潘巧生，劉永斌,2，賀良國，潘成亮,3，鄧知森

(1.中國科學技術大學 精密機械與精密儀器系，合肥 230027；2.安徽大學 機械工程系，合肥 230039；3.香港中文大學 深圳研究院，廣東 深圳 518057)

超聲變幅桿是功率超聲設備中的關鍵部件，主要用于實現(xiàn)能量傳輸和聚能的作用。在高聲強超聲如超聲加工、超聲焊接等應用中，輻射面一般需要幾十到幾百μm的振動幅度，通常在換能器上連接超聲變幅桿以實現(xiàn)其振幅的要求，因此對于變幅桿振幅放大的研究尤為重要[1]。

按照振動類型，超聲變幅桿可以分為縱振、扭振、彎振和復合振動四類，其中，在功率超聲加工和處理中，縱振型應用最為普遍。按照母線形狀分類，常見的變幅桿有階梯[2-3]，指數(shù)[4]，圓錐[5]，懸鏈線[6]等類型，常見變幅桿的性能特點如表1所示。其中，階梯型變幅桿放大系數(shù)最大，但由于應力分布集中，工作安全性較差。為了綜合考慮放大系數(shù)和變幅桿上的最大應力，利用ANSYS優(yōu)化設計,以變幅桿放大系數(shù)為目標函數(shù)，以發(fā)生在桿的最大應力和工作頻率為狀態(tài)變量，可獲得新型變幅桿。例如Wang等[7]設計了一種貝茲爾曲線截面的變幅桿，在相同的面積系數(shù)下，這種形狀變幅桿比懸鏈線形變幅桿振幅增加了71%，而最大應力減小了58%。

表1 常見的幾種變幅桿優(yōu)缺點比較

在實際應用中，超聲變幅桿的性能最常見的參數(shù)有工作頻率，放大系數(shù)M，形狀因數(shù)φ。以往對提高變幅桿振幅的設計都是以增大放大系數(shù)M為目標，而本文則以提高變幅桿形狀因數(shù)φ為目標。

本文研究變幅桿工作時振動狀況，基于變截面桿波動方程，研究一種確定頻率的大振幅變幅桿。同時通過對比不同形狀變幅桿振動情況，驗證理論設計的準確性。

1 大振幅變幅桿設計理論

1.1 變幅桿形狀的設計

圖1所示為一種由郎之萬振子與變幅桿構成的壓電換能器，工作頻率為55.7 kHz。其中振子由壓電陶瓷環(huán)堆，前、后蓋板，預緊螺栓等組成。振子后蓋板上的法蘭位于系統(tǒng)振動節(jié)點處，用于固定。通過合理地設計變幅桿的形狀，當受到振子的激勵時，變幅桿處于一階縱向振動模態(tài)，并實現(xiàn)振動振幅的放大，其位移曲線示意圖如圖1所示。

圖1 郎之萬振子與變幅桿示意圖

為了獲得大振幅變幅桿，首先分析一段細長等截面桿在受到縱向激勵下的一階共振狀態(tài)。圖2(a)所示為一等截面細長桿，當?shù)冉孛鏃U達到一階縱振模態(tài)時，在其中間節(jié)點處的位移始終為零，而應力最大。等截面桿的振幅取決于節(jié)點后1/4波長段的最大拉伸長度，而這又受變幅桿材料所能承受應力的限制[7]，即發(fā)生在節(jié)點處的最大應力不能超過材料的疲勞極限。設想如果有一種變幅桿如圖2(b)所示,發(fā)生在變幅桿上的最大應力不僅位于節(jié)點處，而且在節(jié)點后持續(xù)很長一段長度l2，理論上l2不超過1/4波長。當空載時，變幅桿末端應力理論上為0，為了實現(xiàn)這種過渡，在變截面后段加一段長為l3等截面桿作為過輸出端，那么這種形狀的變幅桿就能獲得相同材料變幅桿的理論最大值。為了獲得等應力變幅桿，根據(jù)變截面桿波動方程(1)，計算節(jié)點后應力均勻分布段桿的輪廓曲線，然后利用ANSYS有限元仿真，使得應力最大值發(fā)生在應力均勻分布處。

圖2 (a)等截面桿及應力分布 (b)等應力桿及應力分布

細長變截面桿的縱向振動波動方程如下：

(1)

其中:x為沿桿長度質點坐標值，ξ(x)為質點位移函數(shù)，S(x)為桿的橫截面積函數(shù)，k為圓波數(shù)。

要使得桿上每一處應力大小分布均勻，則應變與x值無關，此時位移分布函數(shù)可以表示如下：

(2)

令：

(3)

其中:ξl為x=l處質點振動位移的大小，ω為圓頻率。將式(2)、(3)代入式(1)，可解得:

(4)

(5)

(6)

其中:R(x)為輪廓半徑函數(shù)，R0為節(jié)點處半徑。由式(4)、(5)、(6)可知，S(x)、R(x)、l2和l3不僅取決于變幅桿始端和末端截面面積，還與變幅桿的材料有關。變幅桿始端半徑主要取決于振子連接處，本文取R0=3.18 mm，末端面積取決于工具頭，本文取Rl=0.5 mm。表2所示三種不同材料等應力變幅桿的幾何參數(shù)，其中x為桿長。

表2 三種材料等應力變幅桿幾何參數(shù)

1.2 變幅桿材料的選擇

變幅桿對材料的要求主要有：①在其工作的頻率范圍內材料的耗損小，②材料的疲勞強度高，而聲阻抗率小，③易于機械加工[8]。適合以上要求的材料主要有鋁合金，鈦合金等。由圖2可知，l2?l3，所以可以近似認為l2段拉伸長度為變幅桿的振幅而忽略l3的拉伸長度。由胡克定律：

(7)

其中:σmax為發(fā)生在變幅桿上的最大應力，E為材料的楊氏模量，l2為等應力段長度(如表2所示)，計算結果如表3所示。表3所示為303不銹鋼，7075-T651鋁、TC4鈦合金三種材料的抗疲勞強度[σ]和變幅桿所能達到的極限振幅Dmax。

表3 三種材料的疲勞強度及對應理論最大振幅

2 仿真設計

為了使上述設計的變幅桿應力最大值發(fā)生在應力分布均勻處，采用ANSYS軟件分析換能器系統(tǒng)的振動模態(tài)，調節(jié)變幅桿l1的長度,使換能器系統(tǒng)一階共振頻率為振子的工作頻率，即55.7 kHz附近，再利用ANSYS諧響應分析，確認變幅桿的最大應力發(fā)生在所設計的等應力處，從而確定變幅桿的形狀參數(shù)。

2.1 模型的建立與模態(tài)分析

在三維設計軟件Unigraphics NX 7.5(UG NX7.5)中建立郎之萬振子與等應力變幅桿裝配體三維模型及其各部分尺寸如圖3(a)所示，將模型導入到ANSYS軟件，并進行網(wǎng)格劃分如圖3(b)所示，網(wǎng)格劃分采用自由劃分方式，網(wǎng)格劃分中壓電陶瓷環(huán)片的單元類型選用六面體20節(jié)點單元的solid226，其他各個部分都選用三維20節(jié)點結構單元的solid95。其中，前后蓋板的材料分別為303不銹鋼和7075-T651鋁，壓電陶瓷堆是由四片沿z方向極化的PZT4壓電陶瓷環(huán)組成，相鄰兩片陶瓷片的極化方向相反，預緊螺栓和變幅桿的材料都為TC4鈦合金，各材料參數(shù)如表4所示。

由前述變幅桿設計理論可知，換能器的固有頻率和節(jié)點位置可以通過改變l1的值來調節(jié)。以l1為變量，以超聲換能器系統(tǒng)工作頻率為55.7 kHz為目標，優(yōu)化l1長度，可得l1長度與固有頻率之間的關系表5所示。當l1=21 mm時，系統(tǒng)的固有頻率為55.735 kHz，系統(tǒng)位移云圖如圖3(c)所示。

圖3 (a)裝配體示意圖(b)三維有限元網(wǎng)格劃分(c)ANSYS模態(tài)分析位移云圖

表4 壓電陶瓷(PZT4)，7075-T651鋁，303不銹鋼，和TC4材料參數(shù)

表5 l1長度與固有頻率的關系

2.2 諧響應分析

諧響應分析是用于確定線性結構在承受隨時間按正弦規(guī)律變化的載荷時的穩(wěn)態(tài)響應的一種技術。利用ANSYS諧響應技術可以分析和計算當變幅桿受到一定頻率激勵時，其應力分布狀況和大小。

在ANSYS諧響應分析中，施加在壓電陶瓷上激勵電壓峰峰值為1V，頻率為模態(tài)分析所獲得的頻率，即55 735 Hz。分析后，后處理觀察沿桿等效應力分布云圖如圖4(a)所示，由圖可知，變幅桿應力沿節(jié)點后的位置分布均勻，同時也是整個變幅桿應力分布最大處。圖4(b)所示為變幅桿應力分布曲線。

為了比較所設計的等應力變幅桿與其他常見形狀變幅桿能獲得最大振幅的關系，同時設計了固有頻率和面積因數(shù)都與等應力桿相等的階梯形和圓錐形變幅桿，以及固有頻率與之相同的等截面變幅桿。圖5所示為四種不同形狀變幅桿輪廓曲線。

圖4 (a)應力云圖 (b)變幅桿應力分布曲線

圖5 四種形狀變幅桿輪廓曲線

對于相同材料和相同固有頻率的變幅桿，形狀因數(shù)φ是衡量其能達到最大振幅的標準，其表達式如下：

(8)

其中:ξmax為變幅桿輸出端的速度，σmax為發(fā)生在變幅桿上的最大應力，ρC為變幅桿的材料機械阻抗，它僅與材料有關。為了計算方便，本文引入了一個參數(shù)τ，其與φ滿足如下關系：

φ=2πfρC·τ

(9)

對于同一材料的變幅桿，τ值與變幅桿的形狀因數(shù)成正比，單位為m/Pa。它的物理意義是：變幅桿上的最大應力每增加1 Pa，變幅桿振幅所增加的量。通過比較τ值來衡量不同形狀變幅桿能達到最大振幅，只需要δmax和σmax兩個量，這兩個量在ANSYS諧響應分析中都可以獲得。值得注意的是，ANSYS諧響應分析時，輸入的阻尼值會對δmax和σmax兩個量計算結果有很大影響，但是對其比值即τ值沒有影響，因此可以設置阻尼為一個經(jīng)驗值(如α=113.087，β=9.19×10-10)。表6所示為四種變幅桿ANSYS諧響應分析計算后所得的各個參數(shù)值。

由表6可知，在同一電壓激勵下(1Vp-p)，雖然階梯形變幅桿振幅最大，但是應力也遠遠大于其他三種變幅桿，所以當激勵電壓增加時，它會最先斷裂。等應力變幅桿的τ值最大，為0.371×10-12m/Pa，高于圓錐形變幅桿(τ為0.257×10-12m/Pa)44.4%，所以當激勵電壓不斷增大，它能獲得的振幅最大而最后斷裂。等截面變幅桿由于對振子輸出端振幅沒有放大作用，所以在相同大小的激勵電壓下，它的振幅最小，但是隨著電壓的增大，當發(fā)生斷裂時，它能達到的振幅卻約為階梯形變幅桿的2倍。

表6 不同形狀變幅桿諧響應分析結果

3 實驗測試

在數(shù)值模擬的基礎上，加工了用前述方法設計的等應力變幅桿，圖6所示為包括郎之萬振子和等應力變幅桿的換能器裝配實物圖。

圖6 超聲換能器系統(tǒng)

在小信號(1Vp-p)激勵下，用LCR-8081精密阻抗儀測量獲得了換能器振動系統(tǒng)的導納和相位曲線(分析頻率范圍為50～60 kHz)如圖7所示。其諧振頻率為56.083 kHz，這與ANSYS數(shù)值計算所得結果(55.735 kHz)相差0.61%。在分析頻率范圍內只有一個諧振峰，這也有利于抑制系統(tǒng)其它振型對所需振型的干擾。

圖7 導納和相位曲線

由于振幅超過10 μm，可以用長焦距顯微鏡在振動端面上直接觀測振幅，測量裝置示意圖如圖8。信號發(fā)生器(RIGOL DG1022)輸出正弦信號經(jīng)功率放大器(LM3886)接入振子，調節(jié)信號頻率并利用數(shù)字示波器(Rigol DS 5022)觀察輸入振子電壓信號，使超聲換能器工作在共振狀態(tài)。通過顯微鏡數(shù)碼攝像機(DCM136)將變幅桿輸出端的振動圖像傳輸?shù)诫娔X。經(jīng)軟件(ScopePhoto3.0)標定變幅桿上一點并測量振幅大小如圖9所示，由圖可知，變幅桿的振幅都隨著電壓的增大而增大。相同激勵電壓下，等應力變幅桿振幅約為等截面形狀桿的5.23倍。當電壓為198Vp-p時，振幅峰峰值達到148 μm，此時超聲變幅桿的響應頻率為55.9 kHz。試驗中，隨著電壓的增大和工作時間的持續(xù)，變幅桿振幅的增大速度會變小且響應頻率也會變小。通過分析，這種現(xiàn)象是由于隨著激勵電壓的增大和工作時間的持續(xù)會引起材料發(fā)熱，溫度的升高導致材料特性變化而引起的。

圖8 變幅桿振幅測試裝置

圖10所示為激勵電壓分別為80、90和100Vp-p時所測變幅桿頻率響應曲線。由圖可知，響應頻率隨著電壓的增大而減小。在實際工作中，隨著負載的變化，變幅桿的響應頻率也會發(fā)生一定的變化，可利用鎖相環(huán)技術跟蹤頻率解決這個問題。

圖9 振幅-電壓關系

圖10 三種激勵電壓變幅桿頻率響應曲線

4 結 論

在深入研究超聲變幅桿振動的基礎上，從提高變幅桿形狀因數(shù)的角度，通過理論計算和ANSYS軟件仿真結合的方法，設計了應力沿桿均勻分布的超聲變幅桿。這種形狀的變幅桿在同一材料和同一頻率的條件下，理論上能獲得最大的振動幅值。這種變幅桿的形狀有兩個特點：第一，發(fā)生在桿上最后1/4波長大部分長度上的應力相等；第二，應力分布均勻處的應力也是變幅桿上應力最大值處。

加工和測試了郎之萬振子和等應力變幅桿，實測頻率與理論計算頻率十分接近。通過對所設計的超聲變幅桿實驗測試可知，當激勵電壓為198Vp-p時，變幅桿的振幅峰峰值可達到148 μm。遠大于現(xiàn)有的同頻率下變幅桿的振幅。研究結果將在超聲焊接、超聲馬達和超聲液體泵等領域中具有廣泛的應用。但是本系統(tǒng)在實際應用中還存在一些不足，尚需改進：隨著激勵電壓的提高和工作時間的增加，材料性質非線性越來越顯著，變幅桿的發(fā)熱問題也越來越突出，這不利于工作的穩(wěn)定性和安全性。所以還需要設計散熱系統(tǒng)等，以抑制溫度提高引起的一系列問題。

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