俞建棟

一、緣 起

在小學(xué)數(shù)學(xué)各種習(xí)題中，我們幾乎很難碰到一題讓學(xué)生做錯(cuò)也讓教師教錯(cuò)的習(xí)題. 然而，2次的六年級教學(xué)經(jīng)歷，還真有這么一題幾乎讓大多數(shù)師生都上當(dāng)?shù)牧?xí)題. 在人教版六下年級的練習(xí)中，有這么一題：

“為慶祝元旦，三（1）班同學(xué)做小紅旗. 現(xiàn)在有一張長1.4米，寬0.9米的長方形卡紙，最多可以做這樣的小紅旗多少面？”

2011年，第一次碰到時(shí)，學(xué)生的答案幾乎就兩種63面和56面（具體分析后面展開）. 在課堂上與學(xué)生分析后一致認(rèn)為是56面是正確的. 正當(dāng)大家都認(rèn)為沒有疑義的時(shí)候，班級中平時(shí)思維最活躍的沈同學(xué)站起來說：“我認(rèn)為最多可以剪出60個(gè)”，并演示了他的畫法，雖然他的解釋沒有讓學(xué)生一下子明白，但給了我啟示. 事后，我驗(yàn)證了他的想法完全正確，并把他的想法用六年級能理解的角度進(jìn)行了分析，讓學(xué)生都感意外. 但更讓人意外的事，回到辦公室后，與同年級的教師交流，發(fā)現(xiàn)其他同年級的數(shù)學(xué)教師教的都是56面這一答案. 后來，我還把這一題編入了六下的典型錯(cuò)例. 2014年，我又換了一所學(xué)校，并又經(jīng)歷了一次六年級，發(fā)現(xiàn)還是這樣一個(gè)“老故事”：讓大多數(shù)學(xué)生和同年級的教師都認(rèn)為正確的錯(cuò)誤答案“56面”.

二、錯(cuò)例再現(xiàn)

以上就是學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)最多的兩種答案，第一種師生分析后都認(rèn)為是錯(cuò)誤的，而第二種卻是讓師生都認(rèn)為正確的錯(cuò)誤答案.

三、錯(cuò)因分析

學(xué)生訪談：

師：說說看到這道題目你第一反應(yīng)是怎么去解決它？

生1：我當(dāng)初做這道題目時(shí)，想想是求最多，所以就用“大面積除以小面積”，第一步就是把長方形和三角形的面積求出來，然后再用長方形的面積去除以三角形的面積.

師：（疑惑）以前我們鋪地磚問題，是用過這個(gè)方法，但有的時(shí)候是不是要考慮邊長啊……

生1：（恍然大悟）哦，對的，我忽略了三角形的邊長和長方形的邊長之間的長短關(guān)系，9除以2除不通的，會(huì)產(chǎn)生多余的. 所以這種方法是錯(cuò)誤的.

生2：是的，我就是不用大面積除以小面積，用實(shí)際的邊長除以邊長的. 而且我是先把2個(gè)三角形拼成正方形，然后用長方形的長和寬分別除以正方形的邊長，算算一排能放幾個(gè)，能放幾排. 然后算出有多少個(gè)三角形.

師：哦，其實(shí)第二名同學(xué)的想法已經(jīng)非常不錯(cuò)了，考慮到三角形可以拼成正方形，然后通過算正方形的個(gè)數(shù)，但其實(shí)這題中三角形拼成正方形除了2個(gè)來拼外，還可以用4個(gè)來拼，你能想到嗎？（如右圖）

生：好像可以的.

師：那這個(gè)正方形的邊長是多少呢？

生：……（顯然學(xué)生對4個(gè)三角形拼成的這個(gè)正方形的邊長無從下手. ）

原因分析：

1. 第一種錯(cuò)誤顯然學(xué)生用了長方形的面積除以三角形的面積，沒有考慮到數(shù)學(xué)問題和生活實(shí)際問題的區(qū)別.

2. 第二種錯(cuò)誤顯然是錯(cuò)誤率高得驚人，我們大多數(shù)老師都可能不會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤. 因?yàn)槲覀冊诜治鰰r(shí)注意了把兩個(gè)三角形拼成邊長為2的正方形，而想到4個(gè)這樣的三角形還可以拼成一邊長約為3的正方形，這個(gè)是很多學(xué)生和教師沒有想到的.

3. 從知識(shí)的角度來說，4個(gè)這樣的三角形還可以拼成一邊長約為3的正方形需要勾股定理來驗(yàn)證，有一定的難度，沒有老師的點(diǎn)撥學(xué)生一時(shí)想不出來. 在訪談和實(shí)際教學(xué)中如何讓理解這個(gè)大正方形的邊長約為3也成為解這道題的難點(diǎn). 其實(shí)通過訪談和分析，我認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)較好地掌握了圖形分割的基本模型. 兩種方法都是計(jì)算圖形分割的常用方法，而且當(dāng)邊長正好成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，這兩種方法的計(jì)算結(jié)果是一致的，但當(dāng)遇到非整除情況用“去尾法”取整數(shù)，所以其實(shí)錯(cuò)解2是學(xué)生到目前知識(shí)水平中最熟悉的和能理解的方法，之前遇到的題型也基本是這種類型的. 那么本題中另一種解法，是編者的無心插柳，還是有意為之呢？

四、教學(xué)改進(jìn)

1. 幫助學(xué)生理解“大面積÷小面積”這種方法在生活實(shí)際面積問題時(shí)有局限性，如果邊長剛剛不是整倍數(shù)時(shí)，就會(huì)有多余，需要用剪拼的方法來思考問題. 除面積問題外，生活中在包裝問題、分組問題等運(yùn)用到的進(jìn)一法或去尾法也是相同的道理.

2. 可以把題中“最多可以做這樣的小紅旗多少面？”改為“可以做這樣的小紅旗多少面？”降低題目的要求，突出解題策略的多樣性，同時(shí)也更符合教材的編寫意圖和讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的教學(xué)理念. 也讓小學(xué)階段師生都比較理解的認(rèn)可的錯(cuò)誤的正確答案“56面”變成真正的正確.

3. 重點(diǎn)讓學(xué)生動(dòng)手操作或畫圖的方法嘗試若干個(gè)等腰直角三角形如何拼成正方形，并說說這個(gè)正方形的邊長是多少？從實(shí)踐的情況來看，大多數(shù)的學(xué)生都得到右圖的第一種情況2個(gè)三角形拼成正方形. 訪談分析其主要原因，首先是思維定式，顯然這種情況平時(shí)拼的次數(shù)最多，最容易計(jì)算；其次右圖中的第二種情況，部分學(xué)生能夠想到，但對于邊長是多少的問題顯然面露難色，直接放棄. 所以，如何讓學(xué)生理解4個(gè)三角形拼成的正方形的邊長是多少成為解決本題的一個(gè)關(guān)鍵. 因此，在教學(xué)中我們可以這樣去引導(dǎo)：首先讓學(xué)生嘗試算一算這個(gè)正方形的面積是多少？然后估計(jì)一下這個(gè)正方形的邊長接近多少？巧妙的讓學(xué)生分析4個(gè)三角形拼成的正方形面積是8，進(jìn)而推算正方形的邊長就小于3，因?yàn)槿绻?的話面積就是9了，最后得出這個(gè)正方形的邊長接近3但小于3. 這樣的引導(dǎo)，顯然避免了需要用初中勾股定理去計(jì)算精確值，既適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平，又靈活的體驗(yàn)到估算的應(yīng)用價(jià)值，也不影響最后的結(jié)論得出. 這也是我前面所說比課本例題更巧妙的地方.