摘 要：本文從科學(xué)研究的角度探討如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提倡將課堂教學(xué)過(guò)程當(dāng)成科學(xué)研究的過(guò)程進(jìn)行，指出應(yīng)該從宏觀與微觀兩個(gè)層面把握課堂，只有熟悉數(shù)學(xué)史、具有一定科研經(jīng)驗(yàn)的積累才能成為一個(gè)合格教師。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)；科研；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；宏觀與微觀

一、引言

可能很多人覺(jué)得數(shù)學(xué)教學(xué)不是個(gè)什么了不起的事，老師將概念、定理講清楚就可以了，至于效果如何，全看學(xué)生的悟性。幾十年來(lái)，我們進(jìn)行了各個(gè)層面上的改革，從課程體系到教材，取得的改革成果是巨大的。但這種改革對(duì)于老師的實(shí)際課堂教學(xué)產(chǎn)生了什么影響，產(chǎn)生了多大影響，只要走進(jìn)課堂就不難看出來(lái)。實(shí)事求是地說(shuō)，改革與實(shí)際的教學(xué)之間仍存在著脫節(jié)與不相協(xié)調(diào)。

與課堂教學(xué)相比，課程體系改革、教材改革相對(duì)容易很多，因?yàn)樗婕暗闹皇钦n程體系研究者、教材編寫(xiě)者等少數(shù)人，然而，課堂教學(xué)則涉及每個(gè)教師。教師知識(shí)結(jié)構(gòu)的差異、教學(xué)態(tài)度的差異、表達(dá)能力的差異、數(shù)學(xué)素養(yǎng)與眼界的差異等都決定了不同的教師注定有著不同的教學(xué)風(fēng)格與教學(xué)效果。其中是否存在某些共性的東西對(duì)于每一個(gè)教師都具有參考價(jià)值？我們認(rèn)為是存在的。

二、把教學(xué)過(guò)程當(dāng)成科研過(guò)程

傳統(tǒng)的教學(xué)注重的是知識(shí)傳授與技巧的培訓(xùn)，忽略了一個(gè)更重要的東西——思想，缺少思想的教育不是教育，而是知識(shí)與技能培訓(xùn)。很多人認(rèn)為，學(xué)生掌握了某門(mén)課程的知識(shí)，會(huì)運(yùn)用這些知識(shí)解決一些問(wèn)題就足夠了。在我看來(lái)，這只是低層面上的要求。書(shū)本、知識(shí)、課堂三者之間是什么關(guān)系？大家都知道書(shū)本是知識(shí)的載體，那么知識(shí)與課堂是什么關(guān)系？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題恐怕就見(jiàn)仁見(jiàn)智了。也許很多人認(rèn)為，課堂是傳授知識(shí)的場(chǎng)所。我認(rèn)為只說(shuō)對(duì)了一半，因?yàn)橹R(shí)不是終結(jié)目標(biāo)，它也是一種載體，承載著幾十年甚至千百年來(lái)前人的智慧，這就是思想，換句話說(shuō)，知識(shí)是思想的載體。老師的任務(wù)又是什么？一言以蔽之，老師的任務(wù)是透過(guò)書(shū)本挖掘隱藏在知識(shí)背后的思想并展現(xiàn)給學(xué)生，這才是真正的教育。

過(guò)去我們往往更注重上課的細(xì)節(jié)，從板書(shū)、語(yǔ)言表達(dá)、儀態(tài)到內(nèi)容的組織，都講究一板一眼，恰恰忽略或淡化了思想性。學(xué)生從中學(xué)到了很多知識(shí)，但這些知識(shí)都是僵化的，缺少鮮活的靈魂，學(xué)生不僅失去了學(xué)習(xí)的激情，也不知道所學(xué)何用，在學(xué)生看來(lái)，學(xué)習(xí)的唯一目的是畢業(yè)、找工作，至于這些知識(shí)與他們?nèi)蘸蟮纳钆c工作有什么關(guān)系則一無(wú)所知。曾經(jīng)有學(xué)生問(wèn)我：“學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)有什么用？”我答曰：“可能對(duì)你毫無(wú)用處，也可能讓你終身受益，關(guān)鍵看你學(xué)什么，怎么學(xué)?！?/p>

如何面對(duì)教學(xué)？如何處理教學(xué)內(nèi)容？這是每個(gè)老師應(yīng)該認(rèn)真思考甚至終身思考的問(wèn)題。雖然我們把教研相長(zhǎng)放在嘴上，但在實(shí)際工作中則習(xí)慣于把教學(xué)與科研當(dāng)成關(guān)聯(lián)不大的兩件事，有些人甚至把科研當(dāng)成了主業(yè)，教學(xué)不過(guò)是糊口的副業(yè)。在一個(gè)以項(xiàng)目、論文論英雄的時(shí)代，老師的選擇倒是可以理解。但是，如果一個(gè)學(xué)?；蛘呃蠋焹H僅把“教學(xué)為本”當(dāng)成口號(hào)，注定將誤人子弟。遺憾的是，有一種現(xiàn)象不是個(gè)別的：一些年輕人在科研與教學(xué)二者之間，將“事業(yè)”的天平傾向了科研。站在年輕人的角度，他們的選擇一點(diǎn)也不奇怪，科研畢竟是吃青春飯的營(yíng)生，“少壯不努力，老大徒傷悲”，但身為教師，教學(xué)永遠(yuǎn)是主業(yè)，至少應(yīng)該教學(xué)科研二者并重。

有一次一位年輕教師聽(tīng)我的課，內(nèi)容是實(shí)變函數(shù)中極限與測(cè)度的交換順序問(wèn)題，具體地說(shuō)：“可測(cè)集列的極限與這些集合的測(cè)度序列之極限是否相等？”他問(wèn)我：“你在介紹這個(gè)定理的時(shí)候沒(méi)有直接陳述結(jié)論，而是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析最后找到測(cè)度與極限可以交換順序的條件，怎么想到這么講的？”我笑曰：“只要把講課的過(guò)程當(dāng)成科學(xué)研究的過(guò)程就能夠想到這么講?！?/p>

數(shù)學(xué)課堂的靈魂是什么？是思想，換句話說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)該是傳授思想的過(guò)程。思想是通過(guò)什么來(lái)展現(xiàn)的？是問(wèn)題，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該圍繞著問(wèn)題展開(kāi)。數(shù)學(xué)發(fā)展本來(lái)就是個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，老師的任務(wù)則是憑借研究經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)合情推理回歸這個(gè)過(guò)程。

有點(diǎn)研究經(jīng)驗(yàn)的人都知道，做研究首先需要選擇適當(dāng)?shù)恼n題，你首先要清楚為什么選擇某個(gè)課題？你想解決什么問(wèn)題？如果你連這些問(wèn)題都搞不清楚，你的選題必定是盲目的，前景如何就可想而知了。當(dāng)你選擇了一個(gè)課題，你需要根據(jù)你鎖定的問(wèn)題采用你所能想到的方法與手段去分析、演繹，最終得到你想要的結(jié)果。結(jié)果也許與你最初的設(shè)想有出入，但科學(xué)在于探索，如果結(jié)果是已知的，也就不成為探索了?？蒲兄杏袃蓚€(gè)能力是必需的：一是直覺(jué)，二是邏輯演繹與計(jì)算能力。直覺(jué)依賴(lài)于我們的科學(xué)素養(yǎng)與敏銳的“嗅覺(jué)”，Weyl在評(píng)價(jià)Hilbert時(shí)曾說(shuō)過(guò)這樣的話：“他就像一條嗅覺(jué)靈敏的狗，能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)哪里有骨頭并奮不顧身地猛撲上去?！焙茈y想象，一個(gè)人如果沒(méi)有了直覺(jué)，能夠從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)有規(guī)律性的東西。邏輯演繹與計(jì)算能力是一個(gè)人的基本功，沒(méi)有很強(qiáng)的推演與計(jì)算能力，即使有好的設(shè)想也變不成結(jié)果，永遠(yuǎn)只能停留在猜想上。直覺(jué)可以幫助我們“大膽猜測(cè)”，演繹與計(jì)算能力可以幫助我們“小心求證”。如果我們的教育不能培養(yǎng)學(xué)生這兩種能力，很難說(shuō)我們的教育是成功的。從這個(gè)意義上說(shuō)，教師自身不具備直覺(jué)與演繹能力，又如何培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)與演繹能力？老師只有具備了科學(xué)研究的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，才能真正做到將教學(xué)過(guò)程當(dāng)成科研過(guò)程。

三、宏觀與微觀的結(jié)合構(gòu)成完整的課堂教學(xué)

課堂教學(xué)離不開(kāi)宏觀與微觀兩個(gè)部分，所謂宏觀即是對(duì)于一門(mén)課程的整體把握，這就好比你選擇某個(gè)課題，需要先清楚為什么選擇這個(gè)課題，為了解決什么樣的問(wèn)題。任何一個(gè)學(xué)科都不是空中樓閣，都有其產(chǎn)生與發(fā)展的背景，微積分的產(chǎn)生源于速度、路程、面積、光學(xué)等問(wèn)題，實(shí)變函數(shù)的產(chǎn)生源于積分與極限交換順序及積分完備性問(wèn)題等。老師在開(kāi)課時(shí)應(yīng)該首先從宏觀上把握該課程，向?qū)W生講清楚想解決什么問(wèn)題，很多概念的出現(xiàn)也就不奇怪了。對(duì)學(xué)科的宏觀把握并不是件困難的事，事實(shí)上，任何數(shù)學(xué)史書(shū)都會(huì)對(duì)某個(gè)學(xué)科的產(chǎn)生與發(fā)展做一個(gè)詳細(xì)的描述，老師只要關(guān)心一下歷史，讀一讀有關(guān)的史書(shū)就不難做到。讀史書(shū)不僅有助于教學(xué)，對(duì)個(gè)人素養(yǎng)與眼界的提高也將助益良多。

所謂微觀是指對(duì)某門(mén)課程中具體概念、定理的把握。張奠宙、張蔭南先生針對(duì)微積分教學(xué)首先提出了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)的觀點(diǎn)[1][2]，之后陸續(xù)有一些研究[3-6]。其實(shí)，任何數(shù)學(xué)課程都應(yīng)該圍繞著問(wèn)題進(jìn)行，換言之，由問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)。因?yàn)榭v觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，任何數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生都是為了解決某些問(wèn)題，恰恰是在對(duì)問(wèn)題的分析與解決中閃現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想的光芒。很難想象，離開(kāi)了問(wèn)題可以談數(shù)學(xué)思想。有人把數(shù)學(xué)稱(chēng)為工具學(xué)科，這是對(duì)數(shù)學(xué)狹義的理解，數(shù)學(xué)更是一門(mén)思維科學(xué)，是鍛煉人的思維能力的學(xué)科，如果我們將數(shù)學(xué)退化為工具，數(shù)學(xué)也就失去了她無(wú)窮的魅力。歷史上，數(shù)學(xué)理論在形成多年后才發(fā)揮巨大威力的例子不勝枚舉，在某個(gè)數(shù)學(xué)理論在自然科學(xué)領(lǐng)域得到應(yīng)用前，誰(shuí)能知道他能發(fā)揮如此大的作用？只有掌握了數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的頭腦思考問(wèn)題，才有可能在未知領(lǐng)域發(fā)揮數(shù)學(xué)的潛能。Halmos說(shuō)過(guò)這樣的話：“具備一定的數(shù)學(xué)修養(yǎng)比具備一定量的數(shù)學(xué)知識(shí)要重要得多?！盵7]我深以為然。

數(shù)學(xué)課堂離不開(kāi)概念、定理、例題三個(gè)基本組成部分，如何解釋概念，如何講授定理，這是值得深入探究的問(wèn)題。有些人認(rèn)為，把概念的內(nèi)涵與外延講清楚就可以了，我覺(jué)得遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。任何重要概念的產(chǎn)生都有重要的背景，為什么會(huì)出現(xiàn)某個(gè)概念？為了解決什么問(wèn)題？如果不弄清楚這些問(wèn)題，概念也就成了無(wú)源之水，無(wú)本之木。有人認(rèn)為，概念產(chǎn)生的背景可能比較復(fù)雜，歷史也比較久，很難在有限的時(shí)間內(nèi)解釋清楚，于是有些老師為了闡述一個(gè)概念，杜撰了一些子虛烏有的問(wèn)題，用來(lái)解釋概念。我不這么看，雖然一個(gè)概念從產(chǎn)生到得到公認(rèn)需要經(jīng)歷相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，但它為什么產(chǎn)生，最終為什么能得到大家認(rèn)同還是可以解釋清楚的。概念課教學(xué)應(yīng)該尊重歷史，而不是篡改歷史。哲學(xué)上有個(gè)詞叫“本原性問(wèn)題”，即促使事物產(chǎn)生的最初根源，概念課教學(xué)恰恰應(yīng)該由本原性問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)，也就是促使概念產(chǎn)生的那些問(wèn)題，而不是一些人所理解的由老師精心設(shè)計(jì)或?qū)W生提出來(lái)的問(wèn)題，那不是真正的本原性問(wèn)題。

定理的講授與概念課有所不同，除了一些著名的定理可以從史書(shū)上讀到其來(lái)龍去脈，大部分定理常常是數(shù)學(xué)自身邏輯演繹的產(chǎn)物，雖然這些定理的產(chǎn)生也源于某些問(wèn)題，但這些問(wèn)題既有可能是本原性的，也有可能不同于本原性問(wèn)題，我們把它稱(chēng)為派生性問(wèn)題，它通常是圍繞著某些本原性問(wèn)題派生出來(lái)的。例如，在實(shí)變函數(shù)中，一個(gè)函數(shù)序列的極限與這個(gè)函數(shù)序列積分的極限是否可以交換順序，這是個(gè)本原性問(wèn)題，在很多實(shí)際問(wèn)題中都會(huì)涉及。為了解決這個(gè)問(wèn)題所發(fā)展起來(lái)的測(cè)度論中許多定理則都是派生出來(lái)的，為了定義Lebesgue積分，需要先建立測(cè)度概念，相信很多老師都清楚如何從積分定義的分析中發(fā)現(xiàn)建立測(cè)度概念的必要性。對(duì)于可測(cè)集合序列來(lái)說(shuō)，集合序列極限的測(cè)度與這個(gè)集合的測(cè)度序列的極限能不能交換順序？這就是個(gè)派生性問(wèn)題。老師在介紹這些定理時(shí)不應(yīng)該像有些傳統(tǒng)教學(xué)那樣先陳述定理然后尋找證明，而應(yīng)該像做科研一樣探討這些問(wèn)題，最終發(fā)現(xiàn)使得結(jié)論成立的條件是什么，這就是所謂的教學(xué)過(guò)程科研化。

有些人認(rèn)為，對(duì)于非數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)只是個(gè)工具，掌握一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法就夠了。許多年來(lái)這種觀點(diǎn)左右了很多老師的教學(xué)過(guò)程。以微積分教學(xué)為例，老師往往將注意力集中在如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)與積分，似乎學(xué)生掌握了導(dǎo)數(shù)計(jì)算、積分計(jì)算，就算是學(xué)好了微積分了。一些微積分教材也表達(dá)了這種觀點(diǎn)。我不認(rèn)同這種觀點(diǎn)，歷史上自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域取得杰出成就的成功人士（未必是真正意義上的科學(xué)家），大到諾貝爾獎(jiǎng)獲得者，小到各行各業(yè)工作崗位上的專(zhuān)業(yè)人士，其良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)發(fā)揮了十分重要的作用。對(duì)很多領(lǐng)域而言，沒(méi)有良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，難以有大作為[8]。

中學(xué)數(shù)學(xué)教育狀況如何？相信絕大多數(shù)國(guó)人都非常清楚，升學(xué)考試的壓力已經(jīng)讓教師無(wú)暇顧及思想，高分壓倒一切。然而，高分帶來(lái)了什么？學(xué)生真正懂?dāng)?shù)學(xué)嗎？他們除了掌握了一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)，會(huì)解題，對(duì)數(shù)學(xué)還知道多少，這是值得每個(gè)數(shù)學(xué)教師認(rèn)真思考的問(wèn)題。

大學(xué)的教育理念是否適合中學(xué)數(shù)學(xué)教育？中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)該圍繞著什么進(jìn)行？這也許是大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究與中學(xué)一線教學(xué)相結(jié)合的一個(gè)比較好的契合點(diǎn)。有些老師認(rèn)為，中學(xué)課堂不能像大學(xué)課堂那樣進(jìn)行。的確，無(wú)論是學(xué)生的認(rèn)知能力，還是一節(jié)課的容量，中學(xué)與大學(xué)都不可同日而語(yǔ)。但同為數(shù)學(xué)課，都離不開(kāi)數(shù)學(xué)之魂——思想，從這個(gè)意義上說(shuō)，大學(xué)與中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)是相通的。

中學(xué)數(shù)學(xué)課堂通常分概念課、原理課與解題課三個(gè)模塊，有些人也把它分成五個(gè)模塊，加上了測(cè)評(píng)課與實(shí)踐課，在我看來(lái)，最重要的是前三者。有些人認(rèn)為，一些陳述性概念對(duì)中學(xué)生是很難講清楚來(lái)龍去脈的，不如簡(jiǎn)單承認(rèn)，以后慢慢理解，事實(shí)上，很多老師課堂上也是這么教的。問(wèn)題是老師如何回答“為什么出現(xiàn)這個(gè)概念”的問(wèn)題，如果回答不了這個(gè)問(wèn)題，這個(gè)概念算講清楚了嗎？雖然中學(xué)數(shù)學(xué)也一直提倡探究式教學(xué)，但遺憾的是，理論上都明白，但在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中卻習(xí)慣了概念——定理——證明的固定程式，似乎很難逾越。在目前的教育現(xiàn)狀下，如何兼顧數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)應(yīng)試是值得研究的問(wèn)題[9-10]。

四、教師素質(zhì)是決定課堂教學(xué)成敗的根本

教育的成敗在教師，我們一直強(qiáng)調(diào)教師要有一顆愛(ài)心，要有認(rèn)真負(fù)責(zé)的精神，要愛(ài)崗敬業(yè)，要熟練掌握本門(mén)課程的內(nèi)容，還要懂得教育學(xué)、心理學(xué)與教學(xué)法，僅僅具備這些條件尚不足以成為一個(gè)合格教師，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備一定的基本素質(zhì)[12]。我們認(rèn)為，一個(gè)合格的數(shù)學(xué)教師至少還應(yīng)該具備如下兩個(gè)基本條件：

一是要熟悉數(shù)學(xué)史。如果教師對(duì)一門(mén)課程的歷史一知半解甚至一無(wú)所知，很難想象他能講清楚這門(mén)課程。M.克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》[10-11]是值得所有數(shù)學(xué)教師與每個(gè)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生都認(rèn)真研讀的數(shù)學(xué)史書(shū)，不知我們有多少老師閱讀過(guò)這樣的書(shū)。如果你不了解歷史，你又如何向?qū)W生講清楚一個(gè)概念是如何產(chǎn)生的？

二是要有一定的科學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)。眾所周知，書(shū)本受篇幅與邏輯體系及嚴(yán)謹(jǐn)性的局限，通常只是概念—定理—證明—例題等知識(shí)的簡(jiǎn)單陳述，很少交待知識(shí)的來(lái)龍去脈。那些定理是如何發(fā)現(xiàn)的？它的價(jià)值何在？為了解決什么問(wèn)題？如何從定理中發(fā)現(xiàn)閃光的思想？如何尋找它的證明？老師如果沒(méi)有一定研究經(jīng)驗(yàn)的積累，是無(wú)法通過(guò)合情推理完成課堂教學(xué)的，只能依樣畫(huà)葫蘆停留在照本宣科的層面上。

綜上所述，作為教學(xué)組成部分甚至是最重要部分的課堂教學(xué)并不像有些人想象的那么簡(jiǎn)單，只要讀過(guò)博士甚至大學(xué)就可以勝任的，它需要老師知道比教材多得多的東西，這就是素養(yǎng)與眼界。

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[責(zé)任編輯：周 楊]