張兵

題目（2012年全國卷（二）第22題）：

函數(shù)f（x）=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}如下：

x1=2，xn+1是過兩點(diǎn)P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（Ⅰ）證明：2≤xn

（Ⅱ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

原解答首先用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中不等式，然后通過構(gòu)造新數(shù)列bn=xn-3得到一個(gè)等比數(shù)列從而求出了通項(xiàng)公式.筆者經(jīng)過思考，認(rèn)為既然題目要求出通項(xiàng)公式，那么就沒有必要用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的不等式了，直接對(duì)通項(xiàng)公式證明不等式應(yīng)當(dāng)更直截了當(dāng).另外，原解答中為什么要令bn=xn+3，無法向?qū)W生解釋清楚.文獻(xiàn)用特征根的方法進(jìn)行完整的論證，講清了bn=xn+3的來歷，問題是面對(duì)這種求通項(xiàng)公式的問題，只有用特征根法才能講清楚嗎？

筆者在做此題時(shí)，一個(gè)想法是將遞推公式逐步化簡再進(jìn)行代換.

完全沒有必要用數(shù)學(xué)歸納法.

這個(gè)方法可以說自然流暢，水到渠成，沒有任何難解之處，其中最漂亮的一步是

yn+1=6-5yn中將6改寫成5+1，從而得到y(tǒng)n+1-1=51-1yn.這個(gè)方法也不是無源之水，它來自于下面一題：

再作代換，等等.比較一下，會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩題本質(zhì)是相同的.一套戰(zhàn)術(shù)組合看似復(fù)雜，其實(shí)每一步都是必然的，毫無技巧可言.相信經(jīng)過高三綜合訓(xùn)練的同學(xué)都會(huì)做這道題，那么在做上面一題時(shí)應(yīng)當(dāng)能產(chǎn)生聯(lián)想.調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)儲(chǔ)備，使解題變得簡單、自然、順暢，這是一種解題智慧.

【參考文獻(xiàn)】

沿廷武.巧設(shè)特征方程，妙解數(shù)列通項(xiàng)[J].數(shù)學(xué)通訊，2012年第11，12期（上半月）.