沈銀大

數(shù)學知識是一個系統(tǒng)化的邏輯體系，而推理則是抽象邏輯思維的基礎，在小學數(shù)學教學中，經(jīng)常見到歸納推理、類比推理、演繹推理、合情判斷的痕跡. 本人從一年級到六年級一個大循環(huán)教下來，對小學生學習過程中推理的主要形式及能力培養(yǎng)的策略有了進一步的認識和理解.

一、歸納推理——讓學生體驗數(shù)學規(guī)律

歸納推理，即通過對某類事物一定數(shù)量的具體實例進行觀察、比較、分析、概括，得出某些結論，并將其所具有的規(guī)律作為該事物的普遍規(guī)律. 借助歸納，人們能從有限的事物中受到啟發(fā)，提出假說和猜想. 在小學數(shù)學教材中，幾乎大部分定律、性質、法則是由歸納推理得出的，而且一般用的是不完全歸納法，用不完全歸納法得出的結論容易犯以偏概全的錯誤，還有待嚴格證明. 但不完全歸納法符合人的思維特點，是一種基礎性認知能力，易于被學生接受. 因此，在小學數(shù)學教學中引導學生適度應用歸納推理，可以讓學生更好地體驗數(shù)學規(guī)律的形成過程.

【案例1】 “商不變的性質”教學片段

教師逐題出示：36 ÷ 12，360 ÷ 120，……

師：3600……0（末尾100個0） ÷ 1200……0（末尾100個0）的得數(shù)是多少？你是怎么知道的？

生：得數(shù)是3，我是猜出來的.

師：商是不是3，我們來研究一下.

教師根據(jù)36 ÷ 12 = 3，編了9道新算式引導學生先獨立計算，再看看商的變化情況，把商沒變的算式整理出來，如下：

（36 × 2） ÷ （12 × 2） = 3 （36 × 3） ÷ （12 × 3） = 3

（36 × 10） ÷ （12 × 10） = 3 （36 × 5） ÷ （12 × 5） = 3

師：它們的商為什么沒變？你能發(fā)現(xiàn)什么？把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和同學交流一下.

生1：我發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)同時乘幾，商不變. 我還發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)同時除以幾，商不變.

生2：我可以把他們的話并成一句話來說，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以幾，商都不變.

師：好的，按照你們剛才的話，老師把題目改成（36 × 0） ÷ （12 × 0），這句話還成立嗎？

師：有（36 ÷ 0） ÷ （12 ÷ 0）這樣的算式嗎？0可以作為除數(shù)嗎？為什么？

生：哦，我們發(fā)現(xiàn)了，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以同一個數(shù)（0除外），商不變.

策略1：提供關系結構或規(guī)律相同的多個同類型材料，讓學生歸納.

針對歸納推理，教師給學生提供或引導學生收集材料時，應做到：一是提供一定數(shù)量的同類型材料，一般不少于3個；二是提供關系結構相同或規(guī)律明顯的材料；三是提供的材料蘊含的關系或呈現(xiàn)出來的規(guī)律應是學生能夠通過自主探索得到并具有推廣價值的. 這樣的材料便于學生“多”中求“同”，“多”中得“全”. 從不完全歸納到完全歸納，從而得出有效結論.

二、類比推理——讓學生體驗數(shù)學聯(lián)系

類比推理是根據(jù)不同對象的某些方面（如特性、屬性、關系等）相同或相似，推出它們在其他方面也可能相同或相似的思維形式，是由特殊到特殊的推理. 常見的類比有直線和平面的類比、平面和空間的類比、加減和乘除的類比、有限和無限的類比、個體和整體的類比等. 類比推理抓住了事物的相似性，把兩類不同對象按其內在聯(lián)系的相似性加以類比. 類比推理可以幫助學生由舊知探究新知，充分體驗新舊知識之間的聯(lián)系，因此，教師應引導學生恰當運用類比推理，更好地體驗數(shù)學知識之間的聯(lián)系.

【案例2】 “梯形的面積計算”教學片段

師：怎樣把梯形轉化為我們熟悉的平面圖形？想想能把梯形剪、拼成什么樣的圖形，想好后動手剪一剪或拼一拼.

師：誰能向大家匯報一下自己把梯形剪、拼成了什么圖形？

生1：根據(jù)我們前面學習平行四邊形、三角形面積計算的經(jīng)驗，我把兩個完全一樣的梯形拼成了一個平行四邊形.

生2：我還有一個辦法，從梯形中割下一個小三角形，旋轉后拼成了一個平行四邊形.

生3：我則是從兩腰中點作下底的垂線，分割成兩個三角形，拼成了一個長方形.

生4：我則是從梯形的一個頂點作與一腰中點的連線延長與底邊的延長線相交，將割下的三角形旋轉拼在底的旁邊使其拼成一個三角形.

師：同學們真聰明，想出了很多方法，現(xiàn)在能仔細觀察梯形與這些圖形之間的關系嗎？然后想辦法得出梯形面積的計算方法.

生：……

生：最終得出梯形的面積 = （上底 + 下底） × 高 ÷ 2.

策略2：提供具有某些相似性的不同類型材料，讓學生類比.

類比推理的基礎是比較，關鍵是遷移，當我們遇到一個新的問題時，首先想到的是有沒有一個類似的、已經(jīng)解決的問題可以與之對比，因此素材選擇恰當與否是影響學生類比推理的關鍵因素. 選擇類比推理的素材時，教師首先要深入分析需要探究的問題的特點，以及其中蘊含的數(shù)學關系和結構；其次是尋找學生已有知識中具有相似特點的素材，基于這種相似性分析類比、遷移出其他性質的可行性和可靠性；再次是對可供選擇的材料進行適當處理，使之能夠凸顯有待解決問題的主要性質或關系，這樣才能讓學生進行有效類比，從而得出正確結論.

三、演繹推理——讓學生體驗數(shù)學作用

演繹推理又稱為論證推理，是根據(jù)已有的事實和正確的結論 （ 包括定義、公理、定理等） ，按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程，是從一般到特殊的推理，它是以某類事物的一般判斷為前提作出這類事物的個別、特殊事物判斷的推理方法. 演繹推理以形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)，它的過程正好與歸納推理的過程相反，它的前提與結論之間有著必然的聯(lián)系，只要前提是真的，推理是合乎邏輯的，就一定能得到正確的結論.

演繹推理的基本方式是三段論證法，即“大前提、小前提、結論”. 演繹推理的正確與否取決于兩個前提的正確性，只有當大前提和小前提都正確時，才能得到正確的結論. 因此，教師應引導學生恰當運用演繹推理，更好地體驗數(shù)學中邏輯思維的作用.

【案例3】 “分數(shù)應用題”教學片段

例如，“一個食堂原有煤200噸，用去■，還剩多少噸？”推理的步驟如下：

師：要求還剩多少噸，必須知道什么條件？

生：要求還剩多少噸，必須知道原有的噸數(shù)和用去的噸數(shù).

師：這兩個條件哪個是已知的，哪個是未知的？怎么辦？

生1：這道題原有200噸已知，用去的噸數(shù)未知，所以，要先求出用去的噸數(shù).

生2：要求用去的噸數(shù)，必須知道原有的噸數(shù)和用去的占原有的幾分之幾.

生3：根據(jù)分數(shù)乘法的意義，求一個數(shù)的幾分之幾是多少用乘法計算，所以算式是200 × ■.

師：那現(xiàn)在會求還剩多少噸嗎？嘗試列式解答.

……

策略3：提供合適的推理素材，讓學生演繹.

解答簡單應用題時，根據(jù)問題找出所需的已知條件就是分析的過程，根據(jù)已知條件提出所能解的問題就是綜合的過程. 解答復合應用題時，分析、綜合就較為復雜. 先把復合應用題分解為幾個有聯(lián)系的簡單應用題，進一步分析解每個簡單應用題所需的已知條件，然后把已知條件成對地結合，連續(xù)地解答幾個簡單應用題，最后得到問題的答案.

在教學過程中，我們可以先讓學生猜或發(fā)現(xiàn)一個命題的內容，在完全作出證明之前，先提出自己的猜想，然后推測出證明的思路，繼而一次又一次地進行嘗試，在這一系列的過程中，讓學生進行演繹推理.

演繹推理能力是小學數(shù)學教育中需要注重培養(yǎng)的能力. 由于小學生的入學年齡是6歲左右，而畢業(yè)年齡是12歲左右，因此，小學數(shù)學中的邏輯推理應該從具體形象思維逐步向邏輯思維過渡. 特別是在高年級，更應重視邏輯推理能力的培養(yǎng)，以便更好地與初中數(shù)學教育相銜接.

四、合情推理——讓學生體驗數(shù)學魅力

合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結果的推理過程. 在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng).

【案例4】 “圓的周長”教學片段

師：如果測量圓的周長，比如就是你手中這個直徑為10厘米的圓，你會采用什么辦法？（小組討論，利用手中的工具幫忙）

生1：滾圓法，但要先做好記號，否則會不知道滾到哪里算好.

生2：我用繩圍圓一周，再打開就可以量出圓的周長了.

師：用你們的數(shù)學眼睛觀察這兩個圓，猜想一下圓的周長可能和誰有關系？

生：我估計和直徑有關系，因為我看到直徑長的圓就大，直徑短的圓小.

師：和直徑到底有怎樣的關系呢？

師：下面我們就一起來做個實驗（圖略）.

生：先實驗，再匯報.

師：觀察表中的數(shù)據(jù)你有什么發(fā)現(xiàn)？為什么有人算出的數(shù)據(jù)有3點幾、有2點幾的？

生：那是因為我們在量的時候誤差造成的.

師：大部分得出的數(shù)據(jù)是多少呢？

生：3點幾.

……

師：相機介紹圓周率的知識，讓學生正確認識π.

策略4：提供恰當?shù)耐评砬榫?，讓學生合情.

由于合情推理帶有較強的情境性、個體性，因此部分老師認為合情推理只要講道理、說得通就行. 其實，合情推理不是無根之本、無源之水，而是立足于學生已有知識經(jīng)驗和數(shù)學思考的，也要有一定根據(jù). 首先，要給學生提供合情的情境，讓學生在經(jīng)歷探索過程后在進行推理. 其次，要教給學生一定的合情推理方法，讓學生猜想或推測出可能的規(guī)律、結論. 第三，要鼓勵學生積極尋找猜想的依據(jù)，思考猜想的合理性和準確性，而不能滿足于已經(jīng)得出的結論.

總之，數(shù)學教學中對學生進行推理能力的培養(yǎng)，對于老師，能提高課堂效率，增加課堂教學的趣味性，優(yōu)化教學條件，提升教學水平和業(yè)務水平；對于學生，它不但能使學生學到知識，會解決問題，而且能使學生掌握在新問題出現(xiàn)時該如何應對的思想方法.