孫浩

摘 要：三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，其以角度為自變量的函數(shù)使得初學者對函數(shù)的認知極為不適應(yīng). 在高一對三角函數(shù)的教學中，函數(shù)值域教學是三角函數(shù)教學的難點，也是學生不太能掌握的. 本文以一次三角函數(shù)復(fù)習課值域教學為主進行的三角函數(shù)值域核心知識的探索，以主動探究方式、積極參與建構(gòu)等新課程理念進行滲透實施，使學生對三角函數(shù)求值域這類核心問題的解決有了更深的認知和了解.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；合一變形； 二次函數(shù)；斜率；探究

作為一種特殊的函數(shù)——三角函數(shù)，因其以角度為自變量，使得高一學生往往接受較為困難. 在三角函數(shù)中，作為其核心內(nèi)容的值域求解問題，一直是困擾學生三角函數(shù)水平提高的一個“坎”. 本文從一道三角函數(shù)值域問題出發(fā)，進行多角度的值域變式研究、探索和函數(shù)問題本質(zhì)的追問，以典型的問題展開，使學生對三角函數(shù)求值域這類核心問題有了更深的認知和了解.

[?] 基本問題

對于三角函數(shù)求解值域的最基本問題，最顯著的雙基知識來自兩個方面：其一是三角函數(shù)兩角和與差正、余弦公式的逆用，即由asinx+bcosx?Asin（ωx+φ）；其二是對三角函數(shù)基本圖象y=sinx進行整體運用和處理.我們來看一個最基本的三角求值域問題.

說明：sin（α±β）與cos（α±β）的公式正向展開與逆向合并，使學生真正理解了兩角和與差的正余弦. 從高一學生的學習情況來看，往往對公式的正向展開熟練有加、思維穩(wěn)定，但是對公式的逆向使用卻往往不熟練，究其原因，主要在于：其一，學生對剛剛掌握的公式?jīng)]有真正親身經(jīng)歷公式形成的過程，導(dǎo)致其印象不深刻；其二，對公式的逆用熟悉程度比不上公式的順用；其三，很多學生合一變形之后，對自變量無法進行從x→x-→sin

教師：本題的函數(shù)有兩種不同的角，明顯是兩倍角關(guān)系，同學們想想該怎么處理？

學生：將兩倍角利用公式轉(zhuǎn)化為單角，然后對單角的函數(shù)進行處理.

學生（板書）：y=1-2sin2x+2sinx=-2·

說明：本題的處理不同于案例，明顯在兩倍角與單角之間存在互相轉(zhuǎn)化的公式，將角度轉(zhuǎn)化為單角后，我們發(fā)現(xiàn)本題的實質(zhì)是閉區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題. 將陌生的三角情境轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)情境，是解決本問題的關(guān)鍵.通過教學實際，我們發(fā)現(xiàn)學生在“基礎(chǔ)性轉(zhuǎn)化”（即只有一個彎的轉(zhuǎn)化問題上）上有著極強的能力，對于高中起步階段的學生可以進行思維的推動.

教師：請大家看變式2，能不能利用案例和上述變式1思考解決.

學生：我認為，只要將上述函數(shù)中的sin2x與cos2x進行合并，然后利用變式1二次函數(shù)的解決方式就可以.

教師：第一步說的很正確，sin2x+sinxcosx+cos2x?+sinxcosx+cos2x，但是后期的處理是二次函數(shù)的轉(zhuǎn)化嗎？

學生：哦！應(yīng)該利用二倍角公式的逆用，進而轉(zhuǎn)化為案例的方式解決.

教師：這次說對了. 二倍角公式的逆用，即我們課堂上常常說的降冪公式的使用，這是高考三角問題最基本的處理方式，請同學來詳細解答.

說明：對上述變式2類型的探索，是高考數(shù)學中比較重要的三角數(shù)學模型.從知識角度而言，對三角重要公式：兩倍角的逆用、兩角和與差的正、余弦公式的逆用都需要極為扎實、熟練的基本功；從思想角度來說，在處理三角函數(shù)值域時，整體思想和圖形的運用很關(guān)鍵，要學生從最基本的正弦函數(shù)圖象中進行轉(zhuǎn)化吸收；從問題背景而言，考慮到y(tǒng)=asin2x+bsinxcosx+ccos2x類型的每一項均為二次，通過轉(zhuǎn)化降解為一次的函數(shù)，正是案例所研究的基本模型. 因此，上述案例、變式1、變式2，均為層層遞進式、螺旋上升式的值域探索問題，都屬于基本三角函數(shù)值域型問題.

教師：在研究了上述3個基本問題后，我們來看看變式3. 請大家看看如何處理上述變式？

學生：好像原來的三種問題均和本題沒有什么聯(lián)系.

教師：提醒一下，要從變式2最后我們對問題本質(zhì)的總結(jié)去思考.

學生：將上述式子展開，我發(fā)現(xiàn)y=sinx+cosx+sinxcosx+1，從函數(shù)次數(shù)來考慮，這是一個明顯的二次函數(shù).

教師：好！這位同學說到最核心的問題了. 那么如何轉(zhuǎn)化？

學生：我覺得可以利用換元思想來進行處理吧. 我在參考書上看到過類似的問題，令t=sinx+cosx，則sinxcosx=，而由x∈

說明：對于變式3的問題研究，著重要培養(yǎng)學生從思維的高度開始思考，何為思維的高度呢？就是剝離外表看本質(zhì)的能力. 數(shù)學教學最基本的在于概念教學和基本知識、基本能力的教學，在此基礎(chǔ)之上的問題正是引導(dǎo)學生對數(shù)學本質(zhì)的思考. 通過教學實踐，我們發(fā)現(xiàn)學生對數(shù)學問題的處理一般都是下意識的，如何提高學生的數(shù)學問題解決能力？要從高度上提點學生：認識數(shù)學形式的背后所闡述的數(shù)學本質(zhì)，即本題中二次函數(shù)問題的猜想、轉(zhuǎn)換、求解.

變式4：求函數(shù)y=的值域.

教師：我們來看看與變式3類似的問題，請同學們思考一下變式的處理.

學生：我覺得和變式3類似，可以利用換元的方式進行處理，但是必須考慮它的定義域.

教師：這位同學說得很好，讓我們看看同學們的計算.

學生（板書）：由sinx+cosx≠-1，所以x≠2kπ+π且x≠2kπ-，令t=sinx+cosx，則sinxcosx=，f（x）=g（t）=，根據(jù)案例所得到的模型特點，可得其定義域：t≤且t≠-1，所以原函數(shù)的值域為y∈

說明：問題的解決往往在于不斷將陌生的情形轉(zhuǎn)化為熟悉的情形，即轉(zhuǎn)化思想的不斷運用和滲透. 我們知道，學生對轉(zhuǎn)化思想的欠缺和處理問題基本知識和基本運算的不熟練，導(dǎo)致其解決全新變式問題時有時不知所措. 通過變式4，筆者引導(dǎo)學生將轉(zhuǎn)化思想不斷滲透進去，對不同函數(shù)模型下的值域問題進行分類，利用不同策略求解.

變式5：求函數(shù)y=的值域.

教師：看最后一個變式問題，請大家分析.

學生：好像前面的方式都不能解決這樣的模型. 我覺得它的形式有點像直線的斜率.

教師：是的，這位同學對知識間的聯(lián)系非常熟悉，我們請他來分析.

學生：y的幾何意義是定點A（-2，3）和橢圓x2+=1上任意一點（sinx，2cosx），連線的斜率，所以y的最值即為切線AC，AB的斜率，設(shè)切線方程y=k（x+2）+3，聯(lián)立x2+=1，得（k2+4）x2+（4k2+6k）x+（4k2+12k+5）=0，令Δ=0，得k=-6±，所以原函數(shù)的值域為y∈[-6-，-6+].

教師：這位同學對數(shù)形結(jié)合思想理解得非常透徹，利用橢圓的切線求解三角值域問題，非常有創(chuàng)新的感覺.

學生：我還有其他的辦法，將分子中的2提出，是不是可以變成2·？然后利用單位圓和定點A

教師：不錯，但是方法上本質(zhì)依舊是數(shù)形結(jié)合思想.有沒有代數(shù)方式呢？

學生：可以將原式化簡為y（sinx+2）=2cosx-3，則sin（x+θ）=2y+3，利用正弦的有限性，即解不等式

說明：本題的解答方式比較多樣性，既可以利用代數(shù)方式回歸到案例的解法，也可以利用數(shù)形結(jié)合思想對問題進行圖形化的切線問題處理. 在這樣的提高問題中，教師努力指導(dǎo)學生，注重于基本問題的聯(lián)系以及圖形化思維的指導(dǎo).

[?] 思考

本文對三角函數(shù)求值域問題進行了實踐的探索，教師引導(dǎo)以教材問題作為案例進行基本的剖析，并以不同形式的變式進行了探索. 筆者認為，這樣的課程比較適合在總結(jié)性的復(fù)習課堂內(nèi)使用，要體現(xiàn)值域教學的多樣性和整合性. 本文中的案例和變式將學生的基本知識和知識鏈接、能力進行了有效的整合，提高了課堂教學的有效性. 融會貫通能力的達到必須有一個循序漸進的過程，從最近的三角函數(shù)試題考查而言，能力立意的考查成為主流，通過變式教學堆積起來的數(shù)學知識的熟練運用能力和轉(zhuǎn)換能力是學生一筆寶貴的財富.

文中所涉及的值域基本問題圍繞二倍角公式、兩角和與差的正、余弦公式等建構(gòu)，也是考查的重點公式；所涉及的思想方法圍繞整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等進行滲透；對學生能力立意的角度而言，這是一種不斷循序漸進式的整合和提升. 特別是在復(fù)習教學的時候，應(yīng)該把緣自教材的試題進行深加工，利用教師自身對三角函數(shù)值域問題的理解和掌握，以變式教學引領(lǐng)學生將多角度、多思維的方向進行到底. 復(fù)習教學是一種講求教學效率的教學，利用教材試題進行的演變、加工，可以提高學生整體把握知識點的能力，提高課堂教學的效率.