賈艷

摘要：偏微分方程是大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，主要研究一些具有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)物理方程。針對(duì)這門課程內(nèi)容繁、難、課時(shí)少的特點(diǎn)，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與教學(xué)目標(biāo)等方面提出了根據(jù)專業(yè)和教材的特點(diǎn)確立不同的教學(xué)目標(biāo)、精選教學(xué)內(nèi)容、改變教學(xué)手段與教學(xué)方法、注重教學(xué)與科研相結(jié)合、改變考試方式等新形勢(shì)下的教學(xué)改革，提高了課堂教學(xué)的效果。

關(guān)鍵詞：偏微分方程，教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方法，教學(xué)目標(biāo)

中圖分類號(hào)： G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）10（a）-0000-00

The teaching reform of the Partial differential equation

JIA Yan

（School of Mathematical Sciences， Anhui University， Hefei 230039， P. R. China））

Abstract： Partial differential equation is a professional basic course with specialized mathematics of the university undergraduate course. It mainly researches some mathematical physics equations with practical background. This article put forward some ideas and understanding about According to the characteristics of the professional and teaching materials to establish different teaching goals ，Select the teaching content and the teaching method ， Combination the teaching and scientific research， change the way of examination ，from the teaching content， teaching method and teaching goal with the course content is numerous， difficult， the class hour is less . It improve the effect of classroom teaching.

Key Word：Partial differential equation，Teaching content，Teaching method，Teaching goal

偏微分方程是眾多描述物理、化學(xué)和生物等現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。近年來已經(jīng)擴(kuò)展到經(jīng)濟(jì)、金融分析、圖像處理等領(lǐng)域[2]。本科偏微分課程主要來源于數(shù)學(xué)物理和理論物理中的一些連續(xù)介質(zhì)模型。通過講授一些典型數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出，解的適定性和解的性質(zhì)來培養(yǎng)學(xué)生掌握偏微分方程的理論、方法和技巧，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

偏微分方程對(duì)學(xué)生的大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求很高，與其它數(shù)學(xué)分支有緊密聯(lián)系。因此在教學(xué)過程中容易出現(xiàn)以下幾個(gè)問題：一、學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程的知識(shí)儲(chǔ)備不夠，要想學(xué)好偏微分方程要求學(xué)生有比較扎實(shí)的“數(shù)學(xué)分析”、 “實(shí)變函數(shù)”、“復(fù)變函數(shù)”、“泛函分析”以及相關(guān)的大學(xué)物理知識(shí)。二、課程的理論性過強(qiáng)、內(nèi)容多、難度大。學(xué)生感覺學(xué)習(xí)枯燥，乏味，提不起興趣。無論是方程的導(dǎo)出還是解的適定性問題求解過程往往麻煩、冗長(zhǎng)、計(jì)算量大，學(xué)生容易產(chǎn)生畏難情緒。教師教的也累，上課效果不是很好。三、課程內(nèi)容與后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容連接不上。本科階段的偏微分課程遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足一些專業(yè)后續(xù)學(xué)習(xí)的需要，很多學(xué)生反映在繼續(xù)深造的過程中發(fā)現(xiàn)一些知識(shí)學(xué)了的用不上，要用的沒學(xué)過。針對(duì)以上幾點(diǎn)，結(jié)合作者的實(shí)際教學(xué)，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與教學(xué)目標(biāo)等方面提出了一些認(rèn)識(shí)和想法，在教學(xué)過程中取得了一定的效果。

1 根據(jù)專業(yè)和教材的特點(diǎn)，確立不同的教學(xué)目標(biāo)

偏微分方程是我校應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修課程，從課程的地位來說，它是專業(yè)基礎(chǔ)課，對(duì)于后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著很重要的作用。因此根據(jù)專業(yè)的不同選用的教材也應(yīng)有所不同，針對(duì)不同的專業(yè)確立符合專業(yè)的教學(xué)目標(biāo)，以確保學(xué)有所用。例如我校應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)選用的教材是陳祖墀編寫的《偏微分方程》（第2版）。這本教材的特點(diǎn)是內(nèi)容論述詳細(xì)、嚴(yán)密。主要內(nèi)容分為復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)物理兩大板塊，比較適合純理科的學(xué)生學(xué)習(xí)。教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生在學(xué)習(xí)基本理論和求解方法的同時(shí)，注意理解處理問題的思想方法。而對(duì)于物理，材料等工科專業(yè)選用的教材是谷超豪等編寫的《數(shù)學(xué)物理方程》，這本教材比較適合于應(yīng)用物理專業(yè)的教學(xué)內(nèi)容，該教材對(duì)不同的內(nèi)容設(shè)立不同的教學(xué)要求，在保持?jǐn)?shù)學(xué)物理方法框架的前提下， 削減了許多具體的教學(xué)內(nèi)容，比如二階擬線性偏微分方程的分類、拉普拉斯變換、變分法等.在教學(xué)目標(biāo)上除了要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)理論部分還要求學(xué)生要理解特殊函數(shù)部分的內(nèi)容，體現(xiàn)這些內(nèi)容在力學(xué)、材料、能源及生物等領(lǐng)域較強(qiáng)的應(yīng)用背景。對(duì)于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生應(yīng)該側(cè)重于偏微分方程數(shù)值解。在教學(xué)目標(biāo)上側(cè)重于掌握有限差分方法、有限元方法、有限體方法、多重網(wǎng)絡(luò)等方法。因此，結(jié)合課程的實(shí)際問題，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該側(cè)重于以下兩點(diǎn)：首先，以教材內(nèi)容為主，讓學(xué)生掌握必要的理論知識(shí)和數(shù)學(xué)工具。其次，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想、解題技巧和方法以及利用偏微分方程的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

2 結(jié)合專業(yè)，精選教學(xué)內(nèi)容

偏微分方程具有知識(shí)點(diǎn)多，觸及領(lǐng)域廣，理論性強(qiáng)，計(jì)算量大等特點(diǎn)，而近年來由于人才培養(yǎng)模式的改變，該課程在很多學(xué)校只有54個(gè)學(xué)時(shí)（我校為72學(xué)時(shí)）。在課時(shí)不充分的情況下，應(yīng)根據(jù)專業(yè)和培養(yǎng)方案精選上課內(nèi)容，以便在有限的課時(shí)內(nèi)學(xué)生的學(xué)習(xí)效率最大化。教師在教學(xué)的過程中有必要對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)計(jì)劃、教學(xué)重點(diǎn)等根據(jù)大綱要求并結(jié)合專業(yè)進(jìn)行科學(xué)調(diào)整，督促學(xué)生提前復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，提高上課質(zhì)量。例如對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)，主要講授內(nèi)容應(yīng)是二階擬線性偏微分方程的相關(guān)理論。重點(diǎn)介紹波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、調(diào)和方程這三大方程的導(dǎo)出，問題的提法以及解的適定性。我們?cè)谥v課的過程中重點(diǎn)介紹二階線性偏微分方程的分類、一階擬線性偏微分方程的特征線理論、突出分離變量法、球面平均法、傅里葉變換法、格林函數(shù)法在二階擬線性偏微分方程中的作用，詳細(xì)介紹一維波動(dòng)方程的行波解，分離變量法，高維波動(dòng)方程的球面平均法的基本思想、應(yīng)用條件等。再通過舉例、歸納、總結(jié)對(duì)比后掌握這些基本方法的精髓。對(duì)于其它方法可以作簡(jiǎn)單概述或者讓學(xué)有余力的同學(xué)學(xué)習(xí)。

3 改革教學(xué)方法與考試方式

3.1 突出背景知識(shí)的介紹，培養(yǎng)建模思想

偏微分方程主要來源于物理和工程技術(shù)以及一些實(shí)際問題，很多方程都有實(shí)際的物理背景，每一類方程都是根據(jù)實(shí)際的物理現(xiàn)象，通過物理定律建模得到的，方程的定解也有物理意義。介紹相關(guān)的背景知識(shí)可以讓學(xué)生明白為什么要研究這類方程，偏微分方程能解決什么問題。例如我在講授熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出時(shí)，先給出了一個(gè)模型：給定空間內(nèi)的一個(gè)物體G（要求該物體是由均勻的、各項(xiàng)同性的介質(zhì)組成），u（x，t） 表示物體在點(diǎn)x時(shí)刻t時(shí)的溫度。問題是研究該物體溫度的變化規(guī)律。這一規(guī)律可以用熱傳導(dǎo)方程來描述，它是拋物型方程的典型代表，具有豐富的物理背景。因此我們?cè)谏险n的過程中引導(dǎo)學(xué)生用熱量守恒定律與傅里葉熱傳導(dǎo)定律以及微積分的相關(guān)知識(shí)對(duì)這一問題進(jìn)行建模，并著重分析各種物理?xiàng)l件在建立數(shù)學(xué)表達(dá)式時(shí)的實(shí)際意義，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用偏微分方程建立數(shù)學(xué)模型的基本思路和基本方法。這樣學(xué)生通過對(duì)這一方程的背景知識(shí)的了解，對(duì)方程中各個(gè)變量有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，有利于對(duì)方程的解的物理意義的了解，有利于對(duì)最大值原理這一重要內(nèi)容的學(xué)習(xí)，從而加深了對(duì)這一方程的理解。

3.2 改變教學(xué)手段與教學(xué)方法

由于偏微分方程涉及的概念、公式和定理比較多，在教學(xué)中我們應(yīng)采用多種教學(xué)方式相結(jié)合的方法提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。首先，重視啟發(fā)式和討論式的課堂教學(xué)。例如對(duì)于第五章位勢(shì)方程的內(nèi)容，我們采用的就是討論式的課堂教學(xué)。我們嘗試在課堂上先著重介紹位勢(shì)方程的來由，再引入Green函數(shù)的概念，然后請(qǐng)學(xué)生自己完成對(duì)這個(gè)特殊函數(shù)性質(zhì)的描述和刻畫。我們將這些內(nèi)容進(jìn)行一定的劃分，把每個(gè)知識(shí)點(diǎn)作為課堂討論的內(nèi)容。學(xué)生通過收集，整理資料，然后進(jìn)行課堂討論。在討論的過程中學(xué)生如果有問題教師當(dāng)場(chǎng)解決或者請(qǐng)同學(xué)們一起討論，加深學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的了解，營(yíng)造一種求知的學(xué)術(shù)氛圍。充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。另外我們提倡學(xué)生掌握解題技巧，一題多解，例如我們?cè)诮榻B熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生從極值原理、最大模估計(jì)、能量方法等不同角度去考慮問題。其次，利用多媒體課件和計(jì)算機(jī)軟件輔助教學(xué)。由于偏微分課程的特點(diǎn)，目前大多數(shù)老師仍以傳統(tǒng)的課堂教學(xué)為主，而少數(shù)教師則喜歡用多媒體課件教學(xué)。傳統(tǒng)的板書能更好地引導(dǎo)學(xué)生去感受和思考數(shù)學(xué)邏輯的推導(dǎo)過程，有利于加深對(duì)數(shù)學(xué)理論的理解和認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯和思維能力。但是多媒體課件可以讓學(xué)生更直觀，更全面的理解知識(shí)點(diǎn)。另外使用多媒體課件還可以節(jié)省大段公式的板書時(shí)間[3]。所以我們認(rèn)為應(yīng)該把兩種教學(xué)手段結(jié)合起來，對(duì)一些定理，公式圖表以多媒體展示，尤其是我們可以把一些復(fù)雜的物理現(xiàn)象例如波的彌散通過多媒體展示可能更加直觀，對(duì)一些演算過程則要板書。 根據(jù)內(nèi)容選擇合適的教學(xué)手段。

3.3 教學(xué)與科研相結(jié)合

近年來偏微分方程特別是非線性偏微分方程在各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)，有各種不同的研究方法.例如輸運(yùn)方程在控制問題、種群演化問題、疾病傳播問題、流體力學(xué)問題等方面都有廣泛應(yīng)用[4]。我們?cè)谥v課的過程中可以適當(dāng)引進(jìn)新的理論，新的方法，開拓學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的興趣。例如在介紹一階擬線性偏微分方程時(shí)可以介紹一下超音速流和激波的相關(guān)知識(shí)，在介紹二維波動(dòng)方程初邊值問題解的唯一性時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生用能量法解決一般形式n維的雙曲型偏微分方程解的唯一性和穩(wěn)定性。這些小問題有助于學(xué)生科研能力的培養(yǎng)。近年來我校卓越班實(shí)行導(dǎo)師制，導(dǎo)師每星期與學(xué)生有一定的見面時(shí)間給學(xué)生提供一些參考文獻(xiàn)，也可以讓學(xué)生參與自己的教學(xué)項(xiàng)目和科研項(xiàng)目中，提高學(xué)生的科研能力，取得了一定的效果。

3.4 改變考試方式

目前我校采用的考試方式是知識(shí)與能力相結(jié)合的綜合評(píng)價(jià)方法，即平時(shí)成績(jī)和期末考試相結(jié)合的綜合評(píng)價(jià)體系，其中平時(shí)成績(jī)占30%，包括考勤和作業(yè)，期末考試成績(jī)占70%。這樣的綜合評(píng)價(jià)方法雖然比較全面的反映學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。但是還是有一部分學(xué)生平時(shí)不學(xué)習(xí)，期末的時(shí)候寄希望于老師劃重點(diǎn)，臨時(shí)抱佛腳。筆者認(rèn)為要改變學(xué)生只重視課程成績(jī)，在期末時(shí)才開始背筆記應(yīng)付考試的不良習(xí)慣，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)情況的考察.學(xué)生的平時(shí)成績(jī)可由作業(yè)、討論課上表現(xiàn)、以及小論文等部分組成。尤其是對(duì)一些善于提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的學(xué)生不能以期末成績(jī)作為唯一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。采用以上多種方式結(jié)合的考核形式，更能檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)偏微分方程的特點(diǎn)，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與教學(xué)目標(biāo)等方面提出的教學(xué)改革與探索在實(shí)際教學(xué)中取得了一定的教學(xué)效果，消除了學(xué)生學(xué)習(xí)偏微分方程的畏難心里，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。取得了很好的考核成績(jī)。

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