朱衛(wèi)明

[摘 要]課堂教學(xué)中，教師應(yīng)基于圖形直觀滲透模型思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。通過(guò)對(duì)教學(xué)案例的反思與分析，教師要善于因人而異、因時(shí)制宜、因材施教，引導(dǎo)學(xué)生逐步積累借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，掌握建模的方法。

[關(guān)鍵詞]圖形直觀 模型思想 數(shù)學(xué)思維

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）02-020

案例：

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)P67第13題（如下圖），求小玲家離學(xué)校多少米。

為了解學(xué)生利用圖形直觀解決問(wèn)題的實(shí)際能力，在期末復(fù)習(xí)中，我讓學(xué)生練習(xí)這道題，然而練習(xí)的反饋情況并不樂(lè)觀。學(xué)生錯(cuò)誤情況的分類統(tǒng)計(jì)如下：①700-400（5人）；②700+500（6人）；③500+400（6人）；④700+400+500（3人）；⑤400+700+500-400（2人）；⑥700-400+700-400（1人）。通過(guò)與出錯(cuò)學(xué)生的交流，我了解到了他們真實(shí)的思考過(guò)程，并分析了他們產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：一是不能正確讀圖，不了解線段所表示的真正含義；二是沒(méi)有圖文結(jié)合，將“求小玲家離學(xué)校多少米”簡(jiǎn)單理解成“求大生家到學(xué)校的路程；三是從線段圖中提煉不出正確的數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)致解決問(wèn)題時(shí)想到哪算到哪。那么，該怎樣引導(dǎo)學(xué)生讀懂線段圖，領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，積累借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，形成解決問(wèn)題的策略呢？我設(shè)計(jì)如下的教學(xué)過(guò)程。

一、從現(xiàn)實(shí)情景中抽象

師：我們班有男生25人、女生24人，我們班一共有學(xué)生——

生：49人。

師：你能畫(huà)圖表示出這些數(shù)量嗎？（通過(guò)比較，學(xué)生一致認(rèn)為在數(shù)量比較多時(shí)，畫(huà)線段圖表示比較簡(jiǎn)單、便捷）

師（在黑板上畫(huà)線段圖，略）：你能指出男生人數(shù)、女生人數(shù)、全班人數(shù)對(duì)應(yīng)的線段嗎？（師根據(jù)學(xué)生的回答，在圖中板書(shū)各種名稱和數(shù)量）

師：相對(duì)于男生、女生人數(shù)來(lái)說(shuō)，全班人數(shù)比較——（多）那求全班人數(shù)用——

生：加法，即男生人數(shù)+女生人數(shù)。

師：和全班人數(shù)比，男生或女生人數(shù)比較——（少）那求男生或女生人數(shù)用——

生：減法。

師（擦去線段圖上的文字說(shuō)明，寫上序號(hào)，如下圖）：我們今后解決問(wèn)題時(shí)，會(huì)經(jīng)常用到這樣的線段圖。如果要求線段③所表示的較大數(shù)時(shí)，可以怎樣算？

生：用加法。

師：要求線段①或線段②表示的較小數(shù)呢？

生：用減法。

師：下面請(qǐng)同桌之間相互指出線段圖中的較大數(shù)或較小數(shù)，再說(shuō)一說(shuō)求這個(gè)數(shù)的計(jì)算方法，看誰(shuí)說(shuō)得正確、流利。

……

二、在舉一反三中鞏固

根據(jù)相關(guān)的數(shù)量，說(shuō)出數(shù)量關(guān)系式。

（1）全班人數(shù)、會(huì)游泳人數(shù)、不會(huì)游泳人數(shù)，（ ）+（ ）=（ ）。

（2）書(shū)的總頁(yè)數(shù)、已看頁(yè)數(shù)、剩下頁(yè)數(shù)，（ ）+（ ）=（ ）。

（3）原來(lái)本數(shù)、借出本數(shù)、現(xiàn)在本數(shù)，（ ）+（ ）=（ ）。

（4）原來(lái)人數(shù)、下車人數(shù)、現(xiàn)在人數(shù)，（ ）+（ ）=（ ）。

（5）原來(lái)人數(shù)、上車人數(shù)、現(xiàn)在人數(shù)，（ ）+（ ）=（ ）。

生1：第（5）題答案為“現(xiàn)在人數(shù)+上車人數(shù)=原來(lái)人數(shù)”。

師：有不同意見(jiàn)嗎？

生2：我認(rèn)為應(yīng)該是“原來(lái)人數(shù)+上車人數(shù)=現(xiàn)在人數(shù)”。

師：第（4）題是“下車人數(shù)+現(xiàn)在人數(shù)=原來(lái)人數(shù)”，這道題為什么不一樣呢？你能到講臺(tái)上指著黑板上的線段圖，向大家說(shuō)說(shuō)你的想法嗎？

生3（邊指邊說(shuō)）：第（4）題中是“下車”，指有人下車了，那現(xiàn)在車上的人數(shù)就比原來(lái)少了；而第（5）題中是“上車”，有人上車后，車上的人變多了，所以“現(xiàn)在人數(shù)”才是較大數(shù)，求較大數(shù)用加法。

師：同學(xué)們同意他的觀點(diǎn)嗎？（同意）是的，生活中有些數(shù)量關(guān)系看起來(lái)相同，可實(shí)際上卻并不一樣。我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，如果遇到困難，可以借助線段圖來(lái)明晰這些數(shù)量間的關(guān)系。在我們的生活中，還有很多數(shù)量關(guān)系也能用這樣的線段圖來(lái)表示，你們能舉出這樣的例子嗎？

……

三、在運(yùn)用過(guò)程中發(fā)展

1.再次完成教材中的第13題

師：你能從圖中了解到哪些數(shù)學(xué)信息？要解決什么問(wèn)題呢？ （學(xué)生思考后，師指名匯報(bào)）

師（指著小玲家離學(xué)校的路程對(duì)應(yīng)的線段）：要求這段路程，是求較大數(shù)還是較小數(shù)呢？應(yīng)該怎樣算？先在自己的練習(xí)紙上指一指、說(shuō)一說(shuō)，然后在四人小組內(nèi)交流。

生1：我們把它看成較大數(shù)，用學(xué)校到大生家的長(zhǎng)度（路程）加上大生家到小玲家的長(zhǎng)度（路程）。

師：那該怎樣計(jì)算呢？

生1：700-400=300（米），300+500=800（米）。

師：你剛才說(shuō)把它看成較大數(shù)，用加法，為什么列式的時(shí)候先減呢？

生1：因?yàn)轭}中沒(méi)有告訴我們學(xué)校到大生家的路程。

師：你能上來(lái)指著圖，解釋給大家聽(tīng)嗎？

生1（隨手拿過(guò)旁邊的黑板貼，把“500米”遮住，如下圖）：和小軍家到大生家的路程相比，學(xué)校到大生家的長(zhǎng)度是較小數(shù)，先用700-400=300（米）。

師：然后呢？

生1（把黑板貼移到左邊，如下圖）：再求較大數(shù)，即300+500=800（米）。

師：他的想法對(duì)嗎？（學(xué)生點(diǎn)頭認(rèn)同）有不同的想法嗎？

生2：我把小玲家離學(xué)校的長(zhǎng)度看成較小數(shù)，用小軍家到小玲家的長(zhǎng)度-小軍家到學(xué)校的長(zhǎng)度，列式式為700+500-400。

師：他的說(shuō)法對(duì)嗎？（生無(wú)異議）剛才兩位同學(xué)的解答方法雖然不同，但都是在理解題目意思的基礎(chǔ)上，結(jié)合線段圖提煉出了正確的數(shù)量關(guān)系，并且找準(zhǔn)其中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)。（板書(shū)：一找數(shù)量關(guān)系；二要找準(zhǔn)數(shù)據(jù)）在求小玲家離學(xué)校的路程時(shí)，有同學(xué)列出了以下的算式，你能找出其中的錯(cuò)誤嗎？

①700-400 ②700+500 ③500+400

④700+400+500 ⑤400+700+500-400

……

2.鞏固練習(xí)

（1）如下圖，張麗家到劉陽(yáng)家有285米，到學(xué)校有485米。李乙家到學(xué)校有360米，到劉陽(yáng)家有多少米？到張麗家呢？（課本P82第6題）

（2）一趟從上海開(kāi)往南京的列車共有610個(gè)座位，其中一等座51個(gè)，其余的是二等座。列車出發(fā)時(shí)有498位乘客坐二等座，二等座還有多少個(gè)空座位？（課本P83第11題）

鴨蛋和雞蛋一共有多少個(gè)？（課本P67第18題）

（4）白云小學(xué)六年級(jí)訂《科學(xué)畫(huà)報(bào)》205份，五年級(jí)比六年級(jí)少訂67份，四年級(jí)比五年級(jí)少訂39份。四年級(jí)訂了多少份？（課本P79第5題）

……

反思：

幾何直觀對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幫助是顯而易見(jiàn)的，然而“是否真正理解了幾何直觀的數(shù)學(xué)意義”“是否能從解決問(wèn)題的需要出發(fā)找到合適的直觀模型”等一系列問(wèn)題，是學(xué)生解決問(wèn)題過(guò)程中經(jīng)常遇到的障礙。在日常教學(xué)中，特別是低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，不少教師認(rèn)為該學(xué)段學(xué)生遇到的問(wèn)題大多是生活化、圖形化的直觀題，沒(méi)有必要進(jìn)行畫(huà)圖的操作，因?yàn)檫@樣既費(fèi)力費(fèi)時(shí)，效率又不高。然而，以上復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)的緣由和經(jīng)歷卻讓我深有感觸。

1.簡(jiǎn)單中的不簡(jiǎn)單

期末復(fù)習(xí)中讓學(xué)生練習(xí)前，我簡(jiǎn)單地認(rèn)為題目中已經(jīng)畫(huà)出了線段圖，并填上了部分?jǐn)?shù)學(xué)信息，數(shù)據(jù)也比較簡(jiǎn)單，學(xué)生只要找到所求問(wèn)題對(duì)應(yīng)的線段，就能正確、快速地解決問(wèn)題了。而且，這道題在之前新課學(xué)習(xí)中已經(jīng)練習(xí)過(guò)，絕大部分學(xué)生應(yīng)該熟悉這道題的思考過(guò)程。然而，學(xué)生將近一半的錯(cuò)誤率還是讓我倒吸了一口冷氣。在調(diào)查錯(cuò)誤原因和靜心分析后，我深深地認(rèn)識(shí)到這道題不簡(jiǎn)單。加減法相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題在一、二年級(jí)每個(gè)學(xué)期都有練習(xí)，只是數(shù)的大小不同而已。學(xué)生對(duì)于加、減法意義的認(rèn)識(shí)或源于對(duì)題目中關(guān)鍵詞的理解，或借助對(duì)一個(gè)個(gè)圖像組成的模型的觀察，有時(shí)還通過(guò)手勢(shì)的分與合來(lái)表示減和加。而以線段圖形式出現(xiàn)的兩地之間的距離問(wèn)題顯然不太容易激發(fā)學(xué)生對(duì)已有模型產(chǎn)生聯(lián)想，他們不清楚如何用已理解掌握的數(shù)學(xué)模型去解釋圖中所呈現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系。因此，幫助學(xué)生建立基于線段圖的求和模型，理解圖中所呈現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系，也就成了本節(jié)課教學(xué)的主要任務(wù)。在教學(xué)開(kāi)始階段，我通過(guò)比較讓學(xué)生明白在數(shù)量比較多時(shí)畫(huà)線段圖表示比較簡(jiǎn)單，既使他們感悟到線段圖直觀的獨(dú)特價(jià)值，又在潛移默化中引導(dǎo)學(xué)生將單個(gè)圖形組成的求和模型進(jìn)一步抽象為線段圖形式的求和模型，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力得到了發(fā)展。

2.不簡(jiǎn)單中的簡(jiǎn)單

“模型思想作為一種思想，要真正使學(xué)生有所感悟，需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。”為了完成這個(gè)不簡(jiǎn)單的任務(wù)，教師要堅(jiān)持做好一件“簡(jiǎn)單”的事，那就是以嚴(yán)謹(jǐn)、務(wù)實(shí)的態(tài)度關(guān)注每天的教學(xué)反饋，不斷反思、改進(jìn)自己的教學(xué)行為，將模型思想的滲透進(jìn)行到底。本課教學(xué)中，在調(diào)查分析學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因后，我以線段圖式求和模型的建立、理解、運(yùn)用為主線，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)思考。在運(yùn)用模型解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生為了說(shuō)清自己所提煉的數(shù)學(xué)模型，竟然想到了用黑板貼遮住無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)信息，形象且巧妙地將較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為已經(jīng)認(rèn)識(shí)與理解的求和模型。這里蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想，不僅讓我感嘆于學(xué)生解決問(wèn)題的靈活性，而且讓我驚訝于學(xué)生在思考過(guò)程中所呈現(xiàn)的創(chuàng)造力。

數(shù)學(xué)思想的建立和運(yùn)用看似抽象，卻真實(shí)地存在于我們的課堂上，滲透于問(wèn)題解決的過(guò)程之中。作為數(shù)學(xué)教師，要善于因人而異、因時(shí)制宜、因材施教，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中逐步積累經(jīng)驗(yàn)，掌握建模方法，形成運(yùn)用模型進(jìn)行思維的習(xí)慣，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 杜 華）