黃紅玉

【摘要】現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，是學(xué)生在高中數(shù)學(xué)感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，能對具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推論與判斷，從而獲得數(shù)學(xué)知識本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識能力，包括應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決各種實際問題的思考過程.它有三個方面的本質(zhì)特征：①邏輯性；②抽象性；③本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確把握.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維；類型；培養(yǎng)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學(xué)會學(xué)習(xí)，促使學(xué)生在教師指導(dǎo)下生動活潑地、主動地、富有個性地學(xué)習(xí).現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是頭腦中構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.通過問題引導(dǎo)思維，多方面發(fā)展思維能力，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑.因此，在教學(xué)中教師要特別重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng).而所謂高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維，是指學(xué)生在對高中數(shù)學(xué)感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握高中數(shù)學(xué)內(nèi)容而且能對具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推論與判斷，從而獲得對高中數(shù)學(xué)知識本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識能力.數(shù)學(xué)思維若按性質(zhì)特征劃分，則有：（1）數(shù)學(xué)類比推理思維；（2）數(shù)學(xué)形象思維；（3）數(shù)學(xué)直覺思維；（4）數(shù)學(xué)邏輯思維；（5）數(shù)學(xué)猜想思維；（6）數(shù)學(xué)分類思想.

1.類比推理是根據(jù)兩個研究對象具有某些相同的屬性，推出當(dāng)一個對象尚具有另外一個屬性時，另一個對象也可能具有這一屬性的思想方法，即從對某事物的認(rèn)識推到對類似事物的認(rèn)識.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可啟發(fā)學(xué)生以知識的順延、從屬、引申、互進(jìn)、相似等方面考慮和發(fā)掘類比因素.

如：德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫運用類比的方法，對4=2+2，6=3+3，8=3+5……大量實例的考察，提出了著名的哥德巴赫猜想：“凡大于2的偶數(shù)，都可以表成兩個素數(shù)之和.”

又如：立體幾何中的臺體側(cè)面公式（*） S側(cè)=12（c+c′）h′.

通過類比，柱、錐、臺體的側(cè)面積可全部統(tǒng)一為（*）式，因為錐體可視c=0，柱體可視c′=c，h′=h，旋轉(zhuǎn)體可視h′為母線長，這對學(xué)生的學(xué)習(xí)十分有益.

2.數(shù)學(xué)形象思維是依靠形象材料的意識領(lǐng)會得到理解的思維.其中圖式想象是以數(shù)學(xué)直感為基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)圖式表象加工與改造，它的特點是以框架結(jié)構(gòu)作為形象思維材料進(jìn)行分析思考.例：把復(fù)數(shù)1+sinθ+icosθ1+sinθ-icosθ化為三角形式，因為1=（sinθ+icosθ）（sinθ-icosθ），因此就得簡例解法：

原式=（sinθ+icosθ）（sinθ-icosθ）+sinθ+icosθ1+sinθ-icosθ=（sinθ+icosθ）（1+sinθ-icosθ）1+sinθ-icosθ=sinθ+icosθ=cosπ2-θ+isinπ2-θ，本題使用“1”代換而得到解題的技巧.

3.數(shù)學(xué)直觀思維是對運用有關(guān)知識系統(tǒng)和形象直感對當(dāng)前問題進(jìn)行敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方向或途徑.一般來說，類比能啟發(fā)直覺，直觀的背景材料也能激發(fā)直覺思維.

例如：在認(rèn)識二次函數(shù)的圖像時，可以放出籃球比賽中姚明或林書豪投籃情景的投影，馬上激起學(xué)生的興趣.再如：在教“統(tǒng)計初步”時，設(shè)計以下例子：在倫敦奧運會即將舉行時，教練為了從甲乙兩名運動員中選取一人代表國家參加射擊比賽，甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，成績?nèi)缦拢?/p>

甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4

乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

怎樣比較兩人的成績高低，選誰參加比賽？教練經(jīng)過科學(xué)的數(shù)據(jù)處理，選出一名運動員參加比賽，取得了較好的成績.他是怎樣計算的呢？ 學(xué)生此時思維活躍起來，對探求新知識興趣盎然，師生很順利地完成此節(jié)內(nèi)容，同時也加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識來源于生活又應(yīng)用于生活的認(rèn)識.

4.數(shù)學(xué)邏輯思維的基本形式：概念、判斷、推理和證明.數(shù)學(xué)證明是根據(jù)已確定其真實性的公理、定理、定義、公式性質(zhì)等數(shù)學(xué)命題來論證某一數(shù)學(xué)命題的真實性的推理過程.它由已知、求證、證明過程三部分組成，常用的方法有分析與綜合法、反證法、窮舉法、數(shù)學(xué)歸納法.

例：如果AD與BC是異面直線，

那么AB與CD是異面直線.

證明：（反證法）

如果AB與CD不是異面直線，

那么AB與CD或平行或相交，不論是那種情形，它們都在同一個平面內(nèi)，即AB與CD都在同一個平面γ內(nèi)，因此BC，AD都在平面γ內(nèi)，即AD，BC不是異面直線，這與已知AD，BC是異面直線相矛盾.由此，AB與CD不是異面直線不正確，這就證明了AB與CD是異面直線.

5.數(shù)學(xué)猜想思維是對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行觀察、分析、比較、類比、歸納等已有的知識作出推測性想象，它傾向于一種創(chuàng)造性的形象推理，而數(shù)學(xué)猜想往往隨著類比、歸納的思維過程，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，開展智力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，有著重要意義.

例 勾股定理的猜想推廣

6.數(shù)學(xué)分類思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法.分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中.需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的.例如：在學(xué)了有理數(shù)的有關(guān)概念之后對數(shù)的歸類，要注意引導(dǎo)選擇不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.②運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；例如：含絕對值的問題、一元二次方程根的問題.③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能.如動點問題.④數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的.應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化.分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性、條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問題、探索規(guī)律的能力.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，高中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思維雖然并非總等于解題，但我們可以這樣講，高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的形成是建立在對高中數(shù)學(xué)基本概念、定理、公式理解的基礎(chǔ)上的；發(fā)展高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維最有效的方法是通過解決問題來實現(xiàn).數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)要以數(shù)學(xué)結(jié)果的形式表達(dá)，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn)，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點.