潘小東

【摘要】高等數(shù)學(xué)的緒論課對(duì)于學(xué)生了解這門課程的發(fā)展歷程、主要內(nèi)容、思想方法，以及它在整個(gè)大學(xué)階段學(xué)習(xí)中的地位、作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的興趣具有非常重要的作用.針對(duì)工科本科院校，本文提出一種高等數(shù)學(xué)緒論課教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；緒論課；內(nèi)容設(shè)計(jì)；工科本科院校

一、緒論課在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

緒論是對(duì)于一門課程發(fā)展歷程、主要內(nèi)容、思想方法的概括，是從整體上了解、認(rèn)識(shí)這門課程的關(guān)鍵；同時(shí)，它也為學(xué)生如何學(xué)習(xí)這門課程指明了方向.高等數(shù)學(xué)是高等院校理、工、農(nóng)、醫(yī)、經(jīng)濟(jì)、管理等類專業(yè)以及文科部分專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課程，是學(xué)習(xí)大學(xué)物理、材料力學(xué)、理論力學(xué)、電工基礎(chǔ)等課程的基礎(chǔ)，因此，對(duì)工科院校的學(xué)生尤其重要.但是，由于高等數(shù)學(xué)所包含的內(nèi)容具有高度的抽象性，與現(xiàn)實(shí)生活存在一定的距離，從而給這門課程的教與學(xué)帶來了一定的困難.

首先，高等數(shù)學(xué)到底是一門什么樣的課程？這門課程要解決什么樣的問題？對(duì)此，學(xué)生會(huì)存在很大的疑問.其次，我們知道，在中學(xué)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)往往從直觀入手，循序漸進(jìn)地去理解課程的內(nèi)容，比如，學(xué)習(xí)三角形，老師首先通過一個(gè)三角形的實(shí)物給學(xué)生一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)；而高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)則需要將直觀認(rèn)識(shí)和嚴(yán)密的理論推導(dǎo)相結(jié)合，比如極限理論的學(xué)習(xí)，曲線、曲面積分理論、級(jí)數(shù)理論均是如此.那么，到底應(yīng)該如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)？它的思想方法是什么？高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)相比，究竟有何不同？另外，學(xué)生往往也有這樣的疑問，學(xué)了這門課程到底有什么用呢？有利于我將來的發(fā)展嗎？

那么，高等數(shù)學(xué)緒論課的教學(xué)就是要解決上面的這些問題，或者解除學(xué)生對(duì)這些問題的疑問.

二、高等數(shù)學(xué)緒論課教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路

針對(duì)上面所提出的問題，我們認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)緒論課的教學(xué)應(yīng)該包括以下幾個(gè)部分的內(nèi)容.

1.什么是高等數(shù)學(xué)

鑒于高等教育國際化的發(fā)展趨勢，首先，我們應(yīng)該向?qū)W生簡要說明，高等數(shù)學(xué)這門課程在西方大學(xué)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)課程是微積分（英文：calculus）.其次，介紹微積分的發(fā)展歷程.微積分思想的誕生可追溯到公元前5世紀(jì)的希臘.在我國，微積分思想的出現(xiàn)則在公元前4世紀(jì)，春秋戰(zhàn)國時(shí)的惠施說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭矣”，其中就蘊(yùn)含了極限的思想； 公元3世紀(jì)，三國魏人劉徽在《九章算術(shù)》中提出的“割圓術(shù)”則包含了積分的雛形.微積分真正成為一門學(xué)科，是在17世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲為微積分的創(chuàng)立作出了卓越的貢獻(xiàn).另外，在微積分的創(chuàng)立、完善的過程中，笛卡爾、費(fèi)馬、巴羅、柯西、魏爾斯特拉斯等人也作出了非常重要的貢獻(xiàn).由于教學(xué)時(shí)間的限制，關(guān)于微積分的發(fā)展歷程這部分的內(nèi)容，在課堂教學(xué)過程中可以只介紹微積分發(fā)展的三個(gè)關(guān)鍵階段，即前期準(zhǔn)備階段、創(chuàng)立階段以及后期完善階段，語言盡可能的簡潔，不必過于詳細(xì)地去闡述.同時(shí)，把與微積分發(fā)展歷程相關(guān)的比較經(jīng)典的資料放在本門課程的主頁上，讓學(xué)生作為課外閱讀材料進(jìn)行學(xué)習(xí).最后，介紹高等數(shù)學(xué)這門課程將會(huì)包含的主要教學(xué)內(nèi)容.為此，可以從高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象入手進(jìn)行說明.那么，高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是什么？從總體上講，高等數(shù)學(xué)是關(guān)于運(yùn)動(dòng)和變化的數(shù)學(xué)，是研究關(guān)于速度、加速度、切線、斜率、面積、體積、弧長、質(zhì)心、曲率以及無限和等問題的一門數(shù)學(xué).它以變量和變量之間的關(guān)系來刻畫事物的運(yùn)動(dòng)和變化，因此，高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是變量.它的主要教學(xué)內(nèi)容包括極限理論、微分學(xué)、積分學(xué)、常微分方程、向量代數(shù)和空間解析幾何以及級(jí)數(shù)理論，其中主體是微積分理論，其他內(nèi)容為輔.

到此，學(xué)生可能會(huì)有一些疑問：在中學(xué)的時(shí)候，他們也學(xué)習(xí)過函數(shù)，也研究過速度、切線、面積、體積等問題，那么，高等數(shù)學(xué)在研究內(nèi)容、思想方法上與中學(xué)所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)（初等數(shù)學(xué)）相比究竟有何不同？

2.初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的比較

從總體上講：初等數(shù)學(xué)可以認(rèn)為是一種靜態(tài)的數(shù)學(xué)，以常量作為研究對(duì)象.初等數(shù)學(xué)只考慮現(xiàn)實(shí)世界中最簡單的量的關(guān)系，只考慮常量與固定圖形，使用形式邏輯的方法進(jìn)行推理.

而高等數(shù)學(xué)是一種動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)，以變量作為研究對(duì)象.高等數(shù)學(xué)研究的是變量與圖形的變化規(guī)律，使用的研究方法一般是動(dòng)態(tài)的、聯(lián)系的，因而也是辯證的.

例如：當(dāng)物體以恒定（靜態(tài)，常量）的速度運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用初等數(shù)學(xué)來描述；但是當(dāng)物體在運(yùn)動(dòng)過程中速度是連續(xù)變化（動(dòng)態(tài)，變量）的時(shí)候，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律則需要高等數(shù)學(xué)的知識(shí)來描述.

另外，可以通過下面的表格，更加清晰地給學(xué)生展示高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的區(qū)別與聯(lián)系；同時(shí)，在此基礎(chǔ)上，指出高等數(shù)學(xué)主要的思想方法：以初等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，利用極限理論解決實(shí)際問題.

因此，對(duì)比初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)，可以得到下面的結(jié)論：初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不同，常量vs變量；研究方法也不一樣：靜止的觀點(diǎn)vs運(yùn)動(dòng)的、辯證的觀點(diǎn).很多用初等數(shù)學(xué)方法無法求解的問題，在高等數(shù)學(xué)中可以獲得求解.那么，學(xué)生可能會(huì)問，在高等數(shù)學(xué)中，究竟是如何求解上述這些問題的呢？

3.高等數(shù)學(xué)的主要思想方法

為此，可以通過簡要敘述微積分基本問題——切線問題和求積問題的求解思路來說明高等數(shù)學(xué)主要的思想方法.在高等數(shù)學(xué)中，解決問題所采用的主要思想方法是：以初等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，利用極限過程求解.

切線問題（將極限過程應(yīng)用于直線的斜率）：這個(gè)問題本身是純幾何的，但它對(duì)于科學(xué)應(yīng)用有著巨大的重要性，包括天文、物理等領(lǐng)域.求已知曲線在點(diǎn)M0處的切線，本質(zhì)上是想找一條直線，使得該直線在點(diǎn)M0處與曲線一致并且在點(diǎn)M0的附近與曲線最接近.除去切線垂直于x軸的情況外，這個(gè)問題就是計(jì)算在點(diǎn)x0處的切線的斜率.為此，在曲線上取M0之外的另外一點(diǎn)M1，作連接M0和M1的直線，得割線.割線的斜率可以按照初等數(shù)學(xué)的方法求得，讓M1沿著曲線向M0逼近；可以發(fā)現(xiàn)，在M1逼近M0的過程中，割線無限地接近切線，這時(shí)候，如果割線的極限位置存在，則取極限位置處割線的斜率為切線的斜率.

這個(gè)問題的圓滿解決首先需要將“割線向切線逼近的過程”用精確的方式描述出來，也就是需要建立極限理論；其次，切線的斜率的求解則需要建立導(dǎo)數(shù)（或者微分）理論，這些都屬于微分學(xué)的研究內(nèi)容.

求積問題（將極限過程應(yīng)用于矩形面積）：求解由光滑曲線所圍成的平面圖形的面積，這也是一個(gè)與很多科學(xué)實(shí)踐問題關(guān)系密切的重要的問題.最簡單的情形：曲邊梯形.為了求出曲邊梯形的面積，取曲線上位于區(qū)間[a，b]上的一點(diǎn)，作矩形；可以發(fā)現(xiàn)，隨著矩形個(gè)數(shù)的增加，這些矩形面積的和無限地接近于曲邊梯形的面積.

這里，矩形面積的和逼近于曲邊梯形面積的過程的描述需要極限理論，曲邊梯形面積的求解則依賴于積分理論的建立，這些都屬于積分學(xué)的研究內(nèi)容.

從某種意義上講，高等數(shù)學(xué)可以看成是將極限理論應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)所發(fā)展起來的一門數(shù)學(xué).因此，初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，“極限”是高等數(shù)學(xué)的核心概念，可以說，沒有極限理論，就沒有高等數(shù)學(xué).

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不是簡單地記憶高等數(shù)學(xué)中的各種數(shù)學(xué)公式，重要的是理解和掌握極限的思想，并學(xué)會(huì)用極限的思想解決實(shí)際問題.

4.高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域

在緒論課中介紹高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域，對(duì)提高學(xué)生對(duì)這門課程的學(xué)習(xí)興趣具有非常重要的意義.由于是緒論課，因此只需要介紹高等數(shù)學(xué)所涉及的應(yīng)用領(lǐng)域以及應(yīng)用結(jié)果，不需要介紹應(yīng)用的過程，至于如何應(yīng)用，則可作為懸念提出.高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域包括以下幾個(gè)方面：（1）工程物理學(xué)領(lǐng)域，包括水庫的容積、浮力的計(jì)算、地震強(qiáng)度的計(jì)算、橋梁的設(shè)計(jì)、衛(wèi)星軌道的離心率、高速公路的設(shè)計(jì)、草地灑水裝置的設(shè)計(jì)等.（2）商業(yè)和金融領(lǐng)域，包括養(yǎng)老金問題、收支平衡分析、消費(fèi)價(jià)格指數(shù)、最大利潤、邊際成本、邊際收益等.（3）社會(huì)和行為科學(xué)領(lǐng)域，包括國防經(jīng)費(fèi)的預(yù)算、人口增長的預(yù)測、學(xué)習(xí)曲線的建立等.（4）生命科學(xué)領(lǐng)域，包括血液的流動(dòng)、細(xì)菌的增長、二氧化碳的濃度、轉(zhuǎn)染病模型的建立等.（5）其他領(lǐng)域：牙齒的鑲嵌（向量代數(shù)）、排隊(duì)模型的建立等.更詳細(xì)的內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[1，4].

由于教學(xué)的對(duì)象是工科院校的本科學(xué)生，因此，在講授高等數(shù)學(xué)的過程中，很重要的一點(diǎn)是將高等數(shù)學(xué)的理論與工程實(shí)踐問題相結(jié)合，特別是在選擇例題的時(shí)候，應(yīng)盡可能選擇與工程實(shí)踐問題密切相關(guān)的實(shí)例，同時(shí)也可以以一些實(shí)際的工程實(shí)踐問題作為高等數(shù)學(xué)課程的課后作業(yè)，這樣也可以發(fā)揮各種計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件這些現(xiàn)代化的工具在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用.

三、總 結(jié)

高等數(shù)學(xué)是以極限作為工具研究函數(shù)的一門數(shù)學(xué)，是高等學(xué)校理、工、農(nóng)、醫(yī)、經(jīng)濟(jì)、管理等類專業(yè)以及文科部分專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)大學(xué)物理、材料力學(xué)、理論力學(xué)、電工基礎(chǔ)等課程的基礎(chǔ).這門課程的特點(diǎn)是：高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓浴?yīng)用的廣泛性.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)首先要熟悉初等數(shù)學(xué)的理論和方法，學(xué)好高等數(shù)學(xué)重要的是要掌握它解決問題的思想方法，將理論和實(shí)踐相結(jié)合.由于緒論課課時(shí)有限，本文所設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容并不需要全部都包含在一堂高等數(shù)學(xué)緒論課的教學(xué)過程中，這里我們只是提出一種緒論課教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路，供讀者參考.另外，文獻(xiàn)[2，3]在我們準(zhǔn)備高等數(shù)學(xué)緒論課教學(xué)的過程中也有很好的指導(dǎo)作用.

【注釋】

本文為西南交通大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目資助成果.課題名稱：工科研究型大學(xué)公共數(shù)學(xué)課程體系改革與實(shí)踐.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Gary Hosler Meisters.Tooth Tables： Solution of a Dental Problem by Vector Algebra，1982，55：274-280.

[2]李心燦.試談數(shù)學(xué)緒論課的講授.教學(xué)與教材研究，1994（1）：47-48.

[3]全生寅.高等數(shù)學(xué)教程： 思想、方法、理論、應(yīng)用.西安：西安交通大學(xué)出版社，2005.

[4]Ron Larson，Bruce H Edwards.Calculus （Ninth edition），2010.