汪思園

【摘要】 綜合學(xué)過的教學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)及如何正確的把反證法運(yùn)用到數(shù)學(xué)中.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)；反證法；認(rèn)知

一、自主探究

1. 復(fù)習(xí)舊知識(shí)：在課堂教學(xué)中，學(xué)生應(yīng)已了解了直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法，綜合法是“由因?qū)Ч保治龇ㄊ恰皥?zhí)果索因”，這2種證明方法各有所長(zhǎng)，在解決具體的問題中，學(xué)生應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或把不同的證明方法綜合運(yùn)用.

2. 對(duì)比中學(xué)習(xí)新知識(shí)：反證法是間接證明的一種基本方法，是從反方向證明的方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，經(jīng)過推理導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題. 法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（Hadamard）對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”. 具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當(dāng)作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明.

3. 問題探究：反證法會(huì)在怎么樣的情況下運(yùn)用？ 其推出的矛盾是如何得到的？

二、要點(diǎn)的詮釋

1. 反證法的原理是“否定之否定等于肯定”.

用反證法解題的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾，從而說明原理結(jié)論正確，否定結(jié)論：對(duì)結(jié)論的反面要一一否定，不能遺漏；否定一個(gè)反面之反證法稱為歸謬法，否定2個(gè)或是2個(gè)以上反面之反證法稱為窮舉法，要注意用反證法解題，否定結(jié)論在推理論證中作為已知使用，導(dǎo)出矛盾是指在假設(shè)的前提下，邏輯和推理結(jié)果與“已知條件、假設(shè). 公理、定理或顯然成立的事實(shí)”等相矛盾.

2. 反證法是以正面“存在性、唯一性、帶有‘至少有一個(gè)或‘至多有一個(gè)等字樣”的一些數(shù)學(xué)問題.

用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面為“<”，“≤”的反面為“>”，“>”的反面“≤”，“<”的反面為“≥”，“≠”的反面為“=”，“=”的反面為“≠”或“>”及“<”.

反證法屬邏輯方法范疇，他的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論（假設(shè)）”第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”.

3.反證法中常見的矛盾：①與假設(shè)矛盾，②與公認(rèn)的事實(shí)矛盾，③與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾.

4. 反證法的證明在數(shù)學(xué)命題應(yīng)用中的一般步驟

① 分清命題的條件和結(jié)論.

② 作出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè).

③ 由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果.

④ 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假設(shè)不正確，于是原來結(jié)論成立，從而間接證明命題為真.

三、典例精析

類型一：證明“存在”、“唯一”型命題

例1 求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).

證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即有兩種可能：無交點(diǎn)和不只有一個(gè)交點(diǎn).

①若直線a，b無交點(diǎn)，那么a∥b或a，b是異面直線，與已知矛盾.

②若直線a，b不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有2個(gè)交點(diǎn)A和B，這樣同時(shí)經(jīng)過A，B就有2條直線，這與“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾.

本題中的2種情況，缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，啟示：通過本題的結(jié)論可以看出，在用反證法證明“存在”或“唯一”型命題，反設(shè)結(jié)論時(shí)要全面.

類型二：證明“至多”、“至少”、“無限”型命題

啟示：使用反證法時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

（1）當(dāng)遇到“否定性”“唯一性”“無限性”“至多”“至少”等類型時(shí)，常用反證法.

（2）用反證法證明的一般過程是：

① 否定結(jié)論？圯A？圯B？圯C；

② 而C不合理與課本公理抵觸，與此前定理不相容，與本題題設(shè)沖突，與臨時(shí)假定違背自相矛盾；

③ 因此假設(shè)結(jié)論不能否定，故原結(jié)論正確.

四、學(xué)后反思

在教學(xué)課堂中數(shù)學(xué)教師要一步步慢慢的引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的思路步驟，最后總結(jié)用反證法證明問題的條件，期待以后更好的運(yùn)用到學(xué)習(xí)中，舉一反三.