出相應(yīng)改進(jìn).

1. 問(wèn)題分析

（1）新授課教學(xué)

問(wèn)題：概念的生成過(guò)程引導(dǎo)不到位，導(dǎo)致了學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積的理解僅停留在記憶層面. 新授課中，由于時(shí)間關(guān)系，在“功”的引例之后，筆者直接給出了數(shù)量積的公式. 整個(gè)過(guò)程都是筆者在講，學(xué)生在聽，沒(méi)有給學(xué)生時(shí)間讓他們自己經(jīng)歷理解、歸納，并抽象出概念的過(guò)程. 所以時(shí)間一長(zhǎng)，在他們頭腦中留下來(lái)的僅僅只有一串抽象的符號(hào).

（2）復(fù)習(xí)課教學(xué)

問(wèn)題1：期末綜合復(fù)習(xí)階段沒(méi)有專題復(fù)習(xí)，一上來(lái)就是綜合試卷，這種粗放型的復(fù)習(xí)方式導(dǎo)致了學(xué)生粗放型的知識(shí)體系，很多知識(shí)只“知其然，卻不知其所以然”. 比如向量數(shù)量積定義，絕大部分學(xué)生只知道其公式形式，卻不知道這個(gè)公式的來(lái)龍去脈，從而導(dǎo)致了這道題的解題障礙.

問(wèn)題2：試卷講評(píng)不到位，太功利，為了解題而解題.在綜合卷中我們做過(guò)這樣一道題：已知△ABC的內(nèi)角A的大小為120°，面積為，設(shè)O為△ABC外心，當(dāng)BC=時(shí)，求·的值. 學(xué)生的解答如下：先由已知得到另外兩邊的長(zhǎng)分別為1，4，此時(shí)所有學(xué)生都沒(méi)問(wèn)題. 接下來(lái)，部分學(xué)生空著，不知道怎么用外心這個(gè)條件，另外部分學(xué)生直接由外心的特點(diǎn)入手，過(guò)O作BC的中垂線OD，其中D為垂線與BC的交點(diǎn)（如圖1），則·=（+）·=·+·=·=（+）（-）=（

2-

2）=或-，沒(méi)有其他解法.

講評(píng)試卷時(shí)，筆者只講了學(xué)生的這種解答，認(rèn)為既然部分學(xué)生能夠想到，那么這種方法應(yīng)該是學(xué)生更容易接受的方法，由于課堂時(shí)間關(guān)系，就沒(méi)有繼續(xù)延伸講下去. 所以，雖然當(dāng)時(shí)這道題學(xué)生會(huì)做了，但并沒(méi)有真正掌握這一類題究竟是要考查哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)，下次遇到同樣的題型應(yīng)該從什么角度入手. 因此，在期末考試時(shí)，條件稍微變換了一下形式，絕大部分學(xué)生就無(wú)從下手了.

2. 問(wèn)題改進(jìn)設(shè)想

（1）新授課

①概念新授：注重概念生成，重視學(xué)生參與

數(shù)學(xué)概念是用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物的思想精華，具有高度抽象性，短時(shí)間內(nèi)很難理解，所以數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要讓學(xué)生參與概念的形成過(guò)程，多給學(xué)生提供充分地概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì). 《高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書 必修4》闡述的教育目標(biāo)：“通過(guò)物理中‘功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，體會(huì)向量數(shù)量積與投影間的關(guān)系.” 高一學(xué)生的抽象概括能力比較弱，所以我們可以通過(guò)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生逐步準(zhǔn)確清晰地表述出概念. 如本次課數(shù)量積的概念，我們可以設(shè)計(jì)問(wèn)題串如下：

教師：初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了功的概念，請(qǐng)大家回顧功的計(jì)算公式并回答下面三個(gè)圖中力F對(duì)物體所做的功是多少？

學(xué)生1：功的公式為W=F·S·cosθ，其中θ為F，s的夾角大小，所以上述三個(gè)圖中力F對(duì)物體所做的功W分別為F·S，0和F·S·cosθ.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)力F的分解，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，并回顧射影的概念.

教師：從物理角度看，功W是數(shù)量，力F和位移S都是矢量，θ為兩矢量的夾角大小，那么，從數(shù)學(xué)的角度看，他們分別是什么呢？

學(xué)生2：從數(shù)學(xué)角度看，功W是實(shí)數(shù)，力F和位移S都是向量，θ為兩向量夾角的大小.

設(shè)計(jì)意圖：引入兩向量夾角的概念.

教師：功的公式W=F·S·cosθ表示的物理意義是矢量力F在矢量位移S方向上所做的功，那么從抽象的式的角度看呢？

學(xué)生3：從公式本身的角度看，力F在位移S方向上所做的功實(shí)際上是力F在位移S方向上的分力F·cosθ與位移S的乘積.

設(shè)計(jì)意圖：為數(shù)量積的幾何意義做鋪墊.

教師：如果我們把力F和位移S換成常用向量a，b，功W看做是這兩個(gè)向量的運(yùn)算結(jié)果，記作a·b，讀作a點(diǎn)乘b，那么，你能用自己的語(yǔ)言表述這個(gè)公式嗎？并試著從幾何的角度解釋這個(gè)公式？

學(xué)生4：這個(gè)公式可表述為a·b=

a

·

b

·cosθ，其中θ為向量a，b的夾角大小. 它的幾何意義是a在b方向上的射影

a

·cosθ與b的大小的乘積.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自己抽象出數(shù)量積公式，并從幾何角度理解這個(gè)公式，賦予這串符號(hào)內(nèi)涵.

創(chuàng)設(shè)好的問(wèn)題情境，把學(xué)生的積極性調(diào)動(dòng)起來(lái)，尤其是概念課，如何讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納、理解一個(gè)新的概念顯得尤為重要. 當(dāng)學(xué)生對(duì)自己的“成果”有了了解之后，再進(jìn)行教學(xué)效率會(huì)更好，學(xué)生掌握的也會(huì)更牢固，也就不會(huì)出現(xiàn)這次期末考試中這種“知其然，卻不知其所以然”的現(xiàn)象了.

②當(dāng)堂鞏固：注重?cái)?shù)形結(jié)合，重視分析轉(zhuǎn)化

向量具有代數(shù)和幾何的“雙重身份”，它是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體. 所以我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該注重“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，借助“形”來(lái)理解“式”的幾何意義，通過(guò)“式”來(lái)歸納“形”的本質(zhì)特征. 在歸納出向量數(shù)量積的公式和幾何意義后，我們還可以通過(guò)一些典型的練習(xí)來(lái)加深概念的理解與掌握.

練習(xí)1 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為______，·的最大值為______. （答案：1，1）

解析：如圖3，由數(shù)量積的幾何意義知，當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在上的投影為

CB

，所以·=

CB

2=1為定值；在上的投影為

DF

，所以當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的位置時(shí)，·取得最大值

DC

2=1.

[D][A][B][C][E][F]

圖3

練習(xí)2 在正△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB=3，BD=1，則·=_________（答案：）

解析：如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則在方向上的投影為

AE

，所以·=

AB

·

AE

，由題意得BE=·BD=，所以AE=3-=，·=.

[E][A][B][C][D]

圖4

練習(xí)3 在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則·=________（答案：-16）

解析：（向量幾何意義揭示問(wèn)題本質(zhì)）由題意，不難看出點(diǎn)A在以M為圓心，半徑為3的圓上，∠BAC總為鈍角，過(guò)點(diǎn)C向BA作垂線CD，如圖5，在方向上的投影為-

AD

，所以·=-

AB

·

AD

，作Rt△BCD的外接圓，顯然半徑為5，于是聯(lián)想到圓中的相交弦定理，作出AM所在大圓的直徑EF，顯然由相交弦定理易得·=·=（5-3）·（5+3）=16，所以·=-

AB

·

AD

=-16.

[A][B][C][D][M][E][F]

圖5

（2）復(fù)習(xí)課

①?gòu)?fù)習(xí)策略：夯實(shí)基礎(chǔ)，方能游刃有余

任何高樓大廈的巍然聳立，都源于其深深的根基. 學(xué)習(xí)也一樣，只有扎扎實(shí)實(shí)掌握了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，才能靈活運(yùn)用已有的知識(shí)解決一個(gè)個(gè)障礙，也才能站在一定的高度豐富、完善自己的知識(shí)體系. 對(duì)于這種綜合性較強(qiáng)、內(nèi)容涉獵較全面的階段檢測(cè)，需要系統(tǒng)全面的專題復(fù)習(xí)，鞏固加強(qiáng)基礎(chǔ)的知識(shí)和基本的技能. 而且向量在高一階段相對(duì)比較獨(dú)立，平時(shí)學(xué)習(xí)和練習(xí)中很少涉及，所以學(xué)生更加覺(jué)得陌生，甚至有這樣一種奇怪的現(xiàn)象：高一的學(xué)生一學(xué)年下來(lái)，最害怕的不是數(shù)列，不是函數(shù)，而是向量，因此，在做大量綜合試卷訓(xùn)練之前，有必要系統(tǒng)地復(fù)習(xí)、回顧基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.

②試卷講評(píng)：舉一反三，方能加深理解

解題的目的不僅僅是為了解決這一道題，而是通過(guò)這一道題鞏固相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并且從這一道題的解法中歸納、提煉同一類型的題目的分析方法和解決方法，提高綜合運(yùn)用已有知識(shí)的能力. 如上題，我們可以適度延展挖掘.

教師：既然大家想到了外心的特點(diǎn)，過(guò)O作BC的中垂線，那可不可以作AB或AC的中垂線呢？我們?yōu)槭裁粗苯舆x擇了作BC的中垂線，而不是AB或AC的呢？如果作AB或AC的中垂線，這道題可以解決嗎？

分析1：上述解答實(shí)際上是選擇了，作為此平面內(nèi)的一組基底，這樣如果作AB或AC的中垂線，也可以用同樣的方法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化. 若作AB的中垂線OE交AB于E，AC的中垂線OF交AC于F，（如圖6）則·=（+）·（-）=·-·+·-·=·-·+

-++

·=（

2-

2）.

[C][E][F][O][A][B]

圖6

點(diǎn)評(píng)：此法實(shí)際上是利用平面向量基本定理，把平面中的所有未知向量都用一組已知的基底表示出來(lái)，那么不管最終要求的是什么，都轉(zhuǎn)化為兩個(gè)已知基底之間的運(yùn)算，這樣這個(gè)問(wèn)題就解決了.此法實(shí)際上運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想.

分析2：此題求的是數(shù)量積，而數(shù)量積的物理背景是力做功，是形的特征的抽象化，所以可以回歸到形的角度來(lái)考慮. 若作AB的中垂線OE交AB于E，作AC的中垂線OF交AC于F，則·=·（-）=·-·=

·

-

·

=（

2-

2）.

點(diǎn)評(píng)：（1）此法是從數(shù)量積運(yùn)算的本質(zhì)特征入手，將抽象的式轉(zhuǎn)化為直觀的形，借助圖形特征幫我們解題.

（2）既然從AB，AC角度能夠用數(shù)量積的幾何意義解決，那么從BC角度應(yīng)該也可以解決. 過(guò)A作AM⊥BC交BC與M，則在方向上的投影即，所以·=

·

·cos〈，〉=

·

，而由題三角形的三邊已知，可求出DM，這樣便可以求出來(lái).

[C][D][O][A][B][M]

圖7

非常自然的一個(gè)延伸挖掘，如果當(dāng)時(shí)把這些問(wèn)題弄清楚了，筆者相信，學(xué)生不僅對(duì)外心這個(gè)條件的利用有了更深的體會(huì)，也會(huì)對(duì)向量數(shù)量積的內(nèi)涵和外延有更深的理解. 那么在遇到期末考試這道題時(shí)，就能很快發(fā)現(xiàn)考查的是向量數(shù)量積的幾何意義，這道題也就迎刃而解了.

[?] 反思后記

“平面向量數(shù)量積”是高考的重點(diǎn)與難點(diǎn)，但是學(xué)生做相關(guān)的綜合題得分率卻很低. 其實(shí)，“學(xué)生是教師的一面鏡子”，學(xué)生的表現(xiàn)折射出的是教師的教學(xué). 所以面對(duì)學(xué)生的解題障礙，我們要多從教學(xué)的角度分析、反思、改進(jìn)，這樣才能避免簡(jiǎn)單重復(fù)勞動(dòng)，取得教與學(xué)的雙豐收.