曲子芳

摘要：本文從概率論與數(shù)理統(tǒng)計的學(xué)科特點出發(fā)，討論了在課堂授課過程中精選教學(xué)案例進(jìn)行教學(xué)。將數(shù)學(xué)建模思想適時引入，運用功能強(qiáng)大的統(tǒng)計軟件，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力，更好地提高課堂教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計；教學(xué)案例；數(shù)學(xué)建模；Excel軟件

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）09-0143-02

一、引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是從數(shù)量角度研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科。它已廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、保險業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及軍事科學(xué)等諸多領(lǐng)域。有些還形成了交叉學(xué)科，比如生物統(tǒng)計、數(shù)理金融等。概率論與數(shù)理統(tǒng)計能更好地滿足現(xiàn)代科技人才對隨機(jī)數(shù)學(xué)基本知識理論的需求。不僅理工科高等院校，經(jīng)管類院校也將概率論與數(shù)理統(tǒng)計作為本科必修課程之一。如何讓學(xué)生更好更快地掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本理論和基本方法，本文對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課堂教學(xué)給出了幾點建議。

二、教學(xué)方法改革

（一）精選案例教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

傳統(tǒng)單一的教學(xué)模式在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面會大打折扣?！芭d趣是最好的老師”。如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，需要將實際生活中的案例引入進(jìn)來，結(jié)合案例進(jìn)行講解。通過教師設(shè)定的具體真實的場景，讓學(xué)生自主或分組討論，最終給出解決問題的方法。案例教學(xué)以學(xué)生為主，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲。教學(xué)案例在選擇時注意與專業(yè)知識和日常生活結(jié)合，突出社會熱點等。比如，在第一堂課就可以引用案例來介紹概率論的起源。早在17世紀(jì)中葉，法國兩位數(shù)學(xué)家帕斯卡和費馬在往來書信中討論“合理分配賭注問題”時就有了概率論中古典概型的雛形。為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可將此問題簡化為一個簡單案例讓學(xué)生參與討論。

案例1 甲乙兩人拋擲一枚均勻硬幣，若正面向上，甲得一點，反面向上，乙得一點，優(yōu)先積滿3點者拿走所有賭注。假如比賽在甲得2點，乙得1點時被迫終止了，問如何分配賭注才算公平合理？

針對這一案例，可讓學(xué)生分組討論，給出他們認(rèn)為的合理的分配方法，最后再給出帕斯卡和費馬的不同解答。帕斯卡：若再擲一次，甲勝，甲獲全部賭注，兩種情況可能性相同，將這兩種情況平均一下，乙勝，甲乙平分賭注；所以甲應(yīng)得賭注的3/4，乙得賭注的1/4。費馬：結(jié)束賭局至多還要2局，結(jié)果有4種等可能情況：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙。前3種情況，甲獲全部賭注，僅第4種情況，乙獲全部賭注，所以甲分得賭注的3/4，乙得賭注的1/4。

另外，在講解基本概念、基本公式及基本理論時，如果也能適時地選取案例，會起到事半功倍的效果。常見案例比如有：生日問題、保險問題、彩民中獎問題、排隊等待問題等。教師可根據(jù)與之相關(guān)的理論知識，編寫有關(guān)的案例，安排合適的場景，設(shè)定問題，讓學(xué)生參與進(jìn)來，運用所學(xué)理論，最終給出最佳的解決問題的方法。

案例2 某學(xué)校有6000名學(xué)生，每天傍晚打開水的人較多，開水房經(jīng)常出現(xiàn)排長隊現(xiàn)象，應(yīng)增加多少個水龍頭才能解決這種現(xiàn)象？

首先讓學(xué)生統(tǒng)計開水房現(xiàn)有的水龍頭個數(shù)，再調(diào)查每個學(xué)生在傍晚一般有多少時間占用一個水龍頭（如0.5%），最后分析發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生占用水龍頭是相互獨立的，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到中心極限定理。又考慮到每個人有兩種情況：占用水龍頭和不占用水龍頭。占用水龍頭的概率是0.005，所以學(xué)生是否占用水龍頭可以看作是一次獨立試驗，該問題就可以看作是n=6000的n重伯努利試驗。設(shè)用水龍頭的學(xué)生數(shù)為X，則X～B（6000，0.005），可以用德莫佛-拉普拉斯中心極限定理解決問題。類似的案例還有餐廳、醫(yī)院、車站、郵局等服務(wù)窗口個數(shù)的合理設(shè)置問題。

適當(dāng)選取生動形象的案例輔助教學(xué)，可以活躍課堂氣氛，加深對知識點的理解，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

（二）巧用數(shù)學(xué)建模，系統(tǒng)掌握理論方法

數(shù)學(xué)建模是通過對實際問題進(jìn)行抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理后，將之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，然后運用數(shù)學(xué)方法及計算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)建模中常用模型主要有優(yōu)化模型、微分方程模型、統(tǒng)計分析模型、運籌模型等，其中的統(tǒng)計分析模型主要是處理隨機(jī)性問題。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中引進(jìn)數(shù)學(xué)模型會提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具分析和解決實際問題的思維和能力。數(shù)學(xué)建模有三個重要環(huán)節(jié)：首先，建立模型，主要是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；其次，數(shù)學(xué)解答，即利用數(shù)學(xué)方法對數(shù)學(xué)問題求解；最后，模型檢驗，將得到的結(jié)論方法再應(yīng)用到實際問題中。這種思維方式很多學(xué)生缺乏，適當(dāng)?shù)乩脭?shù)學(xué)建模鍛煉這種處理問題的思維方式很有必要。實際生活中有許多問題可以用概率論與數(shù)理統(tǒng)計結(jié)合數(shù)學(xué)模型來解決。比如，免費抽獎問題、公交大巴車門高度設(shè)計問題、商品訂貨及銷售預(yù)算問題、捕魚問題、假設(shè)檢驗、氣候預(yù)測等。下面列舉一個利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識進(jìn)行數(shù)學(xué)建模解決實際問題的例子。

例：某商店對某種品牌家用電器的銷售采用先使用后付款的方式，規(guī)定：使用不超過一年，付款1500元/臺；使用超過1年不滿2年，付款2000元/臺；使用超過2年不滿3年，付款2500元/臺；超過3年，付款3000元/臺。假設(shè)電器的使用壽命服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布，試檢驗該銷售策略是否比正常營銷策略有優(yōu)勢？

分析：一般正常銷售策略會在進(jìn)價基礎(chǔ)上增加一點額度進(jìn)行交易，而上述策略中具體一臺家用電器的收費是隨機(jī)的，由使用時間而定，所以想到這是概率論中的一個離散型隨機(jī)變量，設(shè)為Y，為比較合理性，需要計算出每臺電器的平均收費，即概率論中關(guān)于離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算。由此，必須要先確定離散型隨機(jī)變量Y的分布律，而Y的分布律由使用壽命決定，設(shè)為隨機(jī)變量X，于是給出問題解答：

設(shè)使用壽命為X，X服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布，即X～e（0.1），

于是一臺收費Y的分布律為

計算得E（Y）=2727.1，即平均一臺家用電器收費為2727.1元。

有了上述結(jié)果，即可與以往只單純提高價格的銷售方式相比較，從而選擇利益最大化的銷售方式。

（三）借用統(tǒng)計軟件，使繪圖和計算簡單、精確

在當(dāng)前信息數(shù)據(jù)數(shù)量大、范圍廣、變化快的形勢下，傳統(tǒng)的人工處理手段無法適應(yīng)經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展對統(tǒng)計提出的要求，也難以提高數(shù)據(jù)處理的速度和精度。計算機(jī)軟件的發(fā)展，特別是統(tǒng)計軟件的應(yīng)用，使得在圖像處理、統(tǒng)計信息存貯和檢索、分析計算等方面有了很大提高。

常用的統(tǒng)計分析軟件有SAS、SPSS、Matlab、Excel軟件等，其中以功能多、技術(shù)先進(jìn)、使用方便的Excel軟件受到青睞。Excel軟件是表格式數(shù)據(jù)綜合管理和分析系統(tǒng)，它采用電子表格方式進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，提供了豐富的函數(shù)，可以進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計分析和決策輔助；還具有很好的制圖功能。利用Excel軟件可以繪制箱線圖、假設(shè)檢驗、方差分析、一元線性回歸等方面的問題。比如，在利用χ2檢驗法確定檢驗問題的p值時，可以利用Excel工作表，單擊“插入”，對于彈出的菜單單擊“函數(shù)”，再對于彈出的菜單單擊“CHIDIST”，然后單擊“確定”，即彈出對話框。對顯示的對話框鍵入x和自由度df值，即得到p值。對于t檢驗法和F檢驗法也有相應(yīng)的函數(shù)可用。另外，在建立方差分析表時，需要計算因素S與誤差S時，數(shù)據(jù)多，公式復(fù)雜，計算量很大，利用Excel軟件便可快速得到結(jié)果，簡單方便。

三、結(jié)束語

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)中，采用與實際生活聯(lián)系緊密的問題來設(shè)計教學(xué)案例，將實際問題和理論知識聯(lián)系起來，能促進(jìn)學(xué)生對問題進(jìn)行深入地研究和思考。探索把建模思想更好地融入概率統(tǒng)計教學(xué)的途徑或方法，有效提高學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的意識和能力。應(yīng)用統(tǒng)計軟件求解問題的教學(xué)過程使計算結(jié)果在課堂教學(xué)中得到即時呈現(xiàn)，軟件的圖形功能也使實際問題的結(jié)論更加直觀。總之，在教學(xué)過程中靈活運用多種教學(xué)手段，通過具體生動的實例把抽象的概念形象化，輔之以現(xiàn)代化教學(xué)方式，會極大地提高教學(xué)效果。

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