羅仁娜

【摘要】“幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”是新一輪數(shù)學課程改革所設定的一個基本目標。以國際上的相關研究為背景，對小學數(shù)學教學中如何突出數(shù)學思維進行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質(zhì)。

【關鍵詞】數(shù)學思維；小學數(shù)學教學；強調(diào)；完善

1數(shù)學化：數(shù)學思維的基本形式

眾所周知，強調(diào)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征?！皵?shù)學課程的內(nèi)容一定要充分考慮數(shù)學發(fā)展進程中人類的活動軌跡，貼近學生熟悉的現(xiàn)實生活，不斷溝通生活中的數(shù)學與教科書上數(shù)學的聯(lián)系，使生活和數(shù)學融為一體?！本团Ω淖儌鹘y(tǒng)數(shù)學教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應當如何去處理“日常數(shù)學”與“學校數(shù)學”之間的關系。事實上，即使就最為初等的數(shù)學內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學的抽象特點，而這就已包括了由“日常數(shù)學”向“學校數(shù)學”的重要過渡。例如，就加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”或者“兩個數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現(xiàn)實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。從理論的角度看，即應當如何去認識所說的純數(shù)學研究的意義。特別是，我們是否應當明確肯定由“日常數(shù)學”過渡到“學校數(shù)學”的必要性，或是應當唯一地堅持立足于現(xiàn)實生活。

2凝聚：算術思維的基本形式

思維的分析相對于具體知識內(nèi)容的教學而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導意義。例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數(shù)學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數(shù)學對象。再如，有很多教師認為，分數(shù)應當定義為“兩個整數(shù)相除的值”而不是“兩個整數(shù)的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說，就分數(shù)的掌握而言我們不應停留于整數(shù)的除法這樣一種運算，而應將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

3互補與整合：數(shù)學思維的一個重要特征

3.1 應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合

例如，在教學中人們往往唯一地強調(diào)應從“部分與整體的關系”這一角度去理解有理數(shù)，特別是，分數(shù)常常被想象成“圓的一個部分”。然而，實踐表明，局限于這一心理圖像必然會造成一定的學習困難、甚至是嚴重的概念錯誤。例如，如果局限于上述的解釋，就很難對以下算法的合理性做出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=…

3.2 應注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用

即突出強調(diào)學生的動手實踐、主動探索與合作交流：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式……教師應激發(fā)學生的學習積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗?！庇捎趯嵺`活動（包括感性經(jīng)驗）構成了數(shù)學認識活動的重要基礎，合作交流顯然應被看成學習活動社會性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調(diào)的是，除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外，我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補。

3.3 我們應清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關系

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應當尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化?！蔽覀儾粦Ａ粲趯τ诓煌椒ㄔ跀?shù)量上的片面追求，而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數(shù)學思維的一個重要特點。

3.4 應注意形式和直覺之間所存在的重要的互補關系

由“日常數(shù)學”向“學校數(shù)學”的過渡而言，不應被看成對于學生已發(fā)展起來的素樸直覺的徹底否定；在此所需要的就是如何通過學校的數(shù)學學習使之“精致化”，以及隨著認識的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學直覺。在筆者看來，我們應當從這樣的角度去理解《課程標準》中有關“數(shù)感”的論述，這就是，課程內(nèi)容的學習應當努力“發(fā)展學生的數(shù)感”，而后者又并非僅僅是指各種相關的能力，如計算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性，包括能對數(shù)的相對大小做出迅速、直接的判斷，以及能夠根據(jù)需要做出迅速的估算。當然，作為問題的另一方面，我們又應明確地肯定幫助學生牢固地掌握相應的數(shù)學基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面做出準確的刻畫和計算，并能對運算的合理性做出適當?shù)恼f明──顯然，后者事實上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺”以外，著名數(shù)學教育家費施拜因曾突出地強調(diào)了“算法”的掌握對于數(shù)學的特殊重要性。事實上，即使就初等數(shù)學而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠、走不遠，更不能騰飛……可是你要引進代數(shù)方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不著天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠而且可以騰飛。”這正是數(shù)學歷史發(fā)展的一個基本事實，即一種重要算法的形成往往就標志著數(shù)學的重要進步。也正因為此，費施拜因?qū)⑿问健⒅庇X與算法統(tǒng)稱為“數(shù)學的三個基本成分”，并專門撰文對這三者之間的交互作用進行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數(shù)學思維的一個重要特點。

4結束語

總之，即使是小學數(shù)學的教學內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質(zhì)，因此，在教學中我們應做出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”這一重要目標。

參考文獻：

[1]馬云鵬．小學數(shù)學教學論[M]．北京：人民教育出版社．2003．

[2]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2001.