郭玉峰，劉 佳

（1．北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875；2．北京市通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)，北京 101100）

師范院校學(xué)生“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)理解情況的調(diào)研

郭玉峰1，劉 佳2

（1．北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875；2．北京市通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)，北京 101100）

借用SOLO分類(lèi)原理將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解分為4個(gè)層次水平，通過(guò)改編和自編的測(cè)試問(wèn)卷對(duì)92名師范院校的師范生進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果表明：大部分學(xué)生處于1-水平和2-水平，在導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)方面缺乏深層次理解，有關(guān)導(dǎo)數(shù)的存在性、曲線的切線、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)函數(shù)等的理解存在問(wèn)題，舉反例的能力不強(qiáng)；導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解和導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解存在顯著線性相關(guān)；導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解存在年級(jí)差異．據(jù)此建議：增強(qiáng)師范生對(duì)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容本質(zhì)的理解和把握；加強(qiáng)教育實(shí)習(xí)、教育見(jiàn)習(xí)的指導(dǎo)，提高學(xué)科教學(xué)知識(shí)的理解．

師范生；學(xué)科知識(shí)；學(xué)科教學(xué)知識(shí)；導(dǎo)數(shù)

1 引 言

教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展問(wèn)題是近年來(lái)國(guó)內(nèi)、外研究的熱點(diǎn)．按照《國(guó)家十二五教育發(fā)展規(guī)劃綱要》的要求，中國(guó)將繼續(xù)推進(jìn)師范生教育，重視教師教育，建立健全教師專(zhuān)業(yè)能力發(fā)展的長(zhǎng)效機(jī)制，提高教師的綜合素質(zhì)．關(guān)于如何幫助教師提高專(zhuān)業(yè)能力？數(shù)學(xué)家楊樂(lè)院士指出：“要幫助年輕的、經(jīng)驗(yàn)不多的教師提高他們水平的話，我覺(jué)得還是讓他們的數(shù)學(xué)知識(shí)能夠更加深入一些，數(shù)學(xué)的修養(yǎng)和水平應(yīng)該更高一些，這實(shí)際上不僅是我個(gè)人的看法，也是整個(gè)數(shù)學(xué)界的看法．”[1]這反映了數(shù)學(xué)家對(duì)教師數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)上的要求和期望．

目前師范院校部分學(xué)生對(duì)未來(lái)如何教好中小學(xué)數(shù)學(xué)存在一些誤區(qū)．如，認(rèn)為不需要具備多么高深的高等數(shù)學(xué)的知識(shí)就可以教學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)，不能有意識(shí)地將高等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系起來(lái)；認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)得好一定能教好中小學(xué)數(shù)學(xué)，不太重視師范院校開(kāi)設(shè)的教育類(lèi)課程，甚至視為形同虛設(shè)，“這些話我都懂，還需要開(kāi)設(shè)這樣一門(mén)課嗎”？認(rèn)為數(shù)學(xué)就是講演繹、講證明，數(shù)學(xué)就是習(xí)題和證明，在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)的積累和儲(chǔ)備不夠等．為了客觀反映師范院校學(xué)生數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解情況，研究者以微積分中的“導(dǎo)數(shù)”為載體進(jìn)行了調(diào)研．

以“導(dǎo)數(shù)”知識(shí)為載體進(jìn)行考查，基于兩點(diǎn)考慮．第一，微積分在數(shù)學(xué)中處于重要地位．導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念，蘊(yùn)含變化率思想，導(dǎo)數(shù)是研究初等函數(shù)的一個(gè)重要工具并發(fā)揮積極的作用．這部分內(nèi)容不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中處于重要地位，在高等數(shù)學(xué)中也處于基礎(chǔ)地位；第二，高中數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)方面是將高等數(shù)學(xué)的部分內(nèi)容下放到中學(xué)課程中，其中包含了“函數(shù)極限、微積分、空間向量等眾多知識(shí)點(diǎn)”，而導(dǎo)數(shù)是微積分的重要內(nèi)容．

文[2]的研究表明，高中數(shù)學(xué)教師“導(dǎo)數(shù)”的學(xué)科知識(shí)和學(xué)科教學(xué)知識(shí)存在差異；隨年齡、閱歷的增長(zhǎng)，教師的“導(dǎo)數(shù)”知識(shí)并非隨年齡增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)，而是在30~40歲之間有所下降，但教學(xué)知識(shí)卻隨著年齡的增長(zhǎng)而逐漸豐富．作為培養(yǎng)未來(lái)教師的師范院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生對(duì)“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解情況如何？對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)理解的相關(guān)性如何？是否存在年級(jí)差異？這是文章研究的主要問(wèn)題．

這里的學(xué)科知識(shí)是“所教學(xué)科內(nèi)容的專(zhuān)門(mén)知識(shí)”[3]，具體指導(dǎo)數(shù)的概念、意義、原理、法則、計(jì)算以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)．學(xué)科教學(xué)知識(shí)是“教師將自己所理解的學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化成有益于學(xué)生理解的知識(shí)”[3]，具體指如何以利于學(xué)生理解的方式呈現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容知識(shí)，以及如何理解和幫助不同學(xué)生在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的誤區(qū)和困難．關(guān)于“理解”的考查，主要借鑒SOLO（Structure Of the Observed Learning Outcome首字母的縮寫(xiě)，意為“觀測(cè)到學(xué)習(xí)成果的結(jié)構(gòu)”）分類(lèi)原理[4]，根據(jù)學(xué)習(xí)者的反應(yīng)確定相應(yīng)層次水平．

2 研究框架與方法

2.1 研究框架和研究方法

根據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)數(shù)部分的內(nèi)容[5]，以及大學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)分析[6]的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，確立從導(dǎo)數(shù)基本概念、導(dǎo)數(shù)意義、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4個(gè)維度考察導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)，為研究導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)與教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的相關(guān)性，以這4個(gè)維度的知識(shí)點(diǎn)為載體，進(jìn)一步考察導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)．

借用SOLO分類(lèi)原理，根據(jù)問(wèn)卷作答情況，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)各維度的理解情況分別劃分為由低到高4個(gè)理解水平（0-水平、1-水平、2-水平、3-水平）：

0-水平：得分屬于滿分的[0%, 25%)范圍內(nèi)．處于該水平的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解表現(xiàn)為不能給出題目的解答，也不能給出解答思路；處于該水平的導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解表現(xiàn)為不能給出合理、有效的糾正措施和教學(xué)設(shè)計(jì)．

1-水平：得分屬于滿分的[25%, 50%)范圍內(nèi)．處于該水平的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解表現(xiàn)為對(duì)所給題目有一點(diǎn)認(rèn)識(shí)，但不深刻；處于該水平的導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解表現(xiàn)為知道正確答案是什么，但不知如何給學(xué)生講解．

2-水平：得分屬于滿分的[50%, 75%)范圍內(nèi)．處于該水平的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解表現(xiàn)為能夠給出部分解答或思路，但不太全面；處于該水平的導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解表現(xiàn)為知道如何糾正錯(cuò)誤答案，但給出的教學(xué)設(shè)計(jì)還有待改善．

3-水平：得分屬于滿分的[75%, 100%]范圍內(nèi)，處于該水平的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解表現(xiàn)為能正確、完整地給出解答或思路；處于該水平的導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解表現(xiàn)為不僅知道如何糾正學(xué)生的錯(cuò)誤解答，并能給出好的教學(xué)設(shè)計(jì)．

研究采用問(wèn)卷測(cè)試和訪談相結(jié)合的方法．研究之初，為確定導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的考查維度，對(duì)相關(guān)專(zhuān)業(yè)研究生進(jìn)行了小范圍訪談．研究過(guò)程中，每一次測(cè)試并閱卷后，選出大約10%的測(cè)試對(duì)象進(jìn)行訪談，目的是了解被測(cè)者的答題思路和真實(shí)想法，包括被測(cè)者對(duì)問(wèn)卷感到困難的部分，個(gè)人的學(xué)習(xí)情況，選擇教師職業(yè)的原因等．整個(gè)訪談過(guò)程做詳細(xì)筆錄．

2.2 測(cè)試問(wèn)卷的編制

測(cè)試問(wèn)卷分兩部分，第一部分是導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的考察，主要參考Thomas W Judson和Toshiyuki Nishimori相關(guān)研究測(cè)試題[7]，國(guó)內(nèi)秦德生考查學(xué)生導(dǎo)數(shù)內(nèi)容理解水平的相關(guān)測(cè)試題[8]，以及大學(xué)、中學(xué)相應(yīng)教材[5，9]．共12道測(cè)試題，各題目考察目的如下：

維度一（導(dǎo)數(shù)基本概念）：

題目7：對(duì)導(dǎo)數(shù)基本概念的了解和理解；

題目4：對(duì)導(dǎo)數(shù)存在性的理解；

題目3：對(duì)函數(shù)可導(dǎo)和不可導(dǎo)的理解以及舉反例的能力．

維度二（導(dǎo)數(shù)意義）：

題目9：對(duì)導(dǎo)數(shù)物理含義的理解；

題目1：對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的了解和理解；

題目11：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題．

維度三（導(dǎo)函數(shù)）：

題目2：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)推斷原函數(shù)的性質(zhì)；

題目6：用導(dǎo)函數(shù)解決物理運(yùn)動(dòng)規(guī)律問(wèn)題；

題目8：對(duì)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)圖像關(guān)系的理解．

維度四（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用）：

題目5：利用導(dǎo)數(shù)求解和判斷函數(shù)的極值點(diǎn)；

題目10：利用導(dǎo)函數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

題目12：利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的優(yōu)化問(wèn)題．

第二部分是導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的考察，主要參考國(guó)外研究者V. ISAAC[8]的相關(guān)研究．共6道開(kāi)放性問(wèn)題，各題目考察目的如下：

維度一（導(dǎo)數(shù)基本概念）：

題目2.(1)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)基本概念，分析學(xué)生解答；

題目2.(2)：分析學(xué)生錯(cuò)誤解答的原因；

題目2.(3)：教學(xué)導(dǎo)數(shù)基本概念的能力．

維度二（導(dǎo)數(shù)意義）：

題目4.(1)、題6.(1)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義和曲線的切線概念，判斷學(xué)生的解答；

題目4.(2)：分析學(xué)生錯(cuò)誤解答的原因；

題目4.(3)、題目6.(2)：如何糾正學(xué)生的錯(cuò)誤解答，并對(duì)此知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)．

維度三（導(dǎo)函數(shù)）：

題目1.(1)、題目5.(1)：判斷學(xué)生計(jì)算導(dǎo)函數(shù)的結(jié)果或判斷導(dǎo)函數(shù)的圖像正確與否；

題目1.(2)、題目5.(2)：分析學(xué)生錯(cuò)誤解答的原因；

題目1.(3)、題目5.(3)：教學(xué)導(dǎo)函數(shù)的能力；

維度四（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用）：

題目3.(1)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)與極值點(diǎn)之間的關(guān)系，判斷學(xué)生的解答；

題目3.(2)：分析學(xué)生錯(cuò)誤解答的原因；

題目3.(3)：如何糾正學(xué)生的錯(cuò)誤解答，并進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)．

2.3 測(cè)試對(duì)象及問(wèn)卷的信度分析

考慮到數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的考查，樣本選取了某師范院校大三、大四數(shù)學(xué)師范生．共發(fā)放問(wèn)卷102份，回收100份，有效問(wèn)卷92份，有效率92%．測(cè)試時(shí)間為2011年6月和8月，測(cè)試由研究者親自執(zhí)行，避免被測(cè)者在答題過(guò)程中的交流和討論，測(cè)試時(shí)間80分鐘．

采用克朗巴哈（Cronbach）α信度系數(shù)法進(jìn)行信度分析．利用SPSS17.0統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行處理，得到問(wèn)卷的克朗巴哈α系數(shù)為0.834 0，基于標(biāo)準(zhǔn)化的α系數(shù)為0.827 8，表明本測(cè)試問(wèn)卷具有良好的穩(wěn)定性和內(nèi)部一致性[10]．

3 研究結(jié)果

根據(jù)研究框架和方法，將學(xué)生問(wèn)卷的不同得分對(duì)應(yīng)不同理解水平，得到如下結(jié)果：

3.1 有關(guān)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解情況

導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)各維度的理解情況如圖1．

圖1表明，大部分調(diào)研學(xué)生在導(dǎo)數(shù)基本概念、導(dǎo)數(shù)意義、導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用這4個(gè)維度處于1-水平和2-水平．橫向比較發(fā)現(xiàn)：4個(gè)維度處于3-水平的人數(shù)百分比分別是16.3%、19.57%、13.04%以及16.3%．

圖1 關(guān)于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)各維度的理解水平分布

導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)各維度的理解情況如圖2．

同樣，大部分調(diào)研學(xué)生導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)處于1-水平和2-水平．與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解情況相比，處于0-水平的人數(shù)較少，處于3-水平的人數(shù)相對(duì)較多．

圖2 關(guān)于導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)各維度的理解水平分布

3.2 導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)理解的相關(guān)性分析

為定量描述導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)與教學(xué)內(nèi)容知識(shí)理解情況的相關(guān)性，分別計(jì)算4個(gè)維度的相關(guān)性．以導(dǎo)數(shù)基本概念為例，將所有學(xué)生在此維度的得分設(shè)為x，教學(xué)內(nèi)容知識(shí)相應(yīng)維度得分設(shè)為y，由此得到92對(duì)樣本值(x1,y1), (x2,y2), …, (x92,y92)，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)：

其中

利用excel軟件計(jì)算兩者相關(guān)系數(shù)為0.35．同理，其它維度相關(guān)系數(shù)如表1．

表1 導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)與教學(xué)內(nèi)容知識(shí)對(duì)應(yīng)4個(gè)維度間的相關(guān)系數(shù)

進(jìn)行相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)，樣本n=92，自由度為n-2=90，取α=0.05，查相關(guān)系數(shù)臨界值表[10]，臨界值在n-2=90時(shí)的值為0.205 0．由上表相關(guān)系數(shù)r分別為0.35、0.25、0.33、0.29均大于臨界值，說(shuō)明在α=0.05水平上r是顯著的．以上說(shuō)明，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)與教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解存在顯著線性相關(guān)．

3.3 有關(guān)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)理解情況的年級(jí)差異

利用T檢驗(yàn)說(shuō)明調(diào)研學(xué)生關(guān)于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容理解的年級(jí)差異．T檢驗(yàn)結(jié)果如表2：（小括號(hào)內(nèi)數(shù)字代表統(tǒng)計(jì)臨界值，小括號(hào)外數(shù)字代表檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t．）

表2 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T值表

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t大于臨界值，表示存在顯著性差異，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t小于臨界值，表示不存在顯著性差異．可見(jiàn)，關(guān)于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解，大三、大四調(diào)研學(xué)生不存在顯著性差異；關(guān)于導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解，大四調(diào)研學(xué)生理解情況好于大三．

4 研究結(jié)果的討論與分析

從以上數(shù)據(jù)，可以得到如下主要結(jié)論：

4.1 部分調(diào)研學(xué)生在導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)方面缺乏深層次理解且舉反例能力欠缺

數(shù)據(jù)結(jié)果表明，調(diào)研學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解大部分（約70%）處于中等水平（即1-水平、2-水平），他們僅能給出部分解答，解答還不全面．具體表現(xiàn)為：了解導(dǎo)數(shù)基本概念，但不能舉反例判斷導(dǎo)數(shù)的存在性；知道導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義，但還不能利用其正確求解曲線的切線方程，也不能解釋物理現(xiàn)象；知道導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)圖像或性質(zhì)之間的關(guān)系，但不能利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解物理問(wèn)題；能利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解極值問(wèn)題和單調(diào)區(qū)間，但不能準(zhǔn)確解答最優(yōu)化的應(yīng)用問(wèn)題．從橫向數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)基本概念、導(dǎo)數(shù)意義、導(dǎo)函數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用處于較高水平（2-水平、3-水平）的人數(shù)百分比分別是53.26%、52.18%、41.3%以及46.73%．可見(jiàn)，調(diào)研學(xué)生掌握較好的是導(dǎo)數(shù)基本概念，出現(xiàn)問(wèn)題較多的是導(dǎo)函數(shù)有關(guān)內(nèi)容．

進(jìn)一步訪談發(fā)現(xiàn)，調(diào)研學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的深入理解還不夠．如部分學(xué)生盡管知道導(dǎo)數(shù)基本概念，但理解還只限于表面，缺乏深層次的理解．導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)考察的題目4是一道選擇題，考察在分段函數(shù)的分界點(diǎn)是否存在導(dǎo)數(shù)，以及對(duì)左右導(dǎo)數(shù)的理解．原題如下：設(shè)

A. 左、右導(dǎo)數(shù)都存在．

B. 左導(dǎo)數(shù)存在，但右導(dǎo)數(shù)不存在．

C. 左導(dǎo)數(shù)不存在，但右導(dǎo)數(shù)存在．

D. 左、右導(dǎo)數(shù)都不存在．

與文[2] 75%的教師答題錯(cuò)誤的調(diào)研結(jié)果相比，這次調(diào)研表明，師范生仍有近約一半答錯(cuò)，錯(cuò)誤率仍然較高．可見(jiàn)，部分師范生仍需要進(jìn)一步深入理解導(dǎo)數(shù)概念，對(duì)左右導(dǎo)數(shù)的概念，以及函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系需進(jìn)一步學(xué)習(xí)，包括舉反例的能力需進(jìn)一步加強(qiáng)．

部分調(diào)研學(xué)生對(duì)曲線的切線定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解不深刻．有關(guān)“導(dǎo)數(shù)意義”考察的題目1，“設(shè)函數(shù)，請(qǐng)問(wèn)y軸是f(x)在原點(diǎn)的切線嗎？說(shuō)明為什么”，此題考察對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解，涉及曲線的切線的概念．學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)了直線和圓相切，圓的切線即“直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們就稱(chēng)這條直線是該圓的切線”[11]．在高中，人教版課本中，切線概念有了更廣泛的定義，“當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的最終位置為直線AD，這條直線AD叫做曲線在點(diǎn)A的切線”[12]，教材給出的圖示中，曲線位于切線同側(cè)．有些調(diào)研學(xué)生未能正確解答該題，一個(gè)原因受先前知識(shí)的影響，對(duì)曲線的切線理解不清導(dǎo)致．以下是部分學(xué)生的訪談：

生2：“y 軸不是f(x)=x3在原點(diǎn)的切線．如果是切線，那么曲線應(yīng)該在切線同側(cè)，并且只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此原點(diǎn)只不過(guò)是一個(gè)拐點(diǎn)．”

生3：“我認(rèn)為y 軸應(yīng)該是f(x)=x3在原點(diǎn)的切線．因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn)．”

實(shí)際上，根據(jù)曲線的切線定義，“在曲線y=f(x)上一點(diǎn)P(x0,y0)（y0=f(x0)）處的切線，是割線PQ，當(dāng)Q(x,y)沿曲線趨近于P時(shí)的極限位置”，函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，對(duì)應(yīng)曲線在該點(diǎn)處仍有可能存在切線．根據(jù)定義，y軸是該函數(shù)f(x)在原點(diǎn)的切線．生1顯然認(rèn)為必須導(dǎo)數(shù)存在才有對(duì)應(yīng)切線，這也是很多調(diào)研學(xué)生出錯(cuò)的主要原因．生2混淆了拐點(diǎn)和切點(diǎn)的概念，誤以為曲線必在切線的同一側(cè)，且曲線只能和切線有一個(gè)交點(diǎn)（生3也認(rèn)同這一點(diǎn)）．生2、生3受初、高中切線定義的影響，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到只有二次曲線與直線相切時(shí)才只有一個(gè)公共點(diǎn)．由于對(duì)曲線的切線概念理解不清，對(duì)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率這一導(dǎo)數(shù)的幾何意義認(rèn)識(shí)不深刻，導(dǎo)致調(diào)研學(xué)生對(duì)此問(wèn)題的錯(cuò)誤解答．

“導(dǎo)函數(shù)”考查結(jié)果表明，這是調(diào)研學(xué)生掌握最薄弱的地方．考查導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)的題目2，要求根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的周期性推斷原函數(shù)的周期性．判斷“若f′(x)為周期函數(shù)，則f (x)亦是周期函數(shù)”這個(gè)命題的正誤，并給出理由．此題大部分調(diào)研學(xué)生未能給出正確判斷，或是給出正確判斷卻未能給出正確理由．事實(shí)上，這個(gè)命題是錯(cuò)誤的，可以列舉出許多反例，比如“f′(x)=cos x+1是周期函數(shù)，但f(x)=sinx +x不是周期函數(shù)”．這反映部分調(diào)研學(xué)生在導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的理解上存在缺陷，不能很好掌握導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，舉反例的能力需進(jìn)一步加強(qiáng)．

有關(guān)“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”的考察，一方面是利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，另一方面是利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的優(yōu)化問(wèn)題．測(cè)試結(jié)果表明，調(diào)研學(xué)生可以較好理解具有一定生活背景的題目，但是對(duì)于處理利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)題目，比如利用導(dǎo)數(shù)求解復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問(wèn)題，“求函數(shù)f(x)=xlnx-x的單調(diào)區(qū)間和極值？”等存在一些問(wèn)題．

4.2 導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解影響到導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解

數(shù)據(jù)結(jié)果表明，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解存在顯著線性相關(guān)．有關(guān)導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的考察，盡管處于0-水平的人數(shù)較少，但仍有約35%的調(diào)研學(xué)生處于1-水平，他們不知道如何給學(xué)生講解．進(jìn)一步分析調(diào)研結(jié)果，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解影響到教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解．

如考察“導(dǎo)函數(shù)”教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的題目5，“設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)的圖像如右圖所示，則f(x)的圖像最有可能的選項(xiàng)是左邊哪一個(gè)（ ）．

這個(gè)題目，你的一位學(xué)生給出的答案是選項(xiàng)B．

（1）你認(rèn)為該學(xué)生的解答正確嗎？

（2）你認(rèn)為該學(xué)生在解答這個(gè)問(wèn)題時(shí)是如何思考的？你覺(jué)得學(xué)生出現(xiàn)以上思考的原因是什么？

（3）你將如何糾正學(xué)生的錯(cuò)誤想法？”

回答此問(wèn)題，首先要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像特征判斷原函數(shù)圖像的走勢(shì)，考慮區(qū)間段(-∞,0)，(0,1)，(1,2)，(2,+∞)．導(dǎo)函數(shù)圖像在(-∞,0)位于x軸上方，判斷原函數(shù)在此區(qū)間段單調(diào)遞增，排除B、D；導(dǎo)函數(shù)圖像在(0,1)位于x軸下方，判斷原函數(shù)在此區(qū)間段單調(diào)遞減，排除A，答案應(yīng)該是C．可見(jiàn)，答對(duì)此題的關(guān)鍵是清楚原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，這里學(xué)科知識(shí)理解的正確與否直接影響到該題的解答．

與上面問(wèn)題相關(guān)的“導(dǎo)函數(shù)”內(nèi)容知識(shí)考察的題目8，“下圖給出了運(yùn)動(dòng)物體的位移、速度和加速度，作為時(shí)間t的函數(shù)圖像，請(qǐng)指出1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)哪個(gè)圖像是位移、速度或加速度．1號(hào)圖像代表____．2號(hào)圖像代表____．3號(hào)圖像代表____”

解答此題的關(guān)鍵是：根據(jù)速度是位移關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)．通過(guò)逐一排除法，可判斷3是位移，2是速度，1是加速度．這里也考察了原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，只有清楚判斷原函數(shù)圖像和導(dǎo)函數(shù)圖像的關(guān)系，才能正確解答這兩個(gè)問(wèn)題．調(diào)研數(shù)據(jù)顯示，后一題得分低的學(xué)生在前一題的得分也很低．

又如，“導(dǎo)數(shù)意義”教學(xué)內(nèi)容知識(shí)考查的題目6，要求分析學(xué)生認(rèn)識(shí)上的錯(cuò)誤，“某學(xué)生認(rèn)為，‘瞬時(shí)速度是無(wú)限小的一段時(shí)間內(nèi)的平均速度’，你認(rèn)為該學(xué)生的理解對(duì)嗎？該生給出這種認(rèn)識(shí)的原因是什么？如果你是老師，你將如何向?qū)W生解釋導(dǎo)數(shù)的基本概念？”回答此問(wèn)題，關(guān)鍵對(duì)導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)速度的關(guān)系，什么是瞬時(shí)速度等內(nèi)容知識(shí)有正確、深刻理解．與此對(duì)應(yīng)的“導(dǎo)數(shù)意義”內(nèi)容知識(shí)考察的題目9，“一輛法拉利賽車(chē)在筆直的馬路上行駛，已知路程S是時(shí)間t的函數(shù)S =4t2+t-1．（1）試求從t=20到t=20+b之間賽車(chē)的平均速度？（2）求當(dāng)b=0.001、0.01、0.1時(shí)賽車(chē)的平均速度？（3）求賽車(chē)在t=20時(shí)的瞬時(shí)速度？”數(shù)據(jù)結(jié)果表明，題目9（3）出錯(cuò)的學(xué)生，在題目6中也答錯(cuò)．

4.3 不同年級(jí)學(xué)生導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解存在差異

T檢驗(yàn)結(jié)果表明，關(guān)于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識(shí)的理解，大三、大四師范生不存在顯著性差異；關(guān)于導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解，大四學(xué)生的理解情況好于大三學(xué)生．進(jìn)一步訪談了解到，大四免費(fèi)師范生曾參加過(guò)教育實(shí)習(xí)、教育實(shí)踐活動(dòng)，教育實(shí)習(xí)中他們經(jīng)常對(duì)任教學(xué)生的情況進(jìn)行分析，對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤原因以及改進(jìn)建議進(jìn)行思考和討論．大三師范生未參加過(guò)教育實(shí)習(xí)，即使部分學(xué)生有校外家教的經(jīng)驗(yàn)，但畢竟面對(duì)的群體單一、教育實(shí)踐活動(dòng)相對(duì)匱乏，對(duì)分析學(xué)生錯(cuò)誤原因以及提出糾正學(xué)生錯(cuò)誤的建議都存在明顯的不足和困難．可見(jiàn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有助于免費(fèi)師范生提高數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解．

正如數(shù)學(xué)家楊樂(lè)院士所提，提高教師的教學(xué)內(nèi)容知識(shí)，首要的是提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)水平．研究表明，師范院校學(xué)生在“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容知識(shí)的理解方面存在一些問(wèn)題，在“導(dǎo)數(shù)”教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的理解方面還需進(jìn)一步增加實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．據(jù)此，提出幾點(diǎn)建議：

（1）增強(qiáng)師范生對(duì)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容本質(zhì)的理解和把握．

研究發(fā)現(xiàn)，部分師范生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)意義的理解存在表面性，不能真正理解其本質(zhì)；不能清楚認(rèn)識(shí)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系；舉反例的能力不強(qiáng)．如，學(xué)生能夠求簡(jiǎn)單函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)，但對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)理解模糊甚至不清，對(duì)某些基本概念認(rèn)識(shí)不清，如“函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)”與“函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)”等，還有學(xué)生將曲線“過(guò)某點(diǎn)的切線”和“在某點(diǎn)的切線”混為一談．這與文[2] 65名高中數(shù)學(xué)教師的調(diào)研結(jié)果有一致之處，如對(duì)導(dǎo)數(shù)定義深層理解欠缺、對(duì)左右導(dǎo)數(shù)的概念理解不全面等．

對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)不清，既會(huì)影響到后續(xù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，也可能影響到后來(lái)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，首要的是有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)水平，也即深入理解數(shù)學(xué)的學(xué)科知識(shí)．調(diào)研表明，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)顯著相關(guān)，遺憾的是，部分師范生對(duì)“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容知識(shí)的理解仍然存在很多問(wèn)題，不能很好地理解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)和意義，不能清楚認(rèn)識(shí)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系，這不能不使人擔(dān)憂其后的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作．

這種情況的出現(xiàn)，有學(xué)生自身的原因，也有師范院校教學(xué)中的一些問(wèn)題．如訪談中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生認(rèn)為當(dāng)一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師無(wú)需太高深的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的相關(guān)性認(rèn)識(shí)不深刻，這種觀點(diǎn)導(dǎo)致學(xué)習(xí)熱情不高，學(xué)習(xí)態(tài)度不端正，影響了學(xué)習(xí)效果．其次，由于高校擴(kuò)招導(dǎo)致學(xué)生整體素質(zhì)下降，學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)理解不到位，數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)功底存在的一些問(wèn)題等也影響到高等數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)．就高等師范院校教學(xué)而言，主要在于不能將初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合．調(diào)查訪談發(fā)現(xiàn)，部分師范生在學(xué)習(xí)大學(xué)微積分導(dǎo)數(shù)知識(shí)時(shí)，認(rèn)為這只是高中課程導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的重復(fù)，忽略了對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的進(jìn)一步理解．

為此，師范院校應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容本質(zhì)的理解和把握．教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)某些重要、基本概念的深入淺出的講解，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)途徑和方法、以學(xué)生易于理解的方式進(jìn)行教學(xué)．高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)同樣需要形象、直觀，需要講清楚來(lái)龍去脈，講清楚概念與概念間的關(guān)聯(lián)，只有這樣，才能使學(xué)生把握內(nèi)容的本質(zhì)，真正理解內(nèi)容．

（2）通過(guò)教育實(shí)踐、教育見(jiàn)習(xí)等增強(qiáng)師范生的學(xué)科教學(xué)知識(shí)．

調(diào)研表明，師范生的“導(dǎo)數(shù)”教學(xué)內(nèi)容知識(shí)存在年級(jí)差異，主要分歧在于是否參加過(guò)教育實(shí)踐，大四師范生的教育實(shí)習(xí)等經(jīng)歷提高了他們的學(xué)科教學(xué)知識(shí)．因此，教學(xué)實(shí)習(xí)、實(shí)踐工作對(duì)師范生后來(lái)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作非常重要，師范院校應(yīng)重視教育實(shí)習(xí)、實(shí)踐工作的指導(dǎo)．

目前，師范院校師范生的課程設(shè)置主要包括3類(lèi)：通史教育課程、專(zhuān)業(yè)教育課程和教師教育課程．教師教育課程直接面向免費(fèi)師范生未來(lái)的教學(xué)工作，但往往因?yàn)閹煼渡狈虒W(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)相關(guān)課程不能很好領(lǐng)會(huì)和學(xué)習(xí)．只有在經(jīng)歷了教育實(shí)習(xí)，遇到教學(xué)實(shí)踐中的問(wèn)題時(shí)，師范生才能體會(huì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的課程設(shè)置的重要性．為此，高等師范院校應(yīng)重視教育實(shí)習(xí)、實(shí)踐工作的指導(dǎo)，考慮教育實(shí)習(xí)與教師教育課程合理安排，使學(xué)生體會(huì)學(xué)有所用，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)習(xí)動(dòng)力．針對(duì)教育實(shí)習(xí)時(shí)間短、形式化、不重視、不規(guī)范等一些問(wèn)題，師范院校可以考慮不同年級(jí)進(jìn)行不同內(nèi)容的教育見(jiàn)習(xí)、教育實(shí)習(xí)工作，如大學(xué)一年級(jí)進(jìn)行“了解性見(jiàn)習(xí)”，大學(xué)二年級(jí)、三年級(jí)進(jìn)行“參與式見(jiàn)習(xí)”，大學(xué)四年級(jí)進(jìn)行“教育實(shí)習(xí)”，在實(shí)踐中感悟?qū)W習(xí)的樂(lè)趣和重要性，改善目前師范生存在的一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題．

總之，“導(dǎo)數(shù)”是高中學(xué)生已經(jīng)接觸，大學(xué)一年級(jí)繼續(xù)深入的內(nèi)容．調(diào)研發(fā)現(xiàn)，師范生仍有一部分不能很好理解相關(guān)內(nèi)容，包括相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容．為此，注重學(xué)科知識(shí)的深入理解，以促進(jìn)學(xué)科教學(xué)知識(shí)的理解；注重教育實(shí)習(xí)、實(shí)踐活動(dòng)，以促進(jìn)學(xué)科教學(xué)知識(shí)的理解，相應(yīng)帶動(dòng)學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)，這應(yīng)是解決目前部分師范生學(xué)習(xí)目的不明確、學(xué)習(xí)熱情不高、學(xué)習(xí)動(dòng)力不足的舉措之一．

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Study on the Derivative Content Knowledge and Pedagogical Content Knowledge

GUO Yu-feng1, LIU Jia2
(1. Beijing Normal University, Beijing 100875, China; 2. Yunhe Middle School, Beijing 101100, China)

Based on SOLO Taxonomy, students’ understanding of derivative content knowledge and pedagogical content knowledge can be divided into four hierarchical divisions. The results from researcher-developed student questionnaires indicate that most tuition-free student teachers are in stage-1 or stage-2; the results indicate that derivative content knowledge is significantly correlated to pedagogical content knowledge; and the understating of pedagogical content knowledge for undergraduate four-year tuition-free student teachers are better than that of the three-year tuition-free student teachers. Accordingly, tuition-free student teachers should improve their own understanding, for normal schools should strengthen the guidance of the education practice.

tuition-free student teachers; content knowledge; pedagogical content knowledge; derivative

G420

：A

：1004–9894（2014）01–0057–06

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2013–10–06

北京市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)課題——“四基”之?dāng)?shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)研究：量化與課堂實(shí)踐（ABA12020）

郭玉峰（1972—），女，副教授，博士，全國(guó)數(shù)學(xué)教育研究會(huì)理事，主要從事數(shù)學(xué)課程及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究．