朱長江

（華中師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北 武漢 430079）

偏微分方程課程研究型教學的一個實例剖析

朱長江

（華中師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北 武漢 430079）

教育部倡導研究型教學已近十年，全國各高等院校都選擇了若干課程開展研究型教學，取得了良好的教學效果．作者在講授《偏微分方程》課程時，對如何開展研究型教學進行了嘗試，并就《偏微分方程》課程教學中的一個實例，談點關(guān)于研究型教學的認識，供廣大研究者參考．

研究型教學；偏微分方程；實例剖析

為了進一步加強素質(zhì)教育，2005年教育部發(fā)文《關(guān)于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見》倡導在本科教學課堂實施研究型教學[1]．文中明確提出：“積極推動研究性教學，提高大學生的創(chuàng)新能力．”所謂研究型教學，就是指在教學活動中，以學生為中心，真正把學生主體能動性的發(fā)揮放在教學活動的首位，使學生學會模擬科學研究的方法和過程，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題．在課堂教學方面，要從傳統(tǒng)的以教師為中心的知識傳授型向知識傳授與探索相結(jié)合轉(zhuǎn)變，多采用開放式、研討式、探究式和自學輔導式等方法，師生互動，以調(diào)動學生自主學習的積極性，激發(fā)學生的求知欲和創(chuàng)造性．為了落實教高【2005】1號文件精神，全國各高等院校都選擇了若干課程開展研究型教學，取得了良好的教學效果，在培養(yǎng)創(chuàng)新型高素質(zhì)人才方面發(fā)揮了重要作用．作者所講授的《偏微分方程》課程作為國家級、省級和校級精品課程，被選為研究型教學示范課程．下面介紹在《偏微分方程》課堂開展研究型教學的一個教學實例，談點關(guān)于研究型教學的認識，和大家交流．

1 實 例

在《偏微分方程》的教學中，有一節(jié)是講授如何求解一維熱傳導方程的初邊值問題

其中 ，],0[lC∈φ0)()0(==lφφ ．

首先，按照傳統(tǒng)教材的講法，采用“分離變量法”來求解問題(1)．其解可由如下Fourier級數(shù)表示：

2 問題提出

大家知道，半直線上熱傳導方程的初邊值問題可像利用波的反射原理求解半直線上的波動方程一樣，通過熱的反射原理來求解．那么一個自然的問題就是：有限區(qū)間上熱傳導方程的初邊值問題(1)能否也能像利用波的反射原理來求解波動方程的初邊值問題一樣，通過熱的反射原理來求解？

2.1 分組討論

將全班學生分成4個小組，每組民主推薦一名組長，由組長負責組織討論．教師在各小組之間巡視，必要時進行指導，注意老師的指導不能代替學生的獨立研究和討論．

2.2 小組總結(jié)

經(jīng)過小組討論后，由小組組長寫出討論結(jié)論．結(jié)果3個小組得到了非常完整正確的解答，只有一個小組解答不夠完整．其中一組學生討論答案簡介如下：

利用熱的反射原理，可以得到問題(1)的解的表達式如下：

其中

證明：先將函數(shù)φ(x)奇延拓到[-l,l]上，然后以2l為周期延拓到整個實軸上，設(shè)延拓后的函數(shù)為Φ(x)，即

考慮如下輔助Cauchy問題

由于φ(x)在[0,l]上連續(xù)，因此φ(x)在R1上連續(xù)，由Cauchy問題的Poisson公式知，Cauchy (6)的解為

由于Φ(x)是奇函數(shù)，G(x,t)關(guān)于x是偶函數(shù)，故有

同時，由于Φ(l-x)是關(guān)于點l的奇函數(shù)，即

故有

由此可見由(7)—(8)所確定的函數(shù)u(x,t)當0≤x≤l，t≥0時就是問題(1)的解，它可以寫為

其中k(x,y,t)由(4)表示．

3 問題延伸

經(jīng)過學生的討論總結(jié)后，教師又提出了兩個問題：

問題一：由利用“熱的反射原理”獲得的解(3)—(4)和用“分離變量法”獲得的解(2)在形式上不盡相同，它們是同一個解嗎？如果是，如何證明？

問題二：用“分離變量法”和“熱的反射原理”給出了初邊值問題(1)的求解公式，能否用相同的方法求解如下Neumann初邊值問題

其中φ∈C[0,l]，φx(0)=φx(l )=0？

以上兩個問題作為課外討論題，同學們通過4天（離下一次偏微分方程課的時間）的討論與研究，也得到了正確的答案．學生討論答案簡介如下．

3.1 問題一答案

初邊值問題(1)由分離變量法求出的解(2)與由熱的反射原理求出的解(3)—(4)是相同的，是Poisson公式的兩種不同表現(xiàn)形式．

證明如下：

首先，由數(shù)學分析知識易證如下等式成立

再由(5)知)(xΦ 有如下形式的Fourier級數(shù)：

所以

由(11)知

將(13)代人(12)得

由(9)可知，上式右邊的項可寫成

其中k(x,y,t)由(4)表示．

(10)3.2 問題二答案

結(jié)論一：利用熱的反射原理給出問題(10)的解為

其中

結(jié)論二：利用分離變量法（見文獻[3]—[8]）給出問題(10)的解為

結(jié)論三：初邊值問題(10)由(15)—(16)給出的解與由(17)給出的解是相同的，它們是Poisson公式的兩種不同表現(xiàn)形式．

4 教學效果

這次研究型教學實例表明：一方面，學生學習的積極性和主動性得到了很大的提高，激發(fā)了他們迫切的學習愿望、強烈的學習動機和高昂的學習熱情．學生普遍認為，這次課堂的研究型學習，始終是從重點和難點問題出發(fā)，經(jīng)過學生分組研討，得出結(jié)論，最后到解決問題終結(jié)，這種讓學生在教學環(huán)節(jié)中體驗科學研究的全過程的全新教學方式，使學生自身的分析問題能力、綜合歸納能力、科學創(chuàng)新能力和團隊協(xié)作能力得到了鍛煉和發(fā)展．既理解和掌握了所學新知識，又對前面已學習的關(guān)于“波的反射原理”有了更深刻的理解，是快樂學習的一個最佳嘗試．

[1] 中華人們共和國教育部．關(guān)于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見[Z]．教高〔2005〕1號．

[2] Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations [Z]. Providence, RI: American Mathematical Society, 1998.

[3] Walter A. Strauss, Partial Differential Equations-An Introduction [M]. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1992.

[4] 陳恕行，秦鐵虎．數(shù)學物理方程——方法導引[M]．上海：復旦大學出版社，1991．

[5] 陳祖墀．偏微分方程[M]．合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2002．

[6] 朱長江，鄧引斌．偏微分方程教程[M]．北京：科學出版社，2005．

[7] 姜禮尚，陳亞浙，劉西垣，等．數(shù)學物理方程講義（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，1996．

[8] 谷超豪，李大潛，陳恕行，等．數(shù)學物理方程（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2002．

[9] 朱長江，蔣咪娜，阮立志．“偏微分方程”研究型教學的理論與實踐[J]．數(shù)學教育學報，2012，21（2）：53-55．

An Illustrative Example of the Research-Based Teaching in Partial Differential Equations Course

ZHU Chang-jiang
(School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

The Ministry of Education of China initiated the research-based teaching for almost 10 years. Several courses were attempted to teach by applying the research-based teaching model in a large number universities and colleges. It turned out that this teaching model is very popular. I also made a little attempt on how to carry out research-based teaching when I taught course of partial differential equations. In this paper, I will demonstrate the research-based teaching method by a concrete example in partial differential equations teaching. In addition, my some opinions on research-based teaching model are also presented as a reference.

research-based teaching; partial differential equations; example analysis

G420

：A

：1004–9894（2014）01–0063–03

[責任編校：周學智]

2013–10–26

教育部財政部2010年度國家級精品課程“偏微分方程”建設(shè)項目（教高函【2010】14號）；教育部財政部2010年度國家級教學團隊“數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)主干課程”建設(shè)項目（教高函【2010】12號）；2012年湖北省本科高?！皩I(yè)綜合改革試點”項目：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)綜合改革試點；國家自然科學基金重點項目——流體力學方程的數(shù)學理論（11331005）；教育部“創(chuàng)新團隊發(fā)展計劃”項目——非線性偏微分方程及相關(guān)問題的研究（IRT13066）

朱長江（1961—），男，湖北監(jiān)利人，教授，博士，主要從事非線性偏微分方程的研究．