景淵遠等

【摘要】本文通過數(shù)學本科基礎課的數(shù)學內(nèi)容，談三種“數(shù)學基本思想”：抽象、推理、化歸（模型）思想的認識，并指出其具體應用.

【關鍵詞】數(shù)學基本思想；抽象；推理；化歸；極限

【中圖分類號】G40-055

史寧中、柳海民指出：在基礎學科教學中實施素質教育的基本路徑有：“在基本知識、基本技能的基礎上加上基本思想和基本活動經(jīng)驗，在分析問題和解決問題能力的基礎上，加上發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.”那么，什么是數(shù)學（基本）思想呢？本文在這方面做一點有益探討.

數(shù)學思想是數(shù)學文化的核心.“一般說來，稱解某數(shù)學問題的原則為數(shù)學思想，而具體途徑為數(shù)學方法.”張奠宙認為：“同一個數(shù)學思想，當用它去解決別的問題時，就稱之為方法，當評價它在數(shù)學體系中的自身價值和意義時，就稱之為思想.”本文通過本科數(shù)學內(nèi)容，揭示所隱含的基本數(shù)學思想及其應用.

一、抽象思想

什么是數(shù)學抽象？史寧中指出：“數(shù)學抽象包括：數(shù)量與數(shù)量關系的抽象，圖形與圖形關系的抽象.通過抽象得到數(shù)學的基本概念，研究對象的定義，刻畫對象之間關系的術語和運算方法.這是從感性具體上升到理性具體的思維過程，這是第一次抽象.在此基礎上可以憑借想象和類比進行第二次抽象，其特點是符號化，得到那些并非直接來源于現(xiàn)實的數(shù)學概念和運算方法.”其在數(shù)學分析和高等代數(shù)中大量運用.數(shù)學抽象思想，有第一次抽象，也有第二次抽象.

眾所周知，運用“推理思想”可知2，3，π和e等不是有理數(shù).這樣一來，如

果說直線上布滿全體有理數(shù)，當用燈光一照時，就會發(fā)現(xiàn)間隙，每個尚未布上有理數(shù)的點代表一個無理數(shù)，如何定義它使其與以前的定義相容？其“思想”為：將這一點左邊的有理數(shù)全體記為集合M，而將該點右方有理數(shù)全體記為集合N，以分割（M，N）定義該點的數(shù)，易知，當該點為有理數(shù)時，這種定義與以前的有理數(shù)定義相容.這種思想的實現(xiàn)就有了實數(shù)（有理數(shù)和無理數(shù)的總稱）的戴德金分割定義.

數(shù)學分析中極限定義所遵循的“極限思想”是“抽象思

*本項目通訊作者由下述項目資助：黑龍江省新世紀教改工程（重點）項目，2011

本項目作者馬海鳳由下述項目資助：2014/2015年度黑龍江省高校教師雙語教學項目

*通訊作者

想”和“逼近思想”的

子思想，但這是第二次抽象.設變量為an（n=1，2，…），固定量a，如果當n “無限”增大時，an到a的距離“想怎么小，就怎么小”時，稱當n趨于無窮時，an以a為極限.將這種“極限思想”用“數(shù)學符號”表示出來，就是“ε-N語言”的定義.初學微積分，理解這種定義很困難，其要點是“極限思想”的領悟.

二、化歸思想

化歸即轉化和歸結的意思，通常指把某些未知或較復雜的問題，轉化為已知的或較簡單的問題，這就是化歸思想.如果將未知的現(xiàn)實問題，化為已知的數(shù)學問題，然后，對該數(shù)學問題進行分析，得到解析解或數(shù)值解，最后以數(shù)學解去解釋原現(xiàn)實問題的解，這就是“模型思想”.由此可見“化歸思想”應是比“模型思想”更基本的數(shù)學思想.

三、推理思想

“推理”是基本數(shù)學思想，含“演繹推理”和“歸納推理”.基本的數(shù)學思想下往往包含著子數(shù)學思想.因為這種思想應用面相對較廣，如果稱之為方法會讓人感覺片面，況且在整體的數(shù)學思想中還存在著其他與之并列或等價的數(shù)學思想.例如同構思想和模型思想就可稱之為化歸思想的子思想.而“演繹推理”又是“推理思想”的子思想.

下面我們來說一下推理思想.當然，進行“邏輯推理”時，一般需幾種“數(shù)學思想”并用.下面舉一個日常例子.

結束語

數(shù)學分析和高等代數(shù)里所蘊含的數(shù)學思想和方法在人類的數(shù)學史上起著重要作用.許多思想和方法被當作工具應用于物理、化學等其他學科，對人類科技的進步起著奠基的作用.古人云：“授人以魚，不如授之以漁.”這句話道出了思想和方法的重要性.數(shù)學思想是對數(shù)學知識、數(shù)學方法的本質認識.數(shù)學思想源于數(shù)學方法但高于數(shù)學方法，思想凌駕在方法之上，如果沒有思想就不會有相應的方法去解決問題.如果把方法比作軀體，那思想就是靈魂和意識.

【參考文獻】

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[4]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)（第四版）[M].北京高等教育出版社，2002.