周艷麗++++閔建中

摘 要： 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)建模思想，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、實踐能力和創(chuàng)新能力是一條有效途徑。本文主要討論將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法、作用和意義。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)教學(xué) 案例 數(shù)學(xué)建模思想

1.引言

高職高專教育培養(yǎng)學(xué)生要有較強的職業(yè)綜合能力和解決實際問題的能力，而傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容和方法存在一個最重要的問題就是理論與實際聯(lián)系不夠緊密，其后果是，學(xué)生學(xué)了不少數(shù)學(xué)知識，但不會應(yīng)用。案例教學(xué)法作為一種新型的教學(xué)方法不僅已遍及美國，而且早已波及美國以外的國家，我國的案例教學(xué)法也有20多年的歷史。據(jù)調(diào)查，在分析能力培養(yǎng)方面，案例教學(xué)法居第一位，在知識傳授、學(xué)員對知識的接受程度、知識保留的持久性等三個方面案例教學(xué)法均居第二位，在態(tài)度轉(zhuǎn)變和人際關(guān)系能力培養(yǎng)上居第四位?？梢?，適度應(yīng)用案例教學(xué)發(fā)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于提高學(xué)生的實際解決問題的能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)。

我校自2009年參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模以來，一直注重在高等數(shù)學(xué)教學(xué)程中融入數(shù)學(xué)建模思想，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會于1992年創(chuàng)辦，每年一屆，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競賽。2015年，來自全國33個省/市/自治區(qū)（包括香港和澳門特區(qū)）及新加坡和美國的1326所院校、28574個隊（其中本科組25558隊、專科組3016隊）、85000名大學(xué)生報名參加本項競賽。

實踐表明，將數(shù)學(xué)模型案例融入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，對培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，抽象思維能力，邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運算能力，更新數(shù)學(xué)知識能力，以及分析、解決實際問題的能力能起到重要作用，有利于培養(yǎng)有創(chuàng)新精神的復(fù)合型人才。目前教育界已達成共識，應(yīng)實現(xiàn)從以傳授知識為主要目標的繼承性教育轉(zhuǎn)變到以培養(yǎng)能力為主要目標的創(chuàng)新教育。在數(shù)學(xué)教學(xué)中在傳授知識的基礎(chǔ)上，重視培養(yǎng)學(xué)生的能力，提高學(xué)生的素質(zhì)，特別注重學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。為此，要全面提高大學(xué)生的素質(zhì)，培養(yǎng)有創(chuàng)新精神的復(fù)合型人才，還要在平時的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想，起到“潤物細無聲”的作用。

2.通過案例在概念教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)發(fā)展的根本原動力，不是來自它的內(nèi)部，而是來自它的外部，來自客觀實際的需要。因此我們在數(shù)學(xué)建模思想的融入中，主張突出數(shù)學(xué)思想的來龍去脈，揭示數(shù)學(xué)概念和公式的實際來源和其應(yīng)用[1]。例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是數(shù)學(xué)建模思想在極限概念上的應(yīng)用。當正多邊形的邊數(shù)越大，則內(nèi)接正多邊形的面積與圓的面積就越接近。學(xué)生隨著正多邊形的邊數(shù)的增加對極限的概念有了深刻了解，然后從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，引出數(shù)學(xué)概念。從提出問題到解決問題，讓學(xué)生積極參與教學(xué)中，大大增強了教學(xué)效果。其他概念如導(dǎo)數(shù)、定積分、極值、微分方程等均可以從實際案例引入，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，使其由被動學(xué)習(xí)到主動研究。

3.應(yīng)用性案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的應(yīng)用能力

要激發(fā)學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)以致用的意識和能力，關(guān)鍵是激發(fā)他們對數(shù)學(xué)重要性和實用性的再認識。在教學(xué)過程中適當引入與課堂知識相關(guān)的簡單數(shù)學(xué)模型案例是行之有效的方法。數(shù)學(xué)模型本身就是用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的手段和橋梁，直接面向現(xiàn)實，走進生活，使學(xué)生很容易領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)工具在解決實際問題中的強大威力，如通過對工程、生物、人口、醫(yī)藥、環(huán)境、市場預(yù)測、金融、保險業(yè)務(wù)分析等數(shù)學(xué)模型案例的研究及將工程技術(shù)領(lǐng)域的新知識、新技術(shù)、新內(nèi)容、新工藝、新案例及時反映到教學(xué)中，學(xué)生能真切感受到數(shù)學(xué)知識在各領(lǐng)域中的應(yīng)用，使學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)是解決實際問題的銳利武器，有利于教學(xué)中貫徹理論和實際相結(jié)合的原則，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情和興趣，可以大大提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。下面通過具體的案例說明在教學(xué)中如何融入數(shù)學(xué)建模思想。

在講授閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值存在定理時，除了一些常規(guī)的介值定理應(yīng)用例子之后，特選了如下案例[2]：在一塊不平的地面上能否把一張方桌放穩(wěn)？這是個在日常生活中司空見慣的實例，學(xué)生首先感到很熟悉，帶有親切感。問題雖然看似簡單，但是怎樣才能將它與今天所學(xué)的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來呢？這個案例激發(fā)了他們對問題的好奇心和學(xué)習(xí)的興趣，促使他們思考問題和分析問題。下面引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題。

問題分析：（1）憑經(jīng)驗桌子腿有“缺陷”是放不穩(wěn)的；（2）在有臺階的地方或地面“崎嶇”也是方不穩(wěn)的。

問題轉(zhuǎn)化：證明桌子放穩(wěn)即四個腳與地面距離為零。

問題解決：（1）用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來：（a）（椅子位置）利用正方形“椅腳連線”的對稱性，用（對角線與x軸的夾角）表示椅子位置；（b）（四只腳著地）椅腳與地面距離為零，距離是θ的函數(shù)；（c）四個距離（四只腳）利用利用正方形的對稱性轉(zhuǎn)化為兩個距離。

（2）設(shè)A、C兩腳與地面距離之和f（θ），B、D兩腳與地面距離之和g（θ），則f（θ）和g（θ）均為連續(xù)函數(shù)，又因為在任何位置，至少有三條腿著地，即對任意θ，f（θ），g（θ）至少一個為0。

（3）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：已知：f（θ），g（θ）是連續(xù)函數(shù)；即對任意θ，f（θ）g（θ）=0；且g（θ）=0，f（0）>0。證明：存在θ■，使f（θ■）=g（θ■）=0。

這是個看似和數(shù)學(xué)問題毫無關(guān)系的生活實例，通過數(shù)學(xué)建模的手段轉(zhuǎn)化為一個簡單的數(shù)學(xué)問題，同時又能用當堂所學(xué)知識解決。這樣能加深學(xué)生對本課程知識應(yīng)用價值的理解，有利于學(xué)生能力的訓(xùn)練。同時體現(xiàn)了學(xué)以致用的價值，消除學(xué)了而不會用的尷尬局面。

類似的案例很多，如：在講完一元函數(shù)極值后可以引入易拉罐設(shè)計問題。在定積分的應(yīng)用中，讓學(xué)生先了解定義積分的概念意義及“四步曲（即分割、取近似、求和、取極限）”，是利用定積分解決實際問題的關(guān)鍵。作為積分的實際應(yīng)用，除了介紹功、引力等物理和體積、面積等幾何應(yīng)用外，還可以介紹社會、經(jīng)濟應(yīng)用問題，比如存貯問題[3]。在微分方程中，結(jié)合一些人們所關(guān)心的一些實際的問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)的重要性。如對人口發(fā)展的預(yù)測（人口模型），新產(chǎn)品的銷售問題，放射性廢物的處理問題，SARS和HIV等疾病的傳播機理，等等[4]。通過這些實例，讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)在科學(xué)的發(fā)展過程中的重要作用，更重要的是學(xué)生體會到在真正的應(yīng)用中還需繼續(xù)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能將學(xué)過的數(shù)學(xué)知識與方法應(yīng)用于實踐。結(jié)合日常生活中的實際問題進行建模，讓學(xué)生實實在在地體會到數(shù)學(xué)就在我們身邊，所學(xué)數(shù)學(xué)知識與日常生活及現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)是密不可分的，使學(xué)生在分析實際數(shù)學(xué)建模案例過程中體會數(shù)學(xué)的樂趣與應(yīng)用價值，從而達到培養(yǎng)學(xué)生解決實際應(yīng)用問題能力的目的。

4.課后實踐，加強實際解決問題的能力

由于課時有限，課堂上沒有足夠的時間讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模，因此只能適當延伸到課外，給學(xué)生布置一些較典型的、貼近生活的實例，如全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的相關(guān)題目：手機套餐優(yōu)惠問題、捕魚問題、洗衣機節(jié)水問題、養(yǎng)老金的問題、公交車調(diào)度、養(yǎng)豬問題、DVD租賃問題、紅綠燈設(shè)置、眾籌建房問題等。要求三個同學(xué)一組，以團隊的形式共同進行研究，小組成員相互協(xié)作各盡其能，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想解決問題，寫清解題思路和方法，從而提高學(xué)生建模能力，這樣為將來參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽奠定了基礎(chǔ)[5]。

5.數(shù)學(xué)模型案例選擇的原則

（1）案例要符合生活實際，使學(xué)生真正感覺到數(shù)學(xué)來自生活實際，又能經(jīng)得起實踐的檢驗。

（2）案例內(nèi)容取材廣泛，而且能反映多個領(lǐng)域，反映科技進步，反映現(xiàn)實生活。豐富生動的內(nèi)容有利于擴大學(xué)生的知識面，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

（3）明確主旨，模型案例在教學(xué)過程中應(yīng)作為插件，故內(nèi)容僅僅集中針對該門課程的概念和重要內(nèi)容，不要遍地開花。

（4）建模和求解的方法盡可能與本課程的知識相聯(lián)系。這樣能加深學(xué)生對本課程知識應(yīng)用價值的理解，有利于學(xué)生能力的訓(xùn)練，同時體現(xiàn)了學(xué)以致用的價值，消除學(xué)了而不會用的尷尬局面。

6.數(shù)學(xué)建模案例融入高等數(shù)學(xué)的意義

數(shù)學(xué)模型案例可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和解決實際問題的能力的發(fā)展而不僅僅是獲得固定基本概念、定義、定理。它所解決的是如何用更有效的方式獲得這些知識。數(shù)學(xué)模型案例教學(xué)是一種動態(tài)的、開放的教學(xué)方式，改變了數(shù)學(xué)課程那種僅僅依賴由教師單項傳輸知識的模式。它提高了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的參與度，學(xué)生的主觀能動性在建模過程中能得到充分發(fā)揮。好的模型案例能引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和方法的濃厚興趣，并激發(fā)他們自己解決相關(guān)實際問題的欲望，因此數(shù)學(xué)模型案例有助于促進獨立思考和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)模型案例讓學(xué)生了解和逐步應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的全過程，在解決案例的過程中還反映了學(xué)生對數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法、建模方法等多方面內(nèi)容的掌握和應(yīng)用的能力，鍛煉了學(xué)生綜合運用各種理論知識、經(jīng)驗分析和解決問題的能力。因此數(shù)學(xué)模心案例有助于促進在實際工作中非常需要的綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)。正如中國科學(xué)院院士李大潛提出：“一定要將數(shù)學(xué)建模的精神融入到數(shù)學(xué)類主干課程中，才能算是真正牢固地占領(lǐng)了陣地?！盵1]

7.結(jié)語

融入數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)教育，能活躍數(shù)學(xué)課堂氣氛，充分鍛煉學(xué)生的思維能力和動手能力不斷提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力，真正把數(shù)學(xué)從一門單純的知識變成一種實用的技術(shù)。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)融入數(shù)學(xué)建模思想，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，為我國培養(yǎng)更多的富于競爭力的人才作出應(yīng)有的貢獻。實踐證明，在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，注重培養(yǎng)學(xué)生解決世紀問題的能力，是數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展方向“學(xué)數(shù)學(xué)”是為了“用數(shù)學(xué)”，我們應(yīng)該努力創(chuàng)造機會，讓學(xué)生自己動手解決一些簡單的實際問題，并強調(diào)對運用數(shù)學(xué)的方法進行推演或計算的結(jié)果，能用一般人能領(lǐng)會的語言“翻譯”出來，即用非數(shù)學(xué)的、非技術(shù)的語言描述結(jié)果。因此將數(shù)學(xué)建模的思想滲透于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，既符合當前素質(zhì)教育對高等數(shù)學(xué)教學(xué)提出的要求，又是切實可行的方法。

參考文獻：

[1]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)數(shù)學(xué)，2006（1）：9-11.

[2]周義倉，赫孝良.數(shù)學(xué)建模實驗[M].西安交大出版社，2007.

[3]姜啟源，謝金星.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]徐全智，楊晉浩.數(shù)學(xué)建模[M].高等教育出版社，2003.

[5]張勇，黃廷祝，傅英定.數(shù)學(xué)建模思想融入微積分課程教學(xué)初探[J].2010，26（2）：158-160.