吉林省臨江市第一中學(xué) 王 杰

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材上就函數(shù)的性質(zhì)著重講解了單調(diào)性、奇偶性、周期性，但在考試測驗甚至高考中不乏對函數(shù)對稱性、連續(xù)性、凹凸性的考查。尤其是對稱性，因為教材上對它有零散的介紹，例如二次函數(shù)的對稱軸，反比例函數(shù)的對稱性，三角函數(shù)的對稱性，因而考查的頻率一直比較高。以筆者的經(jīng)驗看，這方面一直是教學(xué)的難點，尤其是抽象函數(shù)的對稱性判斷，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關(guān)的性質(zhì)。

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點A (a ,b)對稱的充要條件是f (x)+ f (2a－x) = 2b.

證明：（必要性）設(shè)點P(x,y)是y=f(x)圖像上任一點，∵點P(x,y)關(guān)于點A (a,b)的對稱點P‘（2a－x，2b－y）也在y=f(x)圖像上，∴2b－y=f(2a－x)

即y+ f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點P(x0,y0)是y = f(x)圖像上任一點，則y0= f (x0)

∵ f (x)+ f(2a－x) =2

∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0= f (2a－x0)。

故點P‘（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x) 圖像上，而點P與點P‘關(guān)于點A(a,b)對稱，充分性得征。

推論：函數(shù) y= f (x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f(x)+f(－x)= 0

定理2：函數(shù) y= f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f(a+x) = f(a－x) 即f(x)=f(2a－x) （證明留給讀者）。

推論：函數(shù) y= f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f(x)= f(-x)

定理3：①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個周期。②若函數(shù)y=f(x) 圖像同時關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱 （a≠b），則y =f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。

③若函數(shù)y= f(x)圖像既關(guān)于點A(a ,c) 成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y=f (x)是周期函數(shù)，且4|a－b|是其一個周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A(a ,c) 成中心對稱，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）

又∵函數(shù)y= f(x)圖像直線x =b成軸對稱，

∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)=2 c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f[2(a－b)+x]=2c－f [4(a－b) +x]代入（**）得：

f(x)= f[4(a－b)+x],故y= f(x)是周期函數(shù)，且4|a－b|是其一個周期。

二、不同函數(shù)對稱性的探究

定理4：函數(shù)y= f(x)與y= 2b－f(2a－x)的圖像關(guān)于點A (a ,b)成中心對稱。

定理5：①函數(shù)y=f(x)與y=f(2a－x)的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱。②函數(shù)y=f(x)與a－x= f (ay)的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對稱。③函數(shù)y=f(x)與x－a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線x－y=a成軸對稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③，設(shè)點P(x0,y0)是y= f(x)圖像上任一點，則y0=f (x0)。記點P(x,y)關(guān)于直線x－y = a的軸對稱點為P‘（x1，y1），則x1=a+y0, y1= x0－a ，∴x0= a + y1, y0= x1－a 代入y0= f (x0)之中得x1－a= f(a + y1) ∴點P‘（x1，y1）在函數(shù)x－a= f(y + a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)x－a= f(y+a)的圖像上任一點關(guān)于直線x－y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y= f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱。

三、三角函數(shù)圖像的對稱性列表

注：①上表中k∈Z；②y=tan x的所有對稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案（修訂版）中都認為y=tanx的所有對稱中心坐標(biāo)是(kπ,0)，這明顯是錯的。