劉萍

摘 要：學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的目的是為了“會用數(shù)學(xué)”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識不失為一個重要途徑。普通高中的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生建模意識的培養(yǎng)有明確要求。據(jù)此，本文通過自己一系列的實(shí)踐提出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的相關(guān)途徑。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；建模意識；會用數(shù)學(xué)；途徑培養(yǎng)

一、問題的提出

1.課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)建模教學(xué)提出了要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“高中數(shù)學(xué)課的教學(xué)應(yīng)設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)探究‘?dāng)?shù)學(xué)建模等學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣?！蓖瑫r又指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，開展‘?dāng)?shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)活動，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力?！币詫W(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念就是教學(xué)生“會用數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)建模正是培養(yǎng)學(xué)生“會用數(shù)學(xué)”的重要途徑，新課標(biāo)的要求正說明了培養(yǎng)學(xué)生建模意識的深遠(yuǎn)意義。

2.培養(yǎng)學(xué)生的建模意識是教學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)”的重要途徑

現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)其實(shí)還是可以稱為“目標(biāo)教學(xué)”，即圍繞著教材給出的教學(xué)內(nèi)容確定目標(biāo)而進(jìn)行教學(xué)。盡管我們一直提倡“教給學(xué)生有用的數(shù)學(xué)”，然而令人遺憾的是，許多學(xué)生在高中畢業(yè)后就覺得數(shù)學(xué)除了高考拿分外別無它用。學(xué)生在高中畢業(yè)后一旦碰到陌生的題型或者聯(lián)系實(shí)際的問題，就不會用數(shù)學(xué)的方法去解決。因此，有必要加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)。這是教會學(xué)生如何“用數(shù)學(xué)”的必要途徑。

二、概念界定

所謂數(shù)學(xué)建模，就是建立數(shù)學(xué)模型。比較通俗的說法是：“根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地概括地表征所研究對象的主要特征及其關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。”

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的途徑

1.在導(dǎo)入新課中創(chuàng)設(shè)情境，形成建模場境

現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教材，其引入基本能從激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣方面考慮，所以教師應(yīng)認(rèn)真鉆研教材，在各個章節(jié)的新課中引入數(shù)學(xué)建模問題，導(dǎo)入新課。

如在教學(xué)向量的加法時，若按照書中的設(shè)計引入向量的加法，學(xué)生不易理解。教師可引用位移合成（或力的合成）創(chuàng)設(shè)下列三種情境：

情境1：一個人向東走10m，再向南走10m，這個人實(shí)際按什么方向走了多少米？

情境2：一艘船以a海里/小時的速度垂直于對岸出發(fā)，已知水流的速度為b海里/小時，在圖1中標(biāo)出船的實(shí)際速度和方向。

情境3：一個人經(jīng)過兩次位移、，如圖2所示，在圖2中標(biāo)出該人的實(shí)際位移。

這樣，學(xué)生就清楚地知道向量的加法的實(shí)際意義與物理學(xué)中位移的合成（力的合成）相類似，從而使學(xué)生在潛移默化中明白，數(shù)學(xué)源于生活又應(yīng)用于生活，使之在今后的生活中，能夠自覺地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題。

2.改編教材中的例題和習(xí)題建模，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

教師應(yīng)將教材中的例題和習(xí)題編成生活中的實(shí)際問題，這樣不但可以幫助學(xué)生鞏固新知識，而且可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和建模意識，使之對數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生興趣。

例如：在學(xué)了分段函數(shù)后，可引入手機(jī)話費(fèi)問題、出租車租金與路程關(guān)系等問題。如：定長為3的線段AB的兩個端點(diǎn)在拋物線x2=y上移動，記線段AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)M到x軸距離最短時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

該題如果采用函數(shù)方法求解，對于學(xué)習(xí)成績一般的學(xué)生來講，不但聽不懂，甚至連聽的欲望也沒有。如果我們把這道題改編為：一只軸截面為拋物線型的酒杯，酒杯口直徑為4cm，深為4cm，現(xiàn)在把長分別為3cm，2cm，1cm，0.5cm的粗細(xì)均勻小鐵絲若干根放入盛有水的酒杯中搖晃，等水面靜止時，長為3cm，2cm的小鐵絲是傾斜的，且經(jīng)過同一點(diǎn)，長為1cm，0.5cm的小鐵絲是水平的，根據(jù)上面的現(xiàn)象，能得出什么結(jié)論？這事實(shí)上就將一個“理論”的題目改變成一個實(shí)際問題了。通過這個實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生“建?！?，可以起到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的作用。

教師可先引導(dǎo)學(xué)生，在建立平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上得出拋物線的解析式為：x2=y，通徑為1cm。此時學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)3cm，2cm都大于通徑，而1cm，0.5cm小于或等于通徑，從中可得出初步的結(jié)論：長大于通徑的鐵絲是傾斜的，而長小于、等于通徑的鐵絲是水平的。教師進(jìn)而引導(dǎo)，鐵絲是在重力的影響下，當(dāng)重心最低時最穩(wěn)固，此時重心是在鐵絲的中點(diǎn)的。所以，當(dāng)鐵絲的中點(diǎn)距離x軸的距離最短，即大于通徑的弦經(jīng)過焦點(diǎn)時，距離x軸的距離最短，然后再給出證明。這樣學(xué)生就比較容易接受，就能興致勃勃地聽下去，這對于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力、提高課堂的教學(xué)效率有較好的作用。

3.結(jié)合專題討論進(jìn)行建模方法研究，掌握建模程序

建模的途徑較多，教師也可以選擇恰當(dāng)?shù)慕ｎ}，講解數(shù)學(xué)建模的程序。先是準(zhǔn)備數(shù)學(xué)模型：就是讓學(xué)生了解問題的實(shí)際背景，明確建模目的，盡量弄清對象的特征。再是模型假設(shè)：根據(jù)提供的實(shí)際問題特征和建模目的，對問題進(jìn)行必要、合理的簡化，用精確的語言作出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。

數(shù)學(xué)建模的基本程序如圖3所示：

圖3

選擇下列的例子：富陽市某造紙廠，從今年7月開始投廠，前4個月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件。由于產(chǎn)品質(zhì)量較好，前4個月的產(chǎn)品銷售情況良好，為了銷售員在推銷產(chǎn)品時接受定單適度，需要估算今后幾個月的產(chǎn)量，如果你是廠長，怎樣推算較為準(zhǔn)確？

這樣的實(shí)際問題學(xué)生比較感興趣，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)中函數(shù)擬合的思想去解決，學(xué)生自然而然地會考慮用哪一種函數(shù)比較合適。通過描點(diǎn)作圖，可以看出它是一條曲線，所以不是一次函數(shù)，學(xué)生可能會猜測它可能是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或者冪函數(shù)。為了簡化計算，選擇如下三種函數(shù)：（1）二次函數(shù)：f（x）=ax2+bx+c；（2）冪函數(shù)：f（x）=ax+b；（3）指數(shù)函數(shù)：f（x）=abx+c。然后將學(xué)生分成三組分別進(jìn)行代數(shù)求解。

甲組：f（x）=ax2+bx+c，將（1，1）（2，1.2）（3，1.3）代入，計算得：f（x）=-0.05x2+0.35x+0.7，所以f（4）=1.3，與實(shí)際誤差為0.07萬件。

乙組：f（x）=ax+b，將（1，1）（2，1.2）（3，1.3）代入，計算得：f（x）=0.48x+0.52，所以f（4）=1.48，與實(shí)際誤差為0.11萬件。

丙組：f（x）=abx+c，將（1，1）（2，1.2）（3，1.3）代入，計算得：f（x）=-0.08x+1.4，所以f（4）=1.35，與實(shí)際誤差為0.02萬件。

然后回到實(shí)際問題，得出采用哪一種函數(shù)比較接近客觀實(shí)際。最后，結(jié)合程序總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟：調(diào)查實(shí)驗(yàn)得到原始數(shù)據(jù)；建立平面直角坐標(biāo)系，描點(diǎn)；觀察圖系，確定函數(shù)模型；對模型進(jìn)行評析。

通過討論、分析和研究，使學(xué)生熟悉并理解數(shù)學(xué)建模的一般步驟，掌握建模方法，從而使學(xué)生積累一定的建模經(jīng)驗(yàn)，為其能獨(dú)立應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法解決問題打下一定的基礎(chǔ)。

4.利用教材中的閱讀材料，培養(yǎng)建模意識

教材中的閱讀材料蘊(yùn)涵了許多數(shù)學(xué)建模的問題，而教師往往忽視了它們的功能，要么棄之不理，要么讓學(xué)生回去自學(xué)，學(xué)生有否自學(xué)也不管，從而失去了許多培養(yǎng)學(xué)生建模意識的好素材。對于閱讀材料應(yīng)該采用一些特殊方法來進(jìn)行教學(xué)，其中“自學(xué)+指導(dǎo)”是一種比較有效的方法。

如高一《數(shù)學(xué)》書中有這樣的閱讀材料《潮夕與港口水深》，在課堂上先由學(xué)生自學(xué)再提出疑問，教師適當(dāng)解答，當(dāng)學(xué)生與書上的問題沒有疑問后，再補(bǔ)充這樣的練習(xí)：已知某海濱浪高y（m）是時間t（0小時≤t24小時）的函數(shù)，記作y=（t），表1是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：

經(jīng)長期觀察，y=f（t）的曲線可以近似地看作是函數(shù)y=Asinωt+b的圖像。（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y=Asinωt+b最小正周期、振幅A及函數(shù)表達(dá)式。（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)浪高高于1.0m時，才對沖浪愛好者開放，請根據(jù)（1）中的結(jié)論，計算出一天內(nèi)從上午8：00至晚上20：00之間有多少時間可進(jìn)行沖浪運(yùn)動？

這樣一來，學(xué)生不但加深了對正弦三角函數(shù)的理解，而且使學(xué)生利用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識認(rèn)識了自然現(xiàn)象——潮汐，增強(qiáng)了學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的信心和勇氣。

5.與實(shí)踐性作業(yè)和開展研究性學(xué)習(xí)相結(jié)合，體驗(yàn)建模樂趣

數(shù)學(xué)的實(shí)踐性作業(yè)與研究性學(xué)習(xí)具有很強(qiáng)的實(shí)踐性和應(yīng)用性。高中生的社會經(jīng)驗(yàn)不是很豐富，所以要遵循循序漸進(jìn)的原則，先易后難，盡量取材于學(xué)生生活中喜聞樂見的事情和容易操作的實(shí)驗(yàn)。

對于研究性學(xué)習(xí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的整個流程，包括如何制訂研究方案，如何開展研究工作，如何撰寫研究報告等，并要求學(xué)生對自己的研究過程在課堂上發(fā)表見解，小組間共同討論，師生間共同交流、探討，使學(xué)生的研究進(jìn)一步得到完善。通過布置實(shí)踐性作業(yè)和開展研究性學(xué)習(xí)，使學(xué)生能自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實(shí)際問題，并體驗(yàn)到成功的快樂。

6.與其他學(xué)科聯(lián)系，拓展建模平臺

由于數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的工具，與其他學(xué)科的聯(lián)系是相當(dāng)密切的。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)注意與其他學(xué)科的呼應(yīng)，這不僅可以幫助學(xué)生加深對其他學(xué)科的理解，而且拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的平臺，是培養(yǎng)學(xué)生建模意識的一條不可忽視的途徑。

7.組織課外興趣小組，舉行數(shù)學(xué)建模比賽，推進(jìn)建模教學(xué)

參加數(shù)學(xué)建模興趣小組的學(xué)生，一般都是對數(shù)學(xué)有較大興趣并且數(shù)學(xué)成績較好的學(xué)生，他們對數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)有較高的潛力，若能在他們中組織建?；顒?，能在全班滲透建模意識，從而帶動全班學(xué)生對數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生興趣。全面舉辦數(shù)學(xué)建模比賽，既可以擴(kuò)大數(shù)學(xué)建模的影響面，又可以使學(xué)生更加重視數(shù)學(xué)建模，提高建模能力，從而推進(jìn)數(shù)學(xué)建模的進(jìn)程。

四、實(shí)踐后的體會

培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，僅靠教師在課堂上口頭強(qiáng)調(diào)無法達(dá)到比較理想的效果，需要相應(yīng)的評價制度作保證。一般期末考試和高考沒有實(shí)踐性作業(yè)和研究性學(xué)習(xí)這樣的題目，而且完成這樣的題目很費(fèi)時。所以，在目前功利性較強(qiáng)的學(xué)習(xí)環(huán)境下，學(xué)生對實(shí)踐性作業(yè)和研究性學(xué)習(xí)缺乏足夠的熱情，從而對數(shù)學(xué)建模也不太感興趣。因此，要靠相應(yīng)的評價制度促使學(xué)生思想的轉(zhuǎn)化。

對學(xué)生建模意識的培養(yǎng)，不可一蹴而就，必須長期堅持，始終把培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和建模能力貫穿在整個教學(xué)過程中。在開展“目標(biāo)數(shù)學(xué)教學(xué)”的同時大力滲透“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)，必將為中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革提供一條新路，也必將為培養(yǎng)新世紀(jì)的創(chuàng)新性人才提供一個全新的舞臺。

參考文獻(xiàn)：

[1]沈新權(quán).構(gòu)建建模意識 培養(yǎng)創(chuàng)新思維[EB/OL].http：//www.sh.cn.

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