陶繼智

函數(shù)與方程的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法、邏輯劃分的思想方法等，是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法。如果說數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)形式的話，那么，數(shù)學(xué)思想就是妙解數(shù)學(xué)問題的靈魂。本文就數(shù)學(xué)思想方法解決自主招生和數(shù)學(xué)競賽中的幾個(gè)熱點(diǎn)問題之應(yīng)用談點(diǎn)體會(huì)。

一、多項(xiàng)式與方程問題

多項(xiàng)式與方程的零點(diǎn)問題一直是自主招生考試中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，因?yàn)樗?/p>

特別能體現(xiàn)各種代數(shù)知識(shí)點(diǎn)的交匯，如韋達(dá)定理﹑零點(diǎn)存在定理﹑整數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式的根及其推論﹑函數(shù)性質(zhì)﹑三角問題等，這類問題常常能體現(xiàn)考生的數(shù)學(xué)代數(shù)功底，因此頗受命題老師的青睞。解決此類問題常常通過換元的手段，運(yùn)用函數(shù)與方程﹑數(shù)形結(jié)合﹑邏輯劃分等數(shù)學(xué)思想方法，等價(jià)化歸為已知問題求解。

[例]（2008年北京大學(xué)自主招生）：已知

[評(píng)析]本例結(jié)合條件聯(lián)想到韋達(dá)定理利用函數(shù)與方程的思想構(gòu)造函數(shù)，使

問題得以順利進(jìn)入求解過程，結(jié)合函數(shù)的特點(diǎn)利用數(shù)形結(jié)合的思想使得以順利求解。

二、恒成立問題

恒成立問題由于涉及常見函數(shù)的性質(zhì)、圖象﹑導(dǎo)數(shù)﹑不等式等重要知識(shí)點(diǎn)，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此它不僅在近年來高考中頻頻出現(xiàn)，也是自主招生和數(shù)學(xué)競賽中的重要考點(diǎn)。恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法求解。

[評(píng)析]這是一個(gè)典型的利用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的范例，首先用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最值問題，繼而利用邏輯劃分和數(shù)形結(jié)合的思想方法求函數(shù)最值，當(dāng)然，局部問題還可以化歸為Cauchy不等式來解決。

三、不等式與最值問題

不等式問題由于解題方法沒有固定程序，因題而異，而且靈活多樣，技巧

性強(qiáng)，是考查考生思維靈活性﹑嚴(yán)謹(jǐn)性﹑創(chuàng)新性甚至批判性的重要途徑，因此，無論是高考還是自主招生和數(shù)學(xué)競賽到處都有它的出現(xiàn)。不等式問題常常分為三類：證明不等式﹑解不等式和不等式的應(yīng)用。解決不等式問題常常要用到的基本知識(shí)點(diǎn)有均值不等式﹑Cauchy不等式﹑排序不等式﹑Jensen不等式等，常常用到的方法有綜合法﹑分析法﹑構(gòu)造法﹑換元法﹑數(shù)學(xué)歸納法等，數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用更是無處不在。

[評(píng)析]本問題結(jié)合原不等式的形式，利用函數(shù)與方程的思想方法，構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)來解決問題。其實(shí)這是一個(gè)非常重要的不等式，利用它我們可以使很多問題轉(zhuǎn)化解決。

理解中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)，掌握基本數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)根據(jù)實(shí)際情況，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法，從而就找到了解決數(shù)學(xué)問題的靈魂。