陳曉紅+唐月紅+劉萍+王麗平

一課程簡(jiǎn)介

“積分變換”是對(duì)工科專業(yè)本科生開設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課[1-2]。作為重點(diǎn)工科院校的南京航空航天大學(xué)有許多專業(yè)都與之密切相關(guān)，比如工程力學(xué)、電工技術(shù)、電磁學(xué)、無線電技術(shù)、信號(hào)系統(tǒng)與自動(dòng)控制等。對(duì)這些專業(yè)來說，積分變換既是理論基礎(chǔ)課程，又是解決實(shí)際問題的有力工具。通過“積分變換”這門課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握積分變換的基本理論和方法，增強(qiáng)對(duì)課程內(nèi)容的本質(zhì)理解和實(shí)際工程應(yīng)用，并為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和解決實(shí)際問題奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生從純數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變到數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的緊密結(jié)合，提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

“積分變換”具有概念晦澀難懂、知識(shí)點(diǎn)多、抽象度高、邏輯推理嚴(yán)密等特點(diǎn)。學(xué)過該課程的同學(xué)普遍認(rèn)為該課枯燥無趣、難學(xué)難記。在實(shí)際教學(xué)過程中，由于學(xué)時(shí)有限，教師只能把基本積分變換的概念、性質(zhì)與常用函數(shù)的變換傳授給學(xué)生，沒有時(shí)間介紹每種變換產(chǎn)生的原理與應(yīng)用的場(chǎng)景，這影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更談不上進(jìn)一步深入研究。如何將學(xué)生們的工科專業(yè)知識(shí)融入“積分變換”，如何讓學(xué)生對(duì)其產(chǎn)生興趣并在有限的時(shí)間內(nèi)高效地學(xué)好這門課程，正是我們對(duì)“積分變換”進(jìn)行教學(xué)改革探索的內(nèi)容和目標(biāo)。

二問題與剖析

目前的“積分變換”教學(xué)存在以下三個(gè)方面的問題：

1理論與實(shí)踐相脫節(jié)

“積分變換”的理論性強(qiáng)，嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過多，教學(xué)中難免出現(xiàn)從公式到公式、從數(shù)字到數(shù)字的傳授方式，而枯燥的理論推導(dǎo)恰是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的攔路虎。教學(xué)內(nèi)容偏重理論推導(dǎo)，忽視實(shí)踐應(yīng)用，整個(gè)教學(xué)過程缺少實(shí)際應(yīng)用的背景。教材雖幾經(jīng)變化，但沒有質(zhì)的區(qū)別，大部分院校還在采用西安交大的教材，我們學(xué)校也不例外?，F(xiàn)行教材的一個(gè)最大缺陷就是過分強(qiáng)調(diào)理論的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性，卻忽視基本概念的物理背景和理論在實(shí)際中的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容離實(shí)際越來越遠(yuǎn)，學(xué)過的用不上，要用的又沒學(xué)，給學(xué)生造成一種積分變換用處不大的錯(cuò)覺，因而學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，教學(xué)效果較差。

2教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)課程相脫節(jié)

積分變換是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它和我們學(xué)校開設(shè)的許多工科專業(yè)息息相關(guān)：比如對(duì)自動(dòng)化學(xué)院的學(xué)生可介紹積分變換在電工技術(shù)和電磁學(xué)中的應(yīng)用，對(duì)電子信息學(xué)院的學(xué)生則要結(jié)合無線電技術(shù)、信號(hào)系統(tǒng)與自動(dòng)控制來講解積分變換的用途等。而實(shí)際上，教師在授課過程中往往只是介紹積分變換的基本概念和常用函數(shù)的變換，根本做不到針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生一一介紹積分變換在其專業(yè)課程中的應(yīng)用，造成積分變換的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的專業(yè)課程相脫節(jié)，影響了學(xué)生對(duì)積分變換知識(shí)體系的理解，從而使教學(xué)效果大打折扣。

3多媒體教學(xué)與數(shù)學(xué)軟件的實(shí)時(shí)演示相脫節(jié)

盡管現(xiàn)在已有越來越多的教師注意到上述兩個(gè)問題，并在課堂教學(xué)中加以改進(jìn)，比如穿插一些應(yīng)用實(shí)例，但這通常是教師在課前做好功課，課堂上只是展示給學(xué)生看，學(xué)生只是在形式上感知，沒有親自動(dòng)手演算的機(jī)會(huì)，無法體會(huì)積分變換的強(qiáng)大功能。

三探索與改革

針對(duì)上述“積分變換”教學(xué)中存在的“三脫節(jié)”現(xiàn)象，通過剖析問題實(shí)質(zhì)，提出以下具體教學(xué)改革思路：

1課程內(nèi)容兼顧理論與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力

“積分變換”比先前所學(xué)數(shù)學(xué)課程比如復(fù)變函數(shù)有其更廣泛的專業(yè)背景。積分變換主要介紹傅立葉變換和拉普拉斯變換，其中傅立葉變換多應(yīng)用于信號(hào)分析，拉普拉斯變換則常見于分析系統(tǒng)。教學(xué)時(shí)緊緊抓住這一特點(diǎn)并結(jié)合應(yīng)用背景，就會(huì)使教學(xué)變得生動(dòng)，真正讓學(xué)生看到學(xué)以致用的魅力。比如講授傅立葉變換時(shí)，可介紹其在信號(hào)消噪過程的工作原理（先對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，分離出高低頻信息，根據(jù)需要找到最佳消噪方法進(jìn)行去噪），而不是孤立地、支離破碎地講授一些抽象的數(shù)學(xué)概念和公式。許多科技前沿諸如語音識(shí)別、虹膜識(shí)別等技術(shù)的實(shí)現(xiàn)都是類似的道理。這種與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的教學(xué)方法，切實(shí)解決理論與實(shí)踐相脫節(jié)的問題，可幫助學(xué)生建立明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，全面系統(tǒng)培養(yǎng)他們的實(shí)際應(yīng)用能力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

在“積分變換”教學(xué)中采用類比建構(gòu)的方法介紹傅立葉變換和拉普拉斯變換的區(qū)別與相似之處。傅立葉變換是在函數(shù)絕對(duì)可積的條件下定義的，拉普拉斯變換是在更寬泛的前提下給出的，拉普拉斯變換是傅立葉變換的拓展，傅立葉變換是拉普拉斯變換的一種特例，但兩種變換的實(shí)質(zhì)都是映射，它們將信號(hào)從時(shí)間域映射到頻率域，然后研究信號(hào)的特征，逆變換則相反。如此一來，復(fù)雜的數(shù)學(xué)定義及公式就被簡(jiǎn)單地提煉出實(shí)質(zhì)，有利于學(xué)生透過現(xiàn)象看到事物的本質(zhì)，幫助學(xué)生建立看問題的數(shù)學(xué)角度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維，實(shí)現(xiàn)知識(shí)從厚到薄的轉(zhuǎn)換。

整個(gè)授課過程按照如下方式展開：背景問題———產(chǎn)生、建立概念———發(fā)現(xiàn)定律———建立體系———發(fā)展理論———應(yīng)用理論，強(qiáng)調(diào)概念的產(chǎn)生過程所蘊(yùn)含的思想方法。在完成了概念的產(chǎn)生到理論體系的建立之后，又以回到實(shí)際問題的解決來收尾，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)是怎樣經(jīng)過抽象、簡(jiǎn)化和假設(shè)等方法來描述問題、分析問題和解決問題的全過程有一個(gè)綜合了解，使學(xué)生在掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，并用之解決實(shí)際問題，從而讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)并非多么抽象，它就在現(xiàn)實(shí)之中。

2“積分變換”教學(xué)與后續(xù)專業(yè)課程的緊密結(jié)合

由于“積分變換”的授課對(duì)象是全校不同專業(yè)的工科學(xué)生，所以必須從專業(yè)需求出發(fā)，修訂教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生來自不同的專業(yè)，他們對(duì)積分變換的要求必然有所不同，所以教學(xué)內(nèi)容必須進(jìn)行改革。為此，可嘗試在所選教材的基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)刈鲂霸觥焙汀皽p”的調(diào)整，精簡(jiǎn)一些傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容，增加與各專業(yè)背景有關(guān)的應(yīng)用實(shí)例，以滿足各專業(yè)學(xué)生的不同需求。通過這些實(shí)例，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到積分變換在相應(yīng)專業(yè)課中的作用，進(jìn)而深入了解積分變換應(yīng)用的方法和技巧。

“積分變換”教學(xué)改革的第二項(xiàng)措施就是從教學(xué)效果出發(fā)，增加實(shí)踐教學(xué)。在教學(xué)過程中將現(xiàn)實(shí)的實(shí)際問題引入課堂，把積分變換和后續(xù)專業(yè)課程融合起來，解決二者脫節(jié)的問題，使積分變換不再晦澀難懂，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而讓學(xué)生嘗試通過自己動(dòng)手和觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)其中的規(guī)律，并進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，滲透現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想[3]。例如，為了讓學(xué)生能從實(shí)踐中深切地感受到傅里葉變換理論的意義和應(yīng)用價(jià)值，我們?cè)O(shè)計(jì)頻譜分析這一實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，通過實(shí)踐，一方面讓學(xué)生了解到傅里葉變換是信號(hào)頻譜分析的一種極有力的工具，另一方面也讓學(xué)生了解到傅里葉變換不具有時(shí)頻局域化的特點(diǎn)，激勵(lì)學(xué)生勇于探索，科學(xué)無止境。對(duì)于來自信號(hào)處理專業(yè)的學(xué)生，引導(dǎo)其利用傅里葉變換進(jìn)行圖像處理，實(shí)現(xiàn)圖像去噪和壓縮，體會(huì)傅里葉變換的效果，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果并提出改進(jìn)形式。

3傳統(tǒng)教學(xué)方式與多媒體教學(xué)相結(jié)合，將實(shí)踐教學(xué)引入課堂

在課堂教學(xué)中把傳統(tǒng)教學(xué)模式難以表現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容通過多媒體技術(shù)形象化地、可交互性地展現(xiàn)出來，呈現(xiàn)出知識(shí)建立的過程。課前專門創(chuàng)設(shè)若干問題，利用學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)他們多方位、多角度地思考，加深他們對(duì)知識(shí)的理解，增強(qiáng)其思維能力和創(chuàng)新精神。實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐環(huán)節(jié)既是教學(xué)實(shí)驗(yàn)中的關(guān)鍵所在，也是課程建設(shè)的重要內(nèi)容。在課程建設(shè)中，實(shí)踐教學(xué)的設(shè)計(jì)思想就是使學(xué)生能更加深刻地理解、掌握該門課程的理論和方法；引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一些概念、公式和結(jié)論所含物理意義有形象直觀的認(rèn)識(shí)，并為后繼專業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)。為此，我們進(jìn)行以下工作：

利用計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件（如Maple、Matlab、Mathematica）的數(shù)值功能和圖形功能展示課程的基本概念和結(jié)論，使學(xué)生能直觀地了解課程內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)基本概念和結(jié)論的認(rèn)識(shí)與理解。比如利用Matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)的傅里葉變換、傅里葉逆變換、拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換等。要求學(xué)生自己總結(jié)規(guī)律，親自體驗(yàn)解決問題的過程，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高應(yīng)用能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果。

采用開放式的課后作業(yè)機(jī)制，讓學(xué)生親身體驗(yàn)初級(jí)科研的全過程，達(dá)到學(xué)以致用的效果。每章內(nèi)容結(jié)束時(shí)給出應(yīng)用案例，將問題交給學(xué)生，自行查閱文獻(xiàn)、選擇積分變換，借助數(shù)學(xué)軟件將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題的解決中，并完成案例分析報(bào)告，體會(huì)積分變換的實(shí)用性和數(shù)學(xué)軟件的操作性，從而加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解，掌握現(xiàn)代計(jì)算工具的應(yīng)用，了解所學(xué)知識(shí)的多樣性和應(yīng)用性，逐步提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣。

四教改實(shí)施

目前，我校將“積分變換”作為公選課對(duì)全校理工科生開放，面對(duì)來自不同專業(yè)的學(xué)生，我們根據(jù)“積分變換”課程特點(diǎn)與工科學(xué)生不同專業(yè)的需求，按照上述改革思路，嘗試在教學(xué)過程中改進(jìn)教學(xué)方式方法，加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)與理論教學(xué)的結(jié)合、加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)課程結(jié)合、加強(qiáng)多媒體教學(xué)與數(shù)學(xué)軟件的實(shí)時(shí)演示的結(jié)合，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，得到了專業(yè)教師的認(rèn)可，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

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[3]朱敏慧，崔艷.工科復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)改革的探索[J]. 2013， 27（1）： 82-84.