☉北京市豐臺(tái)二中 甘志國(guó)

編擬習(xí)題時(shí)應(yīng)注意問(wèn)題的存在性

☉北京市豐臺(tái)二中 甘志國(guó)

例1若正三棱錐P-ABC的側(cè)面積、體積分別為12、4，求點(diǎn)A到面PBC的距離.

常規(guī)解法：可求得該正三棱錐的側(cè)面PBC的面積是4，由等體積法可求得點(diǎn)A到面PBC的距離為3.

筆者的分析：此解答正確嗎？請(qǐng)看下面一個(gè)定理.

定理1設(shè)正n（n∈N*，n≥3）棱錐的側(cè)面積、體積分別是S、V，側(cè)面與底面所成的角是

從而可得結(jié)論（1）成立.

（2）同結(jié)論（1）的證明法可得.

由定理1可知例1是道錯(cuò)題：當(dāng)正三棱錐的側(cè)面積是12時(shí)，體積的取值范圍是當(dāng)正三棱錐的體積是4時(shí)，側(cè)面積的取值范圍是

我們?cè)诰帞M習(xí)題時(shí)，應(yīng)注意問(wèn)題的存在性.

例2一個(gè)等比數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則am+1=____.

常規(guī)解法：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比是q，得a1a3a5…a2m+1=

筆者的分析：早在2006年5月21日，網(wǎng)絡(luò)上就出現(xiàn)了這道題，并給出了其解法（即以上常規(guī)解法）；筆者也曾把這道題選入專(zhuān)著《教材教法》（甘志國(guó)著，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014）第454頁(yè)（答案在第482頁(yè)）.

近日筆者才發(fā)現(xiàn)例2也是道錯(cuò)題.

由題設(shè)知am+1m+1=100，am+1m=120，所以100m=120m+1（m∈N*）.而顯然有100m＜120m+1（m∈N*），所以滿足題意的數(shù)列｛an｝不存在，即原題是道錯(cuò)題.

即使把例2中的“100”與“120”互換，滿足題意的數(shù)列｛an｝仍不存在.因?yàn)?20m=100m+1（m∈N*）也不會(huì)成立，該等式左邊有約數(shù)3，而右邊沒(méi)有；該等式右邊有約數(shù)52m+2，而左邊沒(méi)有.

說(shuō)明編擬例2這樣的習(xí)題時(shí)，一定要慎重：要注意滿足題設(shè)的數(shù)列是否存在.

定理2（1）若一個(gè)各項(xiàng)都是復(fù)數(shù)的等差數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之和為b，偶數(shù)項(xiàng)之和為c，則存在這樣的等差數(shù)列｛an｝的充要條件是b=c=0（且此時(shí)有a1=-md，d是等差數(shù)列｛an｝的公差，下同）或且此時(shí)有a1=b-c-md）；當(dāng)這樣的等差數(shù)列｛an｝存在時(shí)，am+1=b-c.

（2）若一個(gè)各項(xiàng)都是復(fù)數(shù)的等比數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為b，偶數(shù)項(xiàng)之積為c（bc≠0），則這樣的等比數(shù)列｛an｝存在的充要條件是當(dāng)這樣的等比數(shù)列｛an｝存在時(shí)，

進(jìn)而可得欲證成立.

改編題1（1）若一個(gè)等差數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和均為0，則am+1=_______；

（2）若一個(gè)等差數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為10，則am+1=_______；

（3）滿足“一個(gè)等差數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之和為16，偶數(shù)項(xiàng)之和為10”的數(shù)列｛an｝是否存在？

答案：（1）0.數(shù)列｛an｝是存在的，比如2，1，0，-1，-2.

（2）5.數(shù)列｛an｝是存在的，比如1，3，5，7，9.

改編題2（1）若一個(gè)等比數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之積均為1，則am+1=_______；

（2）若一個(gè)等比數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為729，偶數(shù)項(xiàng)之積為81，則am+1=_______；

（3）若一個(gè)等比數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為-1，偶數(shù)項(xiàng)之積為1，則am+1=_______；

（4）若一個(gè)等比數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為1，偶數(shù)項(xiàng)之積為-i，則am+1=_______；

（5）滿足“一個(gè)等比數(shù)列｛an｝共有2m+1（m∈N*）項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為1，偶數(shù)項(xiàng)之積為2”的數(shù)列｛an｝是否存在？

答案：（1）1.數(shù)列｛an｝是存在的，比如1，-1，1，-1，1.

（2）9.數(shù)列｛an｝是存在的，比如1，3，9，27，81.

（3）-1.數(shù)列｛an｝是存在的，比如-1，1，-1，1，-1或1，i，-1，-i，1.

（4）i.數(shù)列｛an｝是存在的，比如i，i，i，i，i，i，i或-1，-i，1，i，-1，-i，1.

例3（2008年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）第13題）已知a為正數(shù)，定義運(yùn)算“?”如下：對(duì)于任意的m，n∈N*，若m?n=a，則（m+1）?n=2a，m?（n+1）=a+1.當(dāng)1?1=1時(shí)，則1?10=_______，5?10=_______.

常規(guī)解法：由題設(shè)得1?（n+1）-1?n=1，即｛1?n｝是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，得1?n=n，所以1?10=10.

由已知可得（m+1）?10=2［m?10］，即｛m?10｝是首項(xiàng)為10、公比為2的等比數(shù)列，得m?10=10·2m-1，所以5?10=160.

筆者的分析：因?yàn)閙?（n+1）-m?n=1，即｛m?n｝是首項(xiàng)為m?1、公差為1的等差數(shù)列，得m?n=（m?1）+n-1.①

在①中令m=1，得1?n=n.②

還可得（m+1）?n=2［m?n］，由此可得m?n=（1?n）· 2m-1.③

在③中令n=1，得m?1=2m-1.④

由①④及②③，分別得m?n=2m-1+n-1，⑤

m?n=n·2m-1.⑥

⑤⑥顯然是兩種不同的答案：由⑤得5?10=25，由⑥得5?10=160.

即例3是道錯(cuò)題.

改編題3（1）已知a為正數(shù)，定義運(yùn)算“?”如下：對(duì)于任意的m，n∈N*，若m?n=a，則（m+1）?n=a+2，m?（n+1）=a+1.當(dāng)1?1=1時(shí)，求證：m?n=2m+n-2.

（2）已知a為正數(shù)，定義運(yùn)算“?”如下：對(duì)于任意的m，n∈N*，若m?n=a，則（m+1）?n=2a，m?（n+1）=3a.當(dāng)1?1=1時(shí)，求證：m?n=2m-1·3n-1.

例4（2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷B第5題）若△ABC的角A、C滿足5（cosA+cosC）+4（cosAcosC+1）=0，則tan

例5（東北育才等遼寧五校2011-2012學(xué)年度上學(xué)期期末高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（理）第12題）已知f（x）為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足f（x）＜f′（x），且f（x-1）為偶函數(shù)，f（-2）=1，則不等式f（x）＜ex的解集為（）.

A.（0，+∞）B.（-∞，0）C.（e4，+∞）D.（-∞，e4）

常規(guī)解法：由f（x-1）為偶函數(shù)，f（-2）=1，可得f（0）=1.在R上為增函數(shù).所以不等式f（x）＜ex，即的解集為（-∞，0）.故選B.

筆者的分析：本題也是一道錯(cuò)題.因?yàn)榭勺Cf（x）＜0（x∈R）.

由g（x）=f（x-1）為偶函數(shù)可證得g′（x）=f′（x-1）為奇函數(shù).

又由f（x）＜f′（x），得f（x-1）＜f′（x-1），f（-x-1）＜f′（-x-1）.

相加，得2f（x-1）＜0，f（x-1）＜0，即f（x）＜0（x∈R）.

即滿足題設(shè)及四個(gè)選項(xiàng)之一的函數(shù)f（x）不存在.

例6已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意的x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①f（0）=0；②f（x），則

筆者的分析：這是某資料上的一道題，筆者發(fā)現(xiàn)它也是一道錯(cuò)題.

條件②即f（3x）=2f（x），由此可得f（3-3x）=2f（1-x）.兩式相加后，用條件③，得f（3x）+f（3-3x）=2，即f（x）+f（3-x）=2.再由條件③，得f（3-x）-f（1-x）=1，即f（x+2）=f（x）+1.

在原解法中已求得f（1）=1，再由f（x+2）=f（x）+1可求得f（3）=2，f（5）=3，f（7）=4，f（9）=5.

另一方面，由f（1）=1及f（3x）=2f（x）可求得f（3）=2，f（9）=4.

前后矛盾！所以例6是道錯(cuò)題.因?yàn)闈M足題設(shè)的函數(shù)f（x）不存在.

筆者的分析：這道題目是馬茂年主編的《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽實(shí)戰(zhàn)演練·高一分冊(cè)》（浙江大學(xué)出版社，2007年第2版）第75頁(yè)第6題（解答在第168頁(yè)），它也是道錯(cuò)題.錯(cuò)在沒(méi)有注意問(wèn)題的存在性.

而sin6α+cos6α=（sin2α）3+（cos2α）3＜13+13=2，所以3＜2，這不可能！所以原題是道錯(cuò)題.出錯(cuò)的原因是題設(shè)中的一個(gè)未知數(shù)α的兩個(gè)方程是不相容的，這樣的α不存在.

例8設(shè)｛an｝是一個(gè)各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若S10=10，S30=70，則S40=（）.

A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-500

常規(guī)解法：設(shè)S20=x，S40=y.由｛an｝是一個(gè)等比數(shù)列，得S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30為等比數(shù)列.

所以（x-10）2=10·（70-x），（70-x）2=（x-10）（y-70）.

得（x，y）=（30，150），（-20，-200）.

所以答案為C.

筆者的分析：上述解答錯(cuò)誤，正確解法如下.

把這兩式相除，得1+q10+q20=7，即（q10-2）（q10+3）=0，所以q10=2.再得150.故正確答案為A.

還可驗(yàn)證，滿足題設(shè)的數(shù)列有且僅有兩個(gè)：an=

原解答的錯(cuò)誤原因是：S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30是公比為正數(shù)q10的等比數(shù)列，當(dāng)x=30時(shí)，數(shù)列S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30為10，20，40，80，得公比q10=2＞0，所以S40=y= 150；當(dāng)x=-20時(shí)，數(shù)列S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30為10，-30，90，-270，公比q10=-3＜0，因此S40=y=-200應(yīng)舍去.所以正確答案為A.

若把題設(shè)中的“實(shí)數(shù)”改成“復(fù)數(shù)”，則正確答案為C（且滿足題設(shè)的數(shù)列有且僅有10個(gè)）.

例9已知f（x）是偶函數(shù)，且f（1）=993，g（x）=f（x-1）是奇函數(shù)，求f（2005）的值.

常規(guī)解法：由f（x-1）是奇函數(shù)，得f（-x-1）=-f（x-1），即f（x）=-f（-x-2）.

又f（x）是偶函數(shù)，得f（x）=-f（-x-2）=-f（x+2），所以f（x+2）=-f（x）.由此可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.

所以f（2005）=f（1）=993.

筆者的分析：此題在網(wǎng)絡(luò)上出現(xiàn)頻繁，并給出了其解法（即以上常規(guī)解法）；筆者也曾把這道題選入專(zhuān)著《教材教法》（甘志國(guó)著，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014）第452頁(yè)（答案在第482頁(yè)）.

近日筆者才發(fā)現(xiàn)例9也是道錯(cuò)題：

由g（x）=f（x-1）是奇函數(shù)，得g（0）=f（-1）=0.再由f（x）是偶函數(shù)，得f（1）=0，這與題設(shè)“f（1）=993”矛盾！說(shuō)明滿足題設(shè)的函數(shù)f（x）不存在.修改建議：把題設(shè)中的“且f（1）=993”去掉.修改之后的答案為“0”.