蘇烏利

摘??要：從分析一道直線與圓的題目中發(fā)現(xiàn)，該題常規(guī)的解法適合所有的圓錐曲線，是通性通法;從圓的對稱性來解題又是另外一番風(fēng)景，由對稱性引發(fā)的角平分線更是給這道解析幾何題帶來了更多精巧的解法，各種解法所涉及到的知識點(diǎn)也截然不同，因此一道題目中隱含的知識點(diǎn)可以不斷地深入挖掘。

關(guān)鍵詞：直線和圓;對稱;角平分線

中圖分類號：G632???????????????????文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B???????????????文章編號：1002-7661（2014）22-257-02

在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在高三復(fù)習(xí)階段，習(xí)題對于學(xué)生來說有著很高的價值。解析幾何是高考的重點(diǎn)，也是學(xué)生的難點(diǎn)，很多高三學(xué)生更是視解析幾何題為一大障礙，作為教師，如何把習(xí)題講透、如何引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘出習(xí)題的內(nèi)涵、如何幫助學(xué)生從不同的角度充分利用題目的已知條件來探索習(xí)題不同的解題方案是我們應(yīng)該關(guān)注的重點(diǎn)。在整個高三年的復(fù)習(xí)中，讓我印象深刻、體會最深的就是一道解析幾何的題目

題目：已知圓的方程，是否存在過點(diǎn)P（0，2）的直線與圓交于兩點(diǎn)且，若存在，求直線的方程;若不存在，請說明理由。

分析一：根據(jù)題目的已知條件

，很多同學(xué)想到

設(shè)而不求，由弦長公式入手這樣

的想法比較直接，看完題目就可

以作答，我們來看看這種法。

法一：①當(dāng)直線斜率不存在時，直線便是y軸，易得

圓與y軸的兩交點(diǎn)A（0，0）、B（0，-2），此時滿足

②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由得到

而，所以接下來便是把直線與圓的方程聯(lián)立，通過韋達(dá)定理得到和，通過求根公式得到便能求出的值。

反思一：這種方法常規(guī)容易想，不僅適合直線與圓的問題，更適合直線與橢圓的問題，有通法的感覺，過程涉及到的消元思想是解析幾何中的重要思想，所以在講解這道習(xí)題時，雖然存在運(yùn)算過程的繁瑣，但也應(yīng)詳細(xì)講解。

分析二：這道題目中的曲線是直線和圓，由圓的特殊對稱性入手，那么題目便簡單了許多，從法一中我們可以看到y(tǒng)軸是滿足條件的其中一條直線，根據(jù)圓的對稱性可知，還存在著另一條滿足條件的是y軸關(guān)于直線PC的對稱直線PM，也可認(rèn)為直線PC是的角平分線。

法二：根據(jù)求對稱直線的方法，在y軸上取原點(diǎn)（0，0），關(guān)于直線PC：的對稱點(diǎn)會落在直線PM上，把求對稱直線轉(zhuǎn)化為求對稱點(diǎn)

解得，從而由（，）和P（0，2）得到直線PM的方程是

反思二：換一個角度去想問題，根據(jù)圓的特性尋求更為簡便的解法，此解法涉及到的知識點(diǎn)便是求直線關(guān)于直線的對稱直線、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，但是對圖形的觀察也是至關(guān)重要，先得觀察發(fā)現(xiàn)到y(tǒng)軸是符合條件的其中一條直線，這是突破口。

法三：直線PC是的角平分線，點(diǎn)C（2，-1）到y(tǒng)軸的距離與到直線PM：的距離是相等的，所以解得

反思三：若能進(jìn)一步把問題挖深聯(lián)系所學(xué)知識，其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)對稱直線的問題也可以轉(zhuǎn)化為角平分線的問題，當(dāng)然若是角平分線的問題亦可以轉(zhuǎn)化為對稱直線的問題。從角平分線的知識來解決問題，便可以借助角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，問題就又再一步的簡化了。

法四：求直線時，已知直線上的一個點(diǎn)，我們只需確定斜率或者再求出直線上的一點(diǎn)即可，我們可以設(shè)直線PM與x軸的交點(diǎn)為M，因?yàn)?img alt="" height="15" src="file%A3%BA///C%A3%BA%A3%DCDOCUME%A1%AB1%A3%DCADMINI%A1%AB1%A3%DCLOCALS%A1%AB1%A3%DCTemp%A3%DCksohtml%A3%DCwps2D7.tmp.png" width="85">所以有解出

反思四：角平分線很多同學(xué)想到的是角度相等，而角度通常可以借用向量中數(shù)量積的知識來解決問題，解析幾何的很多題目涉及到平行、垂直、角度等用向量這個工具會給問題帶來巧妙的解法。

我們也會聯(lián)想到2010年安徽理科卷里面的第19題：已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)

F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率

（I）求橢圓E的方程;（II）求的角平分線所在直線的方程;

（III）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請找出;若不存在，說明理由.此題的解法也可用上面的法二、法三和法四來解決。

從不同的角度看問題，問題所涉及的知識點(diǎn)便不同，這樣可以使學(xué)生開拓視野，鍛煉自己分析問題、解決問題的能力，也鍛煉學(xué)生如何使用自己所學(xué)過的知識來解決問題。對解析幾何題的訓(xùn)練，我個人認(rèn)為題目不在于訓(xùn)練得多，而在與訓(xùn)練得透，每一道題目是否真正給學(xué)生講透，是否真正發(fā)揮出一道題目的真正價值所在才是重要的，讓學(xué)生多思考，大膽地運(yùn)算，鼓勵他們解題，只有增強(qiáng)他們對解析幾何的信心、引發(fā)他們對解析幾何的興趣才能從根本上提高學(xué)生在高考中解析幾何的得分。

反思三：若能進(jìn)一步把問題挖深聯(lián)系所學(xué)知識，其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)對稱直線的問題也可以轉(zhuǎn)化為角平分線的問題，當(dāng)然若是角平分線的問題亦可以轉(zhuǎn)化為對稱直線的問題。從角平分線的知識來解決問題，便可以借助角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，問題就又再一步的簡化了。

法四：求直線時，已知直線上的一個點(diǎn)，我們只需確定斜率或者再求出直線上的一點(diǎn)即可，我們可以設(shè)直線PM與x軸的交點(diǎn)為M，因?yàn)?img alt="" height="15" src="file%A3%BA///C%A3%BA%A3%DCDOCUME%A1%AB1%A3%DCADMINI%A1%AB1%A3%DCLOCALS%A1%AB1%A3%DCTemp%A3%DCksohtml%A3%DCwps2D7.tmp.png" width="85">所以有解出

反思四：角平分線很多同學(xué)想到的是角度相等，而角度通?？梢越栌孟蛄恐袛?shù)量積的知識來解決問題，解析幾何的很多題目涉及到平行、垂直、角度等用向量這個工具會給問題帶來巧妙的解法。

我們也會聯(lián)想到2010年安徽理科卷里面的第19題：已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)

F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率

（I）求橢圓E的方程;（II）求的角平分線所在直線的方程;

（III）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請找出;若不存在，說明理由.此題的解法也可用上面的法二、法三和法四來解決。

從不同的角度看問題，問題所涉及的知識點(diǎn)便不同，這樣可以使學(xué)生開拓視野，鍛煉自己分析問題、解決問題的能力，也鍛煉學(xué)生如何使用自己所學(xué)過的知識來解決問題。對解析幾何題的訓(xùn)練，我個人認(rèn)為題目不在于訓(xùn)練得多，而在與訓(xùn)練得透，每一道題目是否真正給學(xué)生講透，是否真正發(fā)揮出一道題目的真正價值所在才是重要的，讓學(xué)生多思考，大膽地運(yùn)算，鼓勵他們解題，只有增強(qiáng)他們對解析幾何的信心、引發(fā)他們對解析幾何的興趣才能從根本上提高學(xué)生在高考中解析幾何的得分。

反思三：若能進(jìn)一步把問題挖深聯(lián)系所學(xué)知識，其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)對稱直線的問題也可以轉(zhuǎn)化為角平分線的問題，當(dāng)然若是角平分線的問題亦可以轉(zhuǎn)化為對稱直線的問題。從角平分線的知識來解決問題，便可以借助角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，問題就又再一步的簡化了。

法四：求直線時，已知直線上的一個點(diǎn)，我們只需確定斜率或者再求出直線上的一點(diǎn)即可，我們可以設(shè)直線PM與x軸的交點(diǎn)為M，因?yàn)?img alt="" height="15" src="file%A3%BA///C%A3%BA%A3%DCDOCUME%A1%AB1%A3%DCADMINI%A1%AB1%A3%DCLOCALS%A1%AB1%A3%DCTemp%A3%DCksohtml%A3%DCwps2D7.tmp.png" width="85">所以有解出

反思四：角平分線很多同學(xué)想到的是角度相等，而角度通?？梢越栌孟蛄恐袛?shù)量積的知識來解決問題，解析幾何的很多題目涉及到平行、垂直、角度等用向量這個工具會給問題帶來巧妙的解法。

我們也會聯(lián)想到2010年安徽理科卷里面的第19題：已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)

F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率

（I）求橢圓E的方程;（II）求的角平分線所在直線的方程;

（III）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請找出;若不存在，說明理由.此題的解法也可用上面的法二、法三和法四來解決。

從不同的角度看問題，問題所涉及的知識點(diǎn)便不同，這樣可以使學(xué)生開拓視野，鍛煉自己分析問題、解決問題的能力，也鍛煉學(xué)生如何使用自己所學(xué)過的知識來解決問題。對解析幾何題的訓(xùn)練，我個人認(rèn)為題目不在于訓(xùn)練得多，而在與訓(xùn)練得透，每一道題目是否真正給學(xué)生講透，是否真正發(fā)揮出一道題目的真正價值所在才是重要的，讓學(xué)生多思考，大膽地運(yùn)算，鼓勵他們解題，只有增強(qiáng)他們對解析幾何的信心、引發(fā)他們對解析幾何的興趣才能從根本上提高學(xué)生在高考中解析幾何的得分。