柴育柏

摘 要： 美育也是一種情感教育，而情感也是不能強(qiáng)制的，要靠美的自力魄力喚起，數(shù)學(xué)自力的魄力集中反映在：簡單，統(tǒng)一，對稱，奇異等審美原則。數(shù)學(xué)教學(xué)中，美育的途徑主要是：從審美原則入手，即教師應(yīng)把數(shù)學(xué)中審美原則盡可能體現(xiàn)到數(shù)學(xué)教學(xué)和教法中，在教授數(shù)學(xué)知識的同時，按數(shù)學(xué)方法論的思想挖掘其背后的思想和美學(xué)價值，培養(yǎng)學(xué)生的美感和審美思維。

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 美育 數(shù)學(xué)美

一

數(shù)學(xué)是研究客觀世界空間形式和數(shù)學(xué)關(guān)系的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)具有美的特征表現(xiàn)在內(nèi)容的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用的廣泛性三大特點。數(shù)學(xué)是一種發(fā)人深省的理論美，既有自然美，又有藝術(shù)美。自然美主要是以具體的形象，藝術(shù)美則主要是以理想的形象，通過人們的感官，使人的情感得以激發(fā)、撫慰或共鳴，使人的思想得以陶醉、凈化或升華。正如許多科學(xué)家所言，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)。

將數(shù)學(xué)視為一門藝術(shù)，甚至把數(shù)學(xué)家稱之為藝術(shù)家，目前并不為大多數(shù)人所認(rèn)識和理解。美國數(shù)學(xué)家A·波萊爾于80年代在一次題為《數(shù)學(xué)——藝術(shù)與科學(xué)》的講演中指出：“一方面，數(shù)學(xué)是門科學(xué)，因為他的主要目的是為自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)服務(wù)的，這個主要目的說的實際上正是數(shù)學(xué)的起源，常常稱為問題的源泉。另一方面，數(shù)學(xué)也是一門藝術(shù)，因為它主要是思維的創(chuàng)造靠才智取得進(jìn)展，很多進(jìn)展出自人類的腦海深處，而且只有美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)才是最終的鑒定者?！盵1]

數(shù)學(xué)理論的發(fā)現(xiàn)與偉大藝術(shù)作品的問世一樣，都是人類智力過程的結(jié)果，即發(fā)明與創(chuàng)造既是數(shù)學(xué)與藝術(shù)的共同基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)家與藝術(shù)家所共同追求的目標(biāo)。I·末勒說：“偉大的畫家，作家和音樂家以獨一無二的方式看待他們周圍的世界一樣，偉大的科學(xué)家也是這樣做的，特別是在創(chuàng)造的時刻，這些款項的屏障往往就消失了?！?/p>

法國著名的數(shù)學(xué)家彭加勒有句名言：“發(fā)明就是選擇。”事實上，任何領(lǐng)域的發(fā)明和創(chuàng)造都以思想組合的方式進(jìn)行的。正如詩人保羅-瓦策里在《法國新聞?wù)摗分兴偨Y(jié)的：“任何發(fā)明過程都是包括兩個方面，其一是進(jìn)行思想的組合；其實選擇忽然識別那些我們所期待的組合，那些能夠給我們傳遞信息的組合。”數(shù)學(xué)和藝術(shù)有許多的統(tǒng)一性：在創(chuàng)造時刻上的統(tǒng)一性、數(shù)學(xué)理論與藝術(shù)作品在創(chuàng)造力上的統(tǒng)一性、數(shù)學(xué)理論與藝術(shù)作品在審美標(biāo)準(zhǔn)上的統(tǒng)一性。鑒于這么多的統(tǒng)一性，數(shù)學(xué)同樣有藝術(shù)一樣的美。

我們先了解一下什么叫“美”？美是心借物的形象表現(xiàn)情趣，是合規(guī)律性與合目的性的統(tǒng)一，美又是自由的形勢，完好、和諧、鮮明。真與善、規(guī)律性與目的性的統(tǒng)一，是美的本質(zhì)與根源?？茖W(xué)家從自己的科學(xué)研究實踐中已經(jīng)深刻認(rèn)識到科學(xué)美、數(shù)學(xué)美的存在與作用。比如，作為一個偉大的科學(xué)家，彭加萊對科學(xué)美與數(shù)學(xué)美有強(qiáng)烈的感受：“一個名副其實的科學(xué)家，尤其是數(shù)學(xué)家，他在他的工作中體驗到和藝術(shù)一樣的印象，他的樂趣和藝術(shù)家的樂趣具有相同的性質(zhì)，是同樣偉大的東西。”[2]這種“偉大的東西”就是與藝術(shù)美相提并論的科學(xué)美（數(shù)學(xué)美）。

實際上數(shù)學(xué)的美，也是數(shù)學(xué)知識中潛藏著的一種數(shù)學(xué)思想——美學(xué)思想。徐利冶教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的含義是豐富的，如數(shù)學(xué)概念的簡單性，統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性?！痹跀?shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)老師合理的語言，規(guī)范的板書，精辟的數(shù)理分析，想象的講解，嚴(yán)密的推理，無疑是數(shù)學(xué)教學(xué)中美育的體現(xiàn)。

美育是一種情感教育，而情感是不能強(qiáng)制的，要靠美的自力魄力喚起，數(shù)學(xué)自力魄力集中反映在：簡單，統(tǒng)一，對稱，奇異等審美原則，因此，數(shù)學(xué)教育中，美育的途徑主要是：從審美原則入手，即教師“應(yīng)把數(shù)學(xué)中審美原則盡可能體現(xiàn)到數(shù)學(xué)教學(xué)和教法中”，在教授數(shù)學(xué)知識的同時，按數(shù)學(xué)方法論的思想挖掘其背后的美學(xué)思想，美學(xué)價值，以及培養(yǎng)學(xué)生的美感和審美思維。因為只有具備數(shù)學(xué)美的審美能力，學(xué)生才能體會到數(shù)學(xué)的魅力。不但在于形式上的“優(yōu)美”，而且在于以嚴(yán)密的邏輯性展現(xiàn)了自然運動的真實圖景。數(shù)學(xué)美的這種強(qiáng)烈感染力，無疑將激起學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，這正是教學(xué)成功的關(guān)鍵。以美啟真，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力。

哲學(xué)家說過，沒的就是真的，而數(shù)學(xué)就是這樣一門“既美又真”的科學(xué)。數(shù)學(xué)美曾使人陶醉，執(zhí)著地追求；又使人們在尋求數(shù)學(xué)中得到思維的結(jié)果，其中不少是中學(xué)生，如參加數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的優(yōu)秀分子。

但數(shù)學(xué)美在何處呢？數(shù)學(xué)美主要包括數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，數(shù)學(xué)還包含奇異性?！拔疫@里所說的美，不是給我們感官以印象的美，也不是質(zhì)地美和表現(xiàn)美。并非小看上述那種美，完全不是，而是這種美與科學(xué)美無關(guān)。我的意思是那種比較深奧的美，這種美在各部分的和諧秩序，并且純粹的理智能夠把握它，正是這種美使物體，也可以說使結(jié)構(gòu)具有讓我們感官滿意的彩虹般的外表，沒有這種支持，這些倏忽即逝的夢幻之美其結(jié)果就不是完美的，因為它是模糊的、總是短暫的。相反，理性美可以充分達(dá)到其身。”[3]人們對數(shù)學(xué)的和諧美、簡單美、奇異美的追求，在很大程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如射影集合的對偶原理，數(shù)學(xué)中自然對數(shù)的引進(jìn)都是基于對美的追求，二進(jìn)制的建立是對簡單美的追求；集合論的悖論是對奇異美的追求；而公理化方法是數(shù)學(xué)抽象美的高層次顯示。再舉個實際的例子：1772年，柏林天文臺太長、德國天文學(xué)家波德總結(jié)前人的經(jīng)驗，整理發(fā)表了一個“波德定律”，為人們提供計算太陽與諸行星之間的距離的經(jīng)驗法則。設(shè)地球與太陽之間的距離是10，則太陽到各行星的距離分別是：

上面的表格最下一列，若在12與48之間添上24，不計算首項0，其余項是一公比為2的等比數(shù)列。1781年，天王星被發(fā)現(xiàn)，它與太陽的距離為192按上面的規(guī)律為96×2+4=196，它與192甚為接近）。從數(shù)列的和諧性上看，人們懷疑在距離為28的位置上應(yīng)有一顆小行星。天文學(xué)家忙碌了20年，1801年1月1日，意大利天文學(xué)家皮亞齊偶然在這個位置發(fā)現(xiàn)了一顆行星，且被命名為谷神星。這個例子說明自然界的規(guī)律性的美學(xué)特點，也可從中看出追求美學(xué)特點在探索自然規(guī)律中的作用。數(shù)學(xué)家曾指出：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)，是非常自足的、美學(xué)的、不受（或幾乎不受）經(jīng)驗的影響?！盵1]

數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪明確地表示：“若要問及研究工作的未來是否能產(chǎn)生卓有成效的結(jié)果，嚴(yán)格地說，我們對此真是一無所知，但審美感是可以告訴我們的，除了美感以外，就看不出有任何東西能幫助我們?nèi)プ鲱A(yù)見了?！盵2]這正是對數(shù)學(xué)審美創(chuàng)造的深刻體驗和精辟概括。馬克思認(rèn)為，社會進(jìn)步就是人類對美的追求的結(jié)晶。數(shù)學(xué)對自身發(fā)展所具有的創(chuàng)造性的審美價值，要求我們在教育過程中必須注意誘導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美的能力，這是數(shù)學(xué)教育的一個重要目標(biāo)。正如英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家羅素所說：“數(shù)學(xué)，如果正確的看它，不但擁有真理，而且也具有至上的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)厲的美。能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有偉大的藝術(shù)才能顯示那種的境地?！盵4]

二

科學(xué)之所以給人以美的感受和力量，就在于秩序、和諧、對稱、結(jié)構(gòu)、奇異，這些都是使人們產(chǎn)生美感的客觀基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)恰恰集中了美的這些特點，并以純粹的形式表現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)理性美表現(xiàn)為和諧美、簡單美、奇異美。不僅僅是這些，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的美還包含三個方面。

（一）數(shù)子形式結(jié)構(gòu)的簡單性和應(yīng)用的廣泛性

數(shù)學(xué)形式的簡單性和應(yīng)用的廣泛性是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點決定的。簡單性是美的特點，從變化多端的自然現(xiàn)象中抽象出的數(shù)學(xué)概念，只能用簡單的數(shù)學(xué)形式表述出來，反之它有能解釋更多的現(xiàn)象。這就是數(shù)學(xué)美的體現(xiàn)。例如，自然數(shù)；“6”，可以表示6艘船，6支鋼筆，6只雞……空間中存在無窮多個三角形，形之多令人難以想象，但三角形的面積公式S=ah/2（S為三角形的面積，a為底，h為底邊上的高）適用于任何三角形。為此它又可推理出多邊形的面積公式，形式非常簡單，且應(yīng)用廣泛。又譬如數(shù)學(xué)中的直線、圓、雙曲線、拋物線等解析幾何，本身是客觀事物的抽象，形可以用方程表述，達(dá)到數(shù)形結(jié)合。通過研究曲線方程討論曲線的性質(zhì)。極坐標(biāo)又將曲線統(tǒng)一起來。

如果教師在教學(xué)過程中能結(jié)合數(shù)學(xué)的發(fā)展史，形象地講述過程，就會使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)美的藝術(shù)享受。

隨著科技日新月異，數(shù)學(xué)影響并促進(jìn)其他學(xué)科的發(fā)展。不僅物理、化學(xué)、生物學(xué)、信息學(xué)、天文學(xué)等自然科學(xué)要應(yīng)用到數(shù)學(xué)，而且心理學(xué)、教育學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、文學(xué)等社會科學(xué)也要應(yīng)用到數(shù)學(xué)。教師在教學(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的發(fā)展需要和實際情況，講解一些應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的例子。促使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，增強(qiáng)對“數(shù)學(xué)是科學(xué)大門的鑰匙”的認(rèn)識，提高學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

（二）學(xué)具有對稱性和諧性

所謂和諧美，就是指部分與部分，部分與整體之間的和諧一致；對稱就是整體各部分之間的相稱與相適應(yīng)。和諧也就是協(xié)調(diào)。對稱是形式美的要求，它給予人們一種圓滿勻稱的美感。數(shù)學(xué)歸根到底來自生產(chǎn)實踐，來自現(xiàn)實世界，因為自然本身是對稱的，和諧的，有規(guī)律的，反映到數(shù)學(xué)學(xué)科上表現(xiàn)為對稱美和和諧美。

數(shù)學(xué)幾何中的中心對稱，鏡像對稱都能給人一種舒適美的感覺；代數(shù)中多次方程虛根的成對出現(xiàn)，線段方程組矩體表示和克萊姆法則均呈現(xiàn)著對稱性，又如函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，等等。

數(shù)學(xué)題目本身的和諧性往往提供了很好的解題思路，同時追求數(shù)學(xué)的和諧性是達(dá)到解決問題的捷徑。比如：在三角形ABC中，求證：a+b+c/2abc=cosA/a+cosB/b+cosC/c.式子的左邊是邊的關(guān)系，右邊是角與邊的關(guān)系，兩邊不協(xié)調(diào)，如果將兩邊統(tǒng)一起來，都用邊的關(guān)系表示，會有什么結(jié)果呢？看它的推理： ，左邊=右邊。

例如：在對數(shù)運算中“換底公式”： 可將任意的對數(shù)化為同底的對數(shù)之比，使其協(xié)調(diào)一致，體現(xiàn)了一種內(nèi)在的和諧美。實系數(shù)一元二次方程ax+bx+c=0的判別式△=b-4ac，當(dāng)△﹥0時，方程有兩個不相等的實根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實根；當(dāng)△﹤0時，方程無實數(shù)根，體現(xiàn)了內(nèi)在的和諧統(tǒng)一。

（三）數(shù)學(xué)體力的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性既是數(shù)學(xué)的特點，又是數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)。數(shù)學(xué)既反映現(xiàn)實世界，又服務(wù)于人的實際需要。它的初始概念和原始建立是以經(jīng)驗為基礎(chǔ)的，經(jīng)歷長期歷史時期的必然性結(jié)果。數(shù)學(xué)定理又是從概念出發(fā)，經(jīng)過推理證實的，它的結(jié)論和證明是作為人們在實踐中所研究的各種現(xiàn)象聯(lián)系反映而產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)是一個形式化的系統(tǒng)，這個系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)概念，定理，等等，對元素通過符號邏輯語言表達(dá)為語句，而這些語句存在邏輯關(guān)系。正因為如此，數(shù)學(xué)有它的嚴(yán)密邏輯性和應(yīng)用廣泛性。

古代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時，就利用拼成正方形的圖形加以證明。如圖，a，b，c為直角三角形的三條邊，∠C=90°，若記小正方形面積為S，大正方形的面積為S，那么

美的事物能使人們心情愉悅，反過來促使人們發(fā)現(xiàn)美的事物的存在，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該充分體現(xiàn)這一點。

愛美之心，人皆有之。愛美是人的天性，處于青少年時期的中小學(xué)生尤為突出。教師應(yīng)該根據(jù)青少年愛美的特性進(jìn)行審美觀教育。美育是教育學(xué)的一個分支，它的主要任務(wù)是通過培養(yǎng)學(xué)生的感知美、鑒賞美和進(jìn)行正確評價的能力，逐漸使學(xué)生對生活、藝術(shù)、科學(xué)等各領(lǐng)域的美具有一定接受能力、理解能力和創(chuàng)造能力，從而培養(yǎng)學(xué)生高尚的審美情操，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]A·波萊爾80年代的一次題為《數(shù)學(xué)—藝術(shù)與科學(xué)》的演講.

[2]李醒民.彭加勒科學(xué)方法論的特色.哲學(xué)研究，1984（5），彭加勒即彭加萊.

[3][法國]彭加勒.哲學(xué)的價值.北京：光明日報出版，1988：357.

[4]馮·諾伊曼.“數(shù)學(xué)家”.數(shù)學(xué)史譯文集，第181-182頁.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981.

[5]阿達(dá)瑪.數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué).南京：江蘇教育出版社，1989：97.

[6][英國]羅素.我的哲學(xué)的發(fā)展.北京：商務(wù)印書館，1982：193.