藺守臣

摘要：通過應(yīng)用微積分知識解決物理量的變化率、電容器充放電以及運動學(xué)變量求解等問題，同時結(jié)合具體的實例來探討求證，為解決一些初等物理問題提供了一些新的思路，體現(xiàn)了微積分在物理學(xué)中的作用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 微分 積分 定積分

高等數(shù)學(xué)中的微積分不僅是一些計算公式，更包含了一種數(shù)學(xué)思想。微分的思想就是“無限細分”，而積分的思想就是“無限求和”。其中的“無限”便是極限，極限是用運動的思想分析和解決問題，是微積分思想的基礎(chǔ)。正因如此，微積分在生活中各個領(lǐng)域、各個學(xué)科中都有越來越廣泛的應(yīng)用。

一、導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)是指當(dāng)自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率。

1.物理量的變化率求解

變加速直線運動中，有位移、時間、速度、加速度等物理量，而加速度就是速度的變化率。解決這類問題較為直觀的是利用v-t圖像，加速度a就是圖像的斜率（即a=△v/△t），面積便是位移s，而圖像的斜率和面積是幾何意義上的微積分。

3.積分

積分是微分的逆運算，在實際應(yīng)用中，被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積。

仍以引子中電容器的問題為例，如果把從0到t時間內(nèi)的△q加起來，用求和符號“∑”表示，則有：q=∑i△t。因為t=N△t，當(dāng)△t取無窮小時，i△t便有N→∞個，因此要把無窮個i△t進行相加，方便起見，可以用微積分符號idt表示q=lim∑i△t=idt，稱為對i在時間上求積分。

這樣做的意義在于：從i-t圖像上看，q=limt∑i△t=idt就是i-t圖像中的面積。若是恒定電流，△q=i△t，即小塊矩形面積；若為變化的電流，用△q=i△t來計算，發(fā)現(xiàn)有一小塊近似三角形面積的誤差，但是當(dāng)△t取無窮小時，該誤差會無限接近為零，可以忽略不計，計算的面積無限接近于實際面積。

4.定積分

定積分就是求函數(shù)f（X）在區(qū)間[a，b]中圖線下包圍的面積。即由y=0，x=a，x=b，y=f（X）所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形，可以通過以下幾個小例子看到定積分在物理學(xué)中的作用：

（1）勻變速直線運動位移問題

研究勻變速直線運動時，可以把時間無限細分。在每一份時間內(nèi)，速度的變化量非常小，小到幾乎可以忽略，認為物體在做勻速直線運動，根據(jù)已有知識位移可求；接下來把所有時間內(nèi)的位移相加，即“無限求和”，則總的位移可以知道。由此可以理解，物體在變速直線運動時候的位移等于速度時間圖像與時間軸所圍成圖形的面積。

（2）變力做功問題

變力做功問題不能直接利用公式，可以把位移無限細分，在每一份位移上，幾乎可以看作是恒力做功，根據(jù)公式算出力所作的功，再無限求和，即求積分，就可以求出變力做的總功。

綜上所述，利用微積分的一些思想、觀點、原理和方法，可以拓展解題思路，從更深刻的層面理解物理規(guī)律，使得繁瑣的解題過程更加清晰。微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用還很多，值得做更多更深入的探究和考證。

參考文獻：

[1]李長明，周煥山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]田載今，李海東.關(guān)于高中物理教科書中位移公式推導(dǎo)的一點說明[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2007.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊，第3版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]李長明，周煥山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，2012.