陳紅光 朱月祥
【摘要】在初中數(shù)學(xué)的幾何問題中,人們解決這類型的題目往往會用到輔助線.添加輔助線是為了更好、更方便地解決問題.因為題目中給出的已知條件一般解決不了問題,而通過添加輔助線,便會得到一些新的條件,非常有助于解決問題,這是初中生在解決初中幾何問題時的有效策略.因此,遇到困難的幾何體時,輔助線來幫你!我們需要學(xué)會巧妙地利用輔助線.
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);輔助線;方法;妙用
眾所周知,添加輔助線給幾何題的解決有著不可忽視的地位.由于題目的變化無窮,所以輔助線的添加方法也是形形色色的.粗略地看那些輔助線似乎沒有條理,無據(jù)可依,其實不然.在眾多的幾何題中,必然會存在著兩樣?xùn)|西,一是圖形,二是條件,也有隱含的條件.因此,我們作輔助線時可以根據(jù)圖形的特殊性和條件的特殊性進行添加,這樣題目將會迎刃而解.本文將針對初中幾何題目,談?wù)勢o助線的妙用.
一、輔助線在三角形中的妙用
輔助線在三角形中的添加,是根據(jù)不同的問題作出不一樣的輔助線來.如:
(一)在直接證明不出三角形三邊關(guān)系時,可以延長某邊或者是連接兩點,構(gòu)成三角形,從而使得結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或多個三角形中,最后運用三角形三邊的不等關(guān)系來證明.
(二)在直接證明不出三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時,可以延長某邊或者連接兩點,構(gòu)成三角形,使得小腳位于這個三角形的內(nèi)角,要證明的大角在三角形的外角的位置上,最后利用外角定理求解.
(三)題目中有出現(xiàn)角平分線時,一般是在角的兩邊取相同的線段,從而構(gòu)造全等三角形.
(四)題目中有出現(xiàn)以線段中點為端點的線段時,一般是延長加倍這條線段,從而構(gòu)造全等三角形.
(五)題目中有出現(xiàn)三角形中線時,一般是延長加倍中線,從而構(gòu)造全等三角形.
圖1例如:如圖1,已知AD為△ABC的中線,且∠1=∠2,∠3=∠4,求證:BE+CF>EF.
分析要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明,須把BE,CF,EF移到同一個三角形中,而由已知∠1=∠2,∠3=∠4,可在角的兩邊截取相等的線段,利用三角形全等對應(yīng)邊相等,把EN,F(xiàn)N,EF移到同一個三角形中.
證明在DA上截取DN=DB,連接NE,NF,則DN=DC,
在△DBE和△DNE中:
∵DN=DB(輔助線的作法),∠1=∠2(已知),ED=ED(公共邊),
∴△DBE≌△DNE(SAS),
∴BE=NE(全等三角形對應(yīng)邊相等).
同理可得:CF=NF.
在△EFN中EN+FN>EF(三角形兩邊之和大于第三邊)
∴BE+CF>EF.
點評當(dāng)題目中有角平分線時,通??煽紤]在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形,然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等.
二、輔助線在平行四邊形中的妙用
正方形、矩形、菱形都屬于平行四邊形,它們的兩組對角、對邊以及對角線都具有一些相同的性質(zhì),因此,給這些平行四邊形添加輔助線時的方法是差不多的,都是為了讓線段垂直或平行,然后構(gòu)造出全等或相似的三角形.一般常用的方法是連接對角線、平移對角線,延長一邊中點與頂點的連線等,這樣可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化成三角形、矩形等圖形,有利于解決問題.
三、輔助線在圓中的妙用
在圓中添加輔助線的辦法通常有:
(一)可以根據(jù)垂徑平分定理,過圓心作弦的垂線.
(二)可以根據(jù)同圓或者等圓中的圓心角、圓周角、弦、弧的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系,連接圓上相關(guān)的點來解決問題.
(三)當(dāng)題目中有直徑這一條件時,通??紤]“直徑所對的圓周角是直角”來添加輔助線.
(四)當(dāng)題中有切線時,通常連接過切點的半徑或直徑,利用切線與它垂直的特點.有時也作過切點的弦,溝通弦切角與圓心角、圓周角之間的關(guān)系.
(五)當(dāng)題中有兩圓相切時,首先考慮的是過切點作兩圓的公切線,由此溝通弦切角與圓周角之間的聯(lián)系.有時也作兩圓的連心線,利用切點在連心線上溝通圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系.
(六)兩圓相交時,作兩圓的公共弦,以兩圓的公共弦作為“橋梁”溝通兩圓的圓周角和其他角之間的關(guān)系.
總而言之,在幾何題中添加輔助線是有規(guī)律可循的,學(xué)生需要對這些圖形添加輔助線作一個系統(tǒng)的歸納總結(jié),這樣才能開拓思路,提高解決幾何題型的技巧.
【參考文獻】
[1]徐青.幾何問題解決的圖式水平及其特點研究[J].安陽師范學(xué)院學(xué)報,2012(01).
[2]王娜.輔助線對高中生解決空間幾何問題的影響[D].河南大學(xué),2012.
[3]宋蓓.初中數(shù)學(xué)解題策略的研究及應(yīng)用[D].天津師范大學(xué),2013.