陳小燕

【摘要】不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一大重頭戲，也是不少學(xué)生學(xué)習(xí)上的攔路虎，以數(shù)學(xué)思想來闡釋不等式，是高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)的重要途徑.

【關(guān)鍵詞】不等式；高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想

不等式是高中教學(xué)的一大重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考考查的對象，占總分值約六分之一.提及不等式，不少高中生都會心生恐懼，辛辛苦苦解出來的答案，卻動不動就是錯的，解題過程還貌似非常合理，可答案就是不對.對于老師來說，好像無論怎么費(fèi)力氣，學(xué)生仍舊在不等式章節(jié)找不到門路，要不就是記不清公式，要不就是公式亂用，要不就是面對不等式的題目一籌莫展.究其原因，是高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，沒有利用數(shù)學(xué)思想來闡釋不等式.

一、循序漸進(jìn)地引入不等式概念

對于不等式的概念中所包含的數(shù)學(xué)思想，很少有教師會詳細(xì)地講到，大部分老師是根據(jù)教學(xué)參考書、教學(xué)大綱上的安排，直接進(jìn)入本章節(jié)的講解.筆者認(rèn)為，引入不等式的概念一定要循序漸進(jìn)，欲速則不達(dá).在接觸不等式知識之前，學(xué)生習(xí)慣于用等于號來連接式子的兩邊，突如其來的大于、小于讓他們有些難以適應(yīng).此時，我們可以讓學(xué)生體會一下，世上的萬物都有兩個方面：正面和反面.對于數(shù)學(xué)來講，數(shù)學(xué)中既包含等式，也包含不等式.學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候，難免會有種歧視不等式的心理，認(rèn)為是數(shù)學(xué)界中不和諧的因素.其實(shí)，不等式也是數(shù)學(xué)的一種表達(dá)方式，它以一種看似確定的形式，描述了一種不確定的、無窮的數(shù)學(xué)狀態(tài).比如我們描述“比1大的數(shù)”，這樣的數(shù)是有無數(shù)個的，無窮盡的時候，我們會用一種簡單的方式來表達(dá)，即x>1，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)比一一列舉的方法來得簡單、實(shí)際，也貼近可能，這也是不等式存在的意義和魅力.

所以，筆者建議，高中數(shù)學(xué)教師在不等式章節(jié)講解的時候，以平緩的方式引入不等式概念，這樣不會顯得太突兀，也會讓學(xué)生糾正對不等式不正確的認(rèn)識，以包容的思想、正確的態(tài)度來看待不等式，這才是學(xué)習(xí)不等式應(yīng)有的心態(tài).

二、解不等式過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想

為了幫助學(xué)生掌握好不等式的解法，數(shù)學(xué)老師可謂是嘔心瀝血總結(jié)了很多的口訣和技巧.比如：“解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì).對指無理不等式，化為有理不等式.高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價.數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大.證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大.求差與0比大小，作商和1爭高下.直接困難分析好，思路清晰綜合法.非負(fù)常用基本式，正面難則反證法.還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法.圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構(gòu)造法.”

對于這些口訣技巧，學(xué)生能掌握自然更好，不能掌握的時候，我們不能讓學(xué)生死記硬背，背誦的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是萬萬不可取的.我們只有掌握了這些不等式推導(dǎo)的來龍去脈，這些不等式才不會被忘記.

以最簡單的不等式，如果a和b都為正數(shù)，那么a2與b2的和大于等于2ab為例.為什么這個不等式恒成立？不少的學(xué)生會犯嘀咕，在老師講解的時候，學(xué)生會偷偷地代入幾個數(shù)，檢驗(yàn)一下不等式是否成立.每一個恒成立的等式后面，都有一個最簡單、最基本的數(shù)學(xué)概念.在這個不等式中，就是任意一個數(shù)的平方都是大于等于0的.我們在不等式兩邊同時加上一個2ab，依據(jù)不等式的性質(zhì)，不等號的方向不變.此時左邊就是一個完全平方（a+b）2的展開式，右邊就變?yōu)?ab，因?yàn)閍，b都是正數(shù)，兩邊同時開方，不等號的方向依然不變，因此就得到了我們要的正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，不小于幾何平均數(shù)的基本不等式概念.這個不等式所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是源于最基本的（a+b）2不小于零，把a(bǔ)+b當(dāng)作一個整體來看.有了這個基本不等式最詳細(xì)的推導(dǎo)，學(xué)生明白了其中的來龍去脈，他們因此也會深信不疑，運(yùn)用基本不等式解題的時候也會信心滿滿，不會擔(dān)心有錯誤.

三、不等式中包含的數(shù)學(xué)思想

不少高中教師在講解不等式章節(jié)的知識的時候，容易將不等式孤立起來.其實(shí)，不等式就是一個簡單的函數(shù)，既然是函數(shù)，就要迅速讓學(xué)生聯(lián)想起來函數(shù)的定義域、值域等基本因素.尤其是要培養(yǎng)學(xué)生遇到根號下的整式、分式下的分母、底數(shù)函數(shù)等不等式的時候，腦海中的第一個念頭就是先求出這些數(shù)學(xué)因子的定義域，在此范圍下才能去尋求不等式的解.

充分考慮各種因素，形成嚴(yán)密科學(xué)的數(shù)學(xué)思維，是讓高中生掌握數(shù)學(xué)歸納法、分類討論法的基本數(shù)學(xué)要素.而不等式就是這樣，在沒有考慮分母、底數(shù)函數(shù)、根號下整式是否有意義的條件下，盲目地尋求不等式的解，不僅僅做不到“等價轉(zhuǎn)換”，而且很容易就犯下了錯誤.因此，高中數(shù)學(xué)教師在選取例題的時候，要盡量多設(shè)置一些所謂的“陷阱”，讓學(xué)生跳進(jìn)去，只有他們切身體會到了分類討論、數(shù)學(xué)歸納所需的嚴(yán)密、科學(xué)，他們才不會在不等式求解過程中屢屢犯下讓人頭疼的錯誤.這也有利于學(xué)生掌握不等式學(xué)習(xí)的精髓，樹立不等式章節(jié)學(xué)習(xí)的信心.

不等式教學(xué)看似復(fù)雜，教學(xué)效果往往難以取得質(zhì)的突破，根本原因就是沒有從數(shù)學(xué)思想的角度出發(fā)，來開展此項(xiàng)內(nèi)容的教學(xué).以循序漸進(jìn)的方式引入不等式的概念，以理解的方法幫助學(xué)生掌握不等式求解的技巧，以數(shù)學(xué)思想來檢驗(yàn)不等式學(xué)習(xí)的效果，是高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)的重要途徑.

【參考文獻(xiàn)】

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