趙 凱，門(mén)可佩，蔣 勇

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，南京 210044)

0 引言

灰色系統(tǒng)理論是鄧聚龍教授于1982年首先提出來(lái)的，其實(shí)質(zhì)為對(duì)部分信息已知部分信息未知的系統(tǒng)的定量分析[1-3]?；疑P(guān)聯(lián)分析[1,2]是灰色系統(tǒng)理論的兩大基石之一，它并不深究系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制和物理模型，而是在距離空間與拓?fù)淇臻g的基礎(chǔ)上[4]，對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間序列或截面數(shù)據(jù)建立關(guān)聯(lián)分析模型，以量化系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)。

目前常用的灰色關(guān)聯(lián)度模型主要有：鄧聚龍?zhí)岢龅泥囀匣谊P(guān)聯(lián)度[1]，從曲線間的接近性或相似性來(lái)考慮量化；王清印的灰色B型關(guān)聯(lián)度和C型關(guān)聯(lián)度[5，6]，從位移、速度、加速度的角度來(lái)考慮量化；劉思峰的廣義灰關(guān)聯(lián)度[7]，從兩條序列折線所夾的面積大小來(lái)考慮量化；李學(xué)全的灰色斜率關(guān)聯(lián)度[8]主要從因素序列曲線的平均相對(duì)變化態(tài)勢(shì)來(lái)考慮量化關(guān)聯(lián)度?，F(xiàn)有的計(jì)算模型的建立是基于充分考慮系統(tǒng)在發(fā)展過(guò)程中的相近性，全面考慮事物之間發(fā)展過(guò)程的異同性。但是，上述關(guān)聯(lián)度模型給出的是靜態(tài)的模型值，在縱向上變化發(fā)展的動(dòng)態(tài)綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題中，不同時(shí)間截面的關(guān)聯(lián)度則不具有可比性。本文從縱向角度出發(fā)，給出一種具有動(dòng)態(tài)可比性的三維灰關(guān)聯(lián)模型，同時(shí)給出應(yīng)用實(shí)例。

1 灰關(guān)聯(lián)分析模型及其縱向可比性探討

記評(píng)價(jià)系統(tǒng)為X={Xi=(xi(1),xi(2),...,xi(N))|i=0,1,2,...,m}，其中，m代表系統(tǒng)個(gè)數(shù)，N代表時(shí)間長(zhǎng)度，并滿足灰色關(guān)聯(lián)四公理：

(1)規(guī)范性：0＜γ(X0,Xi)≤1，γ(X0,Xi)=1?Xi=aX0+b。

其中，i=1,2,...,m為評(píng)價(jià)序列的下標(biāo)，a和b為常數(shù)。

(2)整體性：?Xi,Xj(i≠j)∈X?γ(Xi,Xj)≠γ(Xj,Xi)。

(3)偶對(duì)稱性：?Xi,Xj(i≠j)∈X,γ(Xi,Xj)=γ(Xj,Xi)?X={Xi,Xj}。

(4)接近性：|X0(t)-Xi(t)|越小，則γ(X0(t),Xi(t))越大。

稱無(wú)量綱數(shù)γ(X0,Xi)為系統(tǒng)Xi與參照系統(tǒng)X0之間的灰色關(guān)聯(lián)度，γ(X0(t),Xi(t))為系統(tǒng)Xi與參照系統(tǒng)X0在t時(shí)刻的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)。鄧氏灰關(guān)聯(lián)度定義為

該定義默認(rèn)系統(tǒng)行為序列是個(gè)一維時(shí)間序列，沒(méi)有考慮動(dòng)態(tài)多指標(biāo)的問(wèn)題。另外，在點(diǎn)關(guān)聯(lián)系數(shù)有顯著差異的情況下，鄧氏灰關(guān)聯(lián)度也有其缺陷，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

按上面的定義，鄧氏灰關(guān)聯(lián)分析的計(jì)算步驟如下:

(1)確定參考序列和比較序列。在m個(gè)系統(tǒng)、N個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度的條件下，令參考序列與比較序列分別如下：

X0=(x0(1),x0(2),...,x0(N))，Xi=(xi(1),xi(2),...,xi(N))

(2)求各序列的初值像。為消除量綱的影響，設(shè)

(3)求兩級(jí)最大差和最小差。記

(4)求關(guān)聯(lián)系數(shù)

其中，分辨系數(shù)ρ∈(0,1)，通常取ρ=0.5。

(5)計(jì)算關(guān)聯(lián)度上述關(guān)聯(lián)度的定義，是針對(duì)多系統(tǒng)、單指標(biāo)的時(shí)間序列定量化評(píng)價(jià)問(wèn)題。對(duì)于多系統(tǒng)、多指標(biāo)的評(píng)價(jià)問(wèn)題{xij(t)∈(Si,Xj,Tt)|i=0,1,2,...,m;j=1,2,...,n;t=1,2,...,N}，其中，m是系統(tǒng)的個(gè)數(shù)，n是評(píng)價(jià)指標(biāo)的個(gè)數(shù)，N為時(shí)間長(zhǎng)度，該評(píng)價(jià)問(wèn)題的信息矩陣為

可以證明，對(duì)于上述動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)問(wèn)題，由(4)式定義的灰色關(guān)聯(lián)度不具有縱向可比性。

但在應(yīng)用灰色關(guān)聯(lián)度進(jìn)行動(dòng)態(tài)多系統(tǒng)、多指標(biāo)評(píng)價(jià)問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造參考序列，使得該參考序列包含所有時(shí)間的信息，則所得的灰色關(guān)聯(lián)度在橫向和縱向上都具有可比性。

2 基于時(shí)間維度的參考序列選擇及其關(guān)聯(lián)度的可比性

對(duì)于多系統(tǒng)、多指標(biāo)評(píng)價(jià)系統(tǒng)

其不同時(shí)刻所有系統(tǒng)的信息矩陣為

(1)時(shí)間維度上的最大均值

(2)數(shù)據(jù)無(wú)量綱化處理

(3)令動(dòng)態(tài)參考序列為

利用鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度模型的(2)～(4)式，計(jì)算各個(gè)時(shí)間、各個(gè)系統(tǒng)與參考系統(tǒng)S0(T)之間的灰色關(guān)聯(lián)度。由該方法計(jì)算出的關(guān)聯(lián)度，不但繼承了傳統(tǒng)灰色關(guān)聯(lián)模型可以橫向比較的特性，而且還可以進(jìn)行縱向比較分析，這在多系統(tǒng)、多指標(biāo)、動(dòng)態(tài)綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題中可以取得很好的效果，同時(shí)也大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。由于不同時(shí)刻各系統(tǒng)的信息矩陣已經(jīng)進(jìn)行過(guò)M0的均值化處理，所以無(wú)需再由(1)式對(duì)數(shù)據(jù)做無(wú)量綱化處理。

文獻(xiàn)[11]給出的三維灰色關(guān)聯(lián)模型，是對(duì)各個(gè)時(shí)刻的灰色關(guān)聯(lián)度求均值，這是一個(gè)總體值，不同時(shí)刻的關(guān)聯(lián)度仍然不能做縱向的比較。

3 應(yīng)用實(shí)例

運(yùn)用本文給出的新型灰色關(guān)聯(lián)分析模型，對(duì)江蘇省13個(gè)城市分別在“九五”末、“十五”末、“十一五”末的經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，也就是對(duì)2001、2006、2010年的運(yùn)行狀況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，其評(píng)價(jià)系統(tǒng)為{xij(t)∈(Si,Xj,Tt)}13*5*3，系統(tǒng)信息、指標(biāo)信息、時(shí)間信息和信息矩陣分別列于表1至表4所示。

表4給出2001、2006、2010年各個(gè)系統(tǒng)、各個(gè)指標(biāo)經(jīng)過(guò)本文定義的數(shù)據(jù)無(wú)量綱化后的數(shù)值，其具體趨勢(shì)見(jiàn)圖1至圖3所示。經(jīng)計(jì)算，時(shí)間維度上的最大均值序列為

M0=[m1,m2,m3,m4,m5]=[40054.270,37.900,80.543,390.886,131.520]；

其動(dòng)態(tài)參考序列為

S0(T)=[x1(T),x2(T),x3(T),x4(T),x5(T)]=[1.792,3.523,4.199,3.116,7.656]。

表1 系統(tǒng)信息表

表2 指標(biāo)信息表

表3 時(shí)間信息表

圖1 2001年江蘇各系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最大均值序列無(wú)量綱化后的狀態(tài)

圖2 2006年江蘇各系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最大均值序列無(wú)量綱化后的狀態(tài)

圖3 2010年江蘇各系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最大均值序列無(wú)量綱化后的狀態(tài)

由(7)式得到的動(dòng)態(tài)參考序列，結(jié)合(2)—(4)式則可計(jì)算出動(dòng)態(tài)灰關(guān)聯(lián)度值，如圖4和圖5所示。上述所求出的灰色關(guān)聯(lián)度加入了時(shí)間信息，繼承了傳統(tǒng)灰色關(guān)聯(lián)度的橫向可比性，同時(shí)也具有縱向可比性。在考察系統(tǒng)與系統(tǒng)運(yùn)行之間的相互關(guān)系的同時(shí)，可以考察同一系統(tǒng)在不同時(shí)間的運(yùn)行狀況。由圖4，從時(shí)序縱向上比較灰色關(guān)聯(lián)度，比如就蘇州而言，2001、2006、2010年與動(dòng)態(tài)參考序列的灰色關(guān)聯(lián)度分別為0.7153、0.7639、0.7659，這說(shuō)明蘇州發(fā)展態(tài)勢(shì)逐年提升，接近于參考系統(tǒng)的發(fā)展水平，而無(wú)錫則相反，徐州則有波動(dòng)。從橫向上比較灰色關(guān)聯(lián)度，由圖5可以看出，灰色關(guān)聯(lián)度按照：＞2.0,(1.7,2.0),＜1.7的標(biāo)準(zhǔn)，可依次劃分為三大方陣：第一方陣3個(gè)城市：南京、蘇州、無(wú)錫；第二方陣6個(gè)城市：常州、淮安、南通、徐州、揚(yáng)州、鎮(zhèn)江；第三方陣4個(gè)城市：連云港、宿遷、泰州、鹽城。該評(píng)價(jià)符合江蘇經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的實(shí)際。

表4 經(jīng)過(guò)M0無(wú)量綱化后的信息矩陣*

圖4 2001、2006、2010年江蘇13個(gè)城市與動(dòng)態(tài)參考序列灰關(guān)聯(lián)度

圖6 江蘇13個(gè)城市與動(dòng)態(tài)參考序列灰關(guān)聯(lián)度的3年總和

4 結(jié)論

本文在鄧氏灰關(guān)聯(lián)分析模型考慮多系統(tǒng)、單指標(biāo)時(shí)間序列之間相關(guān)程度的基礎(chǔ)上，構(gòu)建三維動(dòng)態(tài)多系統(tǒng)、多指標(biāo)系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題的灰關(guān)聯(lián)度模型，其實(shí)質(zhì)是在關(guān)于數(shù)據(jù)無(wú)量綱化處理的過(guò)程中，引入時(shí)間維度上的最大均值組M0=[m1,m2,...,mn]，并在選擇動(dòng)態(tài)參考序列S0(T)=[x1(T),x2(T),...,xn(T)]的時(shí)候引入時(shí)間維度，使得最后計(jì)算出來(lái)的灰色關(guān)聯(lián)度同時(shí)具有橫向和縱向的比較特性，可以更真實(shí)地反映系統(tǒng)的運(yùn)行特點(diǎn)。相對(duì)于利用回歸分析、主成份分析等方法而言，采用本文提出的基于動(dòng)態(tài)參考序列的灰色關(guān)聯(lián)度模型綜合評(píng)價(jià)，其評(píng)價(jià)結(jié)果更為合理，失真度較小，且具有方便易行，計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)。因此，本文提出的方法不僅在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域，而且在氣象與空間統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域也大有用武之地。

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