郭廣寒 劉庚

摘要：介紹了數(shù)學(xué)建模的發(fā)展及數(shù)學(xué)建模的步驟，論述了通過數(shù)學(xué)建模活動在培養(yǎng)學(xué)生在將來從事科學(xué)活動中需要的能力和素質(zhì)中發(fā)揮的作用，并探討了如何將數(shù)學(xué)建模融入大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，從而推動大學(xué)數(shù)學(xué)的改革。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；大學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；教學(xué)改革

作者簡介：郭廣寒（1980-），男，山東泰安人，哈爾濱理工大學(xué)榮成學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，講師；劉庚（1980-），女，山西長治人，哈爾濱理工大學(xué)榮成學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，講師。（山東 威海 264300）

基金項(xiàng)目：本文系哈爾濱理工大學(xué)榮成學(xué)院院級課題“開展數(shù)學(xué)建模推進(jìn)學(xué)院創(chuàng)新型實(shí)驗(yàn)教學(xué)建設(shè)”（課題編號：P201000115）的研究成果。

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-0079（2014）06-0077-02

近幾十年來，數(shù)學(xué)迅速向自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域滲透，在工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等方面發(fā)揮著越來越重要的作用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于解決各類實(shí)際問題變得簡單化。首先需要把要解決的問題數(shù)學(xué)化，即建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這使數(shù)學(xué)建模日益顯示其關(guān)鍵的作用，現(xiàn)已成為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要領(lǐng)域。高等院校肩負(fù)著培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次、創(chuàng)新型人才的重任，為此就必須重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模這一必備的技能和素質(zhì)。在大學(xué)工科數(shù)學(xué)的教學(xué)中，必須考慮將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入到教學(xué)中去，去激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力，推動大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革。

一、數(shù)學(xué)建模

1.數(shù)學(xué)建模競賽介紹

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽最早是在1989年，我國學(xué)生（北京大學(xué)、清華大學(xué)）開始參加始于1985年的每年一次的美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。競賽以通訊形式進(jìn)行，三名大學(xué)生組成一隊(duì)，在三天時間內(nèi)完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，結(jié)果的分析和檢驗(yàn)，模型的改進(jìn)等方面的論文。1994年以來，教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同組織開展大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽活動，受到了高等院校師生的廣泛歡迎。短短十幾年的時候，競賽規(guī)模從最初的10省市70多所院校300多隊(duì)，增加到 2007年的30省市960多所11700多隊(duì)。

同時，數(shù)學(xué)建模作為一門嶄新的課程是在八十年代初進(jìn)入我國高校，數(shù)學(xué)建模的各項(xiàng)教學(xué)和課外科技活動如雨后春筍般出現(xiàn)在大學(xué)校園里。開設(shè)課程的院校迅速增加，規(guī)模不斷擴(kuò)大；內(nèi)容充實(shí)、形式多樣的各種講座、培訓(xùn)受到學(xué)生的熱烈歡迎。

強(qiáng)調(diào)重在參與、公平競賽的數(shù)學(xué)建模競賽以它特有的內(nèi)容和形式深深吸引著廣大同學(xué)。學(xué)生和老師普通反映，這是大學(xué)階段難得的一次“真槍實(shí)彈”的訓(xùn)練，“模擬”了學(xué)生畢業(yè)后工作時的情況，既豐富、活躍了廣大學(xué)生的課外生活，也為優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出創(chuàng)造了條件。[1]在1997年進(jìn)行的一次抽樣調(diào)查中，95%以上的學(xué)生認(rèn)為，這項(xiàng)競賽在解決實(shí)際問題能力、創(chuàng)新精神及團(tuán)隊(duì)合作意識等方面的培養(yǎng)起著有益的作用，真正做到“一次參賽，終身受益”。

2.數(shù)學(xué)建模介紹

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要是“掌握三基”，即要學(xué)習(xí)一些基本理論，學(xué)習(xí)一些基本定理和概念，以及學(xué)習(xí)一些解題的基本方法和技巧。但是更重要的是要學(xué)到數(shù)學(xué)的思想方法，用以解決數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)以外的問題。實(shí)際上，只有懂得數(shù)學(xué)本身，也才能懂得數(shù)學(xué)抽象的重要性。只有這樣才能真正了解數(shù)學(xué)實(shí)際上是非常生動活潑的，也才能真正地學(xué)好數(shù)學(xué)。

用數(shù)學(xué)來解決非數(shù)學(xué)的問題，首先是把要解決的問題和數(shù)學(xué)聯(lián)系上，也就是要建立數(shù)學(xué)模型。通俗的講，數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型的過程。一般來講，對于數(shù)學(xué)模型可以將之表述為：它是人們面對現(xiàn)實(shí)世界中的某個特定對象，為了某個特定的目的，根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化并運(yùn)用數(shù)學(xué)工具而得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的活動。[2]數(shù)學(xué)建模的一般步驟包括建模準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、對模型的分析與檢驗(yàn)及模型的應(yīng)用，見圖1。

模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確其建模目的，搜索有關(guān)信息，掌握對象的特征。模型假設(shè)：針對問題特征和建模的目的，對問題作出合理、簡化的假設(shè)。模型構(gòu)成：根據(jù)對象的內(nèi)在規(guī)律，用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯推理、數(shù)值運(yùn)算等數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)，對模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)）。模型分析：對模型解答所得結(jié)果進(jìn)行誤差分析，統(tǒng)計(jì)分析及模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析。模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過程。模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異。

二、數(shù)學(xué)建模在培養(yǎng)大學(xué)生能力中的作用

1.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

學(xué)生在參與數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)和學(xué)習(xí)的過程中，一些實(shí)際問題的解決需要所學(xué)過的高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等的相關(guān)知識，這將會讓學(xué)生充分認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性，也能從中感知到自己所學(xué)知識結(jié)構(gòu)的不足。比如在評價模型里，層次分析法中要構(gòu)造比較矩陣，這就用到線性代數(shù)的一些知識。用馬爾科夫鏈預(yù)測模型來解決一些實(shí)際中的預(yù)測問題，這用到的概率論與隨機(jī)過程的知識。這些知識都會讓學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中會自覺培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而會在言傳身教中傳給低年級的學(xué)生，讓他們保持對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

2.培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)新能力

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的題目一般都是來自于工農(nóng)業(yè)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)和管理科學(xué)等領(lǐng)域中經(jīng)過了適當(dāng)簡化的實(shí)際問題，沒有設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)答案。大學(xué)生面對這樣一個從未接觸的實(shí)際問題，就要求他們必須發(fā)揮各自的豐富想象力和創(chuàng)新的能力。這給他們一個充分挖掘自身的潛力、創(chuàng)新的思維、更開闊的思路的機(jī)會。

3.培養(yǎng)艱苦奮斗的精神和團(tuán)結(jié)合作的能力

數(shù)學(xué)建模競賽的實(shí)際是三天，大學(xué)生在這三天時間里親身體會到：科學(xué)活動需要廢寢忘食，需要克服許多的困難，需要艱苦的努力。正是這種艱苦的努力、活躍的思想和縝密的推理，會使大家感受到解決問題以后的快樂和成就感。這一次的競賽給他們一生都留下深刻的印象，親身體會到艱苦奮斗的精神，這為大學(xué)生在將來的科教興國實(shí)踐中發(fā)揮重大作用。

數(shù)學(xué)建模競賽的每個隊(duì)要有三名學(xué)生參加。三位大學(xué)生在競賽過程中要彼此協(xié)商，團(tuán)結(jié)合作，互相交流思想，共同解決問題?，F(xiàn)代的科學(xué)沒有團(tuán)結(jié)協(xié)作、沒有思想碰撞、沒有互相切磋是解決不了大問題的。因此團(tuán)結(jié)合作能力是非常重要的一種品質(zhì)和素質(zhì)，這正是大學(xué)生在以后解決科學(xué)問題中要培養(yǎng)的一種能力，數(shù)學(xué)建模競賽給了一次很好的機(jī)會。

4.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用計(jì)算機(jī)的能力

數(shù)學(xué)建模競賽可以說是一個數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。進(jìn)入二十一世紀(jì)，計(jì)算機(jī)技術(shù)有了質(zhì)的飛躍發(fā)展，也就是計(jì)算速度、存儲量以及人機(jī)結(jié)合有了質(zhì)的飛躍，計(jì)算機(jī)軟件實(shí)驗(yàn)在科學(xué)活動中占據(jù)越來越重要的位置。因此在數(shù)學(xué)建模中，通常要利用計(jì)算機(jī)軟件來進(jìn)行編程計(jì)算、分析求解、數(shù)值模擬和圖形圖像的處理，這要求學(xué)生掌握并熟練應(yīng)用Matlab、Spss、Lingo等編程和統(tǒng)計(jì)軟件。

三、數(shù)學(xué)建?；顒油七M(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)方法改革的途徑

1.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)建模思想

國內(nèi)很多高校的數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐表明，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)建模思想是一個十分有效的教學(xué)方法。[3]在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中，凡是與實(shí)際問題背景有關(guān)的的各種數(shù)學(xué)概念、定理、方法，教師都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題背景出發(fā)，對基本概念和基本定理進(jìn)行深入的思考，讓學(xué)生理解它們是如何建立并抽象出來的。比如關(guān)于極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等概念以及一些定理如零點(diǎn)定理、微分中值定理都滲透著數(shù)學(xué)建模的思想。還有一些重要的數(shù)學(xué)思想，如坐標(biāo)、逼近和隨機(jī)變量的思想，以及微元法等，這些思想都需要教師在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中去滲透關(guān)于數(shù)學(xué)建模的思想。學(xué)生在教師的這一系列的引導(dǎo)下逐步培養(yǎng)起對各種數(shù)學(xué)問題的歸納思維和抽象思維。時間充裕的話，可以適當(dāng)講解如何把這些數(shù)學(xué)中冷冰冰的定理結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際的問題中去。比如零點(diǎn)定理用于解決“長方形的椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)”等經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模問題。[4]

2.開設(shè)數(shù)學(xué)建模系列課程

充分挖掘大學(xué)的教育資源和開展多種培養(yǎng)學(xué)生的途徑，開設(shè)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課等選修課，讓更多不同專業(yè)的學(xué)生更早認(rèn)識數(shù)學(xué)建模和接觸數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模選修課一方面是為數(shù)學(xué)建模競賽打好建?；A(chǔ)，同時提高了學(xué)生善于提出問題、分析問題和解決問題的能力。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的開設(shè)不僅使大多數(shù)學(xué)生可以受到應(yīng)用數(shù)學(xué)那樣的思維訓(xùn)練，而且可以激發(fā)學(xué)生自發(fā)去探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識本身的規(guī)律，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，以達(dá)到增強(qiáng)學(xué)生自學(xué)能力、創(chuàng)新能力的目的。

數(shù)學(xué)建模課與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課都要用到計(jì)算機(jī)，但是數(shù)學(xué)建模課時讓學(xué)生學(xué)會利用數(shù)學(xué)知識和計(jì)算機(jī)技術(shù)來解決實(shí)際問題，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課除了對實(shí)際問題所用到的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題以外，還要指導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算機(jī)的幫助下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

3.改革教學(xué)方法

根據(jù)數(shù)學(xué)建模問題的多樣性、解決方法的靈活性、知識需求的廣泛性等特點(diǎn)，在教學(xué)上，教師應(yīng)該摒棄傳統(tǒng)的填鴨式教學(xué)方法，大力實(shí)施啟發(fā)式、探究式、問題驅(qū)動式的教學(xué)方法。只有這樣，才能有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲，可以使學(xué)生將被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)，改變學(xué)生不能參與其中以至于學(xué)了數(shù)學(xué)不知道怎么用、如何用于實(shí)際問題的尷尬局面。

4.合理建設(shè)教師隊(duì)伍

在建設(shè)教學(xué)隊(duì)伍上，應(yīng)充分考慮教學(xué)任務(wù)的需要和開展科研活動的目標(biāo)，合理招聘人才。根據(jù)教學(xué)建模活動的要求，教師隊(duì)伍需要有概率統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌優(yōu)化、微分方程、計(jì)算數(shù)學(xué)等多學(xué)科的教師參與。

四、結(jié)語

現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程在整個高等學(xué)校人才培養(yǎng)中起著極其重要的基礎(chǔ)性作用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及數(shù)學(xué)軟件的普及，數(shù)學(xué)建?；顒拥膹V泛開展，越來越多人認(rèn)識到數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要注意演繹思維、歸納思維和創(chuàng)造思維等基本能力的培養(yǎng)，因此將數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程來推動大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革是值得深入研究和大力實(shí)踐的重要課題。

參考文獻(xiàn)：

[1]李大潛.中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽[M].第三版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].第四版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，（1）：4-8.

[4]鄒小云.基于建模思想的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法探究[J].長春理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，8（1）：208-209.

（責(zé)任編輯：王意琴）