薛明

【摘 要】問題就是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，問題的解決就是由問題的初始狀態(tài)通過學生已具備的知識或經(jīng)驗達到目標狀態(tài)的過程。通過波利亞《怎樣解題》數(shù)學思維的新方法在具體問題中的應用，發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學問題的價值，也就是增強數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】數(shù)學問題；解決；數(shù)學核心素養(yǎng)

一條數(shù)學問題究竟是如何被解出來的，體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學核心素養(yǎng)。下面就以筆者參加2016年廣州市“卡西歐杯”中學數(shù)學教師“講題比賽”的題目為例。

在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-1/3。

（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；

（Ⅱ）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

題目出處：這題目是2010年北京市數(shù)學理科高考題第19題，難度0.51。條件信息：考察軌跡方程；三角形中的幾何計算；點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題。

解題思路：第一問由所有已知條件組成的初始狀態(tài)如何到達目標狀態(tài)？此時的學生回憶所學，發(fā)現(xiàn)與課本學習的例題相仿，而且此時的學生已經(jīng)具備知道求點的軌跡方程的步驟的知識儲備。初始狀態(tài)明晰、準確，目標清楚。從而將“建設限代化”——建系、設點、限制條件、代入、化簡這一系列操作在具體情境中進行運用。

題目條件中點有坐標說明已經(jīng)建好系，因此按步驟設動點P（x，y），將題目條件kAP·kAP=-直接表達出來即可。因為點B與A（-1，1）關于原點O對稱，所以點B的坐標為（1，-1）。已知點P（x，y），點A（-1，1）利用已知兩點求斜率得kAP=，kBP=代入式，化簡可得點的軌跡方程。有的同學可能就此下結論，但也有部分同學在過去的運用中積累過相關經(jīng)驗，會回顧下解題過程，仔細觀察斜率是個分式結構，根據(jù)分母不能為零得x≠±1，老師與學生再次一起總結，強化函數(shù)先求定義域避免錯誤。

第二問的目標狀態(tài)是問是否存在滿足所有初始狀態(tài)的點P。這是一道求解題，主要部分是未知量、已知數(shù)據(jù)和條件。設點P的坐標為（u，v），求解橫、縱坐標這兩個未知數(shù)就是目標。根據(jù)過去的經(jīng)驗將題目的初始條件轉(zhuǎn)化成兩個關于橫縱坐標的方程可以得以求解。在具體情境中，△PAB與△PMN的面積相等就是一個等式。當面臨一個復雜問題時，應設法將其轉(zhuǎn)化為簡單問題，或從它相關的簡單問題入手。而將三角形面積表達出來促使學生畫出圖形進行分析，而表達出底和高的長度，在學生掌握了已知兩直線求交點、點到直線距離等公式的前提下成為可能。

思路背景：這些思路的發(fā)展宛如要進行一次此地到彼地的旅游需要做的攻略，由此地到彼地，需要若干途徑，而每個途徑又有若干步驟。也正如波利亞的《怎樣解題》120頁中示范的一個原始人如何渡過一條小溪進行的一連串的念頭，這一連串的念頭應該稱之為分析。分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行。分析是設計一個方案，綜合是執(zhí)行這個方案。而如何執(zhí)行這個方案，課標中明確指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的、富有個性的過程。”

引導學生將文字語言轉(zhuǎn)化成圖形語言，盡量適當?shù)漠媹D，方便由圖像觀察。發(fā)現(xiàn)為求△PAB得面積，要求AB距離，求點P到直線AB的距離，從而要求AB直線方程，而求△PMN的面積，需知道M、N兩點的縱坐標，則需要求直線AP的方程和x=3聯(lián)立解方程，第二問經(jīng)過分析變成若干需要解決的簡單的問題。

列出等式·2·│u+v││3-u│，這個化簡過程對大部分學生（屬于C類學校）較困難，老師需要示范如何勇敢的嘗試，細心的化簡。

思路背景：正如波利亞在《怎樣解題》79頁所說：“可以說教學生解題也是一種意志的教育，學生要解決對他來說并不容易的題目，他要學會面對失敗鍥而不舍，重視小的進步，靜候?qū)嵸|(zhì)性的念頭，當這一念頭出現(xiàn)后全力以赴。”這也是數(shù)學教育最重要的一點。

筆者講到這里就已經(jīng)用完賽時十五分鐘，說了下變式：如利用定義法、相關點法求點軌跡方程。獲得2016年廣州市“卡西歐杯”“講題比賽”二等獎。

倘若繼續(xù)思考，據(jù)波利亞著名的“怎樣結題表”，解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧4個階段。我們適時向?qū)W生提出這樣的問題與建議：你能否用別的方法導出這個結果？你能不能把這個結果或方法用于其他的問題？

也許有的學生就會提供這種解法：│PA‖PB│sin∠APB=│PM‖PN│sin∠MPN（**）。而∠APB和∠MPN對頂角相等，化簡成，若仔細觀察圖形，過點M作直線平行于x軸，再過點A，P分別作這條直線的垂線交所作直線于D，E，△MAD相似于△MPE，，等式右邊同理。得即（3-u）2=│u2-1│，解得u=。這種方法思維量大，但是大大簡化了運算的繁瑣。

這道比賽題目取自于教材，但作了創(chuàng)新，重點考查了學生對知識的遷移能力，邏輯思維能力及代數(shù)運算能力和探究問題的能力，難度并不大，是一道難得的好題。通過這道經(jīng)典數(shù)學問題的解決我們體會到數(shù)學問題解決就是主體創(chuàng)造性地應用數(shù)學去解決問題的學習活動，問題的解決是有價值的：可以使主體充分發(fā)揮自己的潛能，創(chuàng)造性地解決新情境下的問題；可以使主體在實際情境中獲取和構造數(shù)學，而不是機械地去模仿；可以使主體體驗數(shù)學的思想方法，構建屬于自己的數(shù)學觀念；可以激發(fā)主體的自主性心理特征，變得自尊、自信、自律和自我激勵，培養(yǎng)主體對數(shù)學的興趣?？梢姡瑪?shù)學問題的解決不僅僅局限于解答問題，而是一種全新的數(shù)學教育觀念。這與現(xiàn)在流行的數(shù)學核心素養(yǎng)不謀而合。數(shù)學核心素養(yǎng)不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數(shù)學能力，可以理解為學生學習數(shù)學應當達成的有特定意義的綜合性能力。核心素養(yǎng)基于數(shù)學知識技能，又高于具體的數(shù)學知識技能。核心素養(yǎng)反映數(shù)學本質(zhì)與數(shù)學思想，是在數(shù)學學習過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。適逢廣東高考今年初次使用全國卷，數(shù)學考題命題相對創(chuàng)新，難度相對增大，老師應該重視每一道數(shù)學題是如何被解出來的。講題時不僅僅講知識、方法，還要挖掘潛藏的能力、態(tài)度，培養(yǎng)學生在數(shù)學學習、數(shù)學解題的過程中逐步形成數(shù)學素養(yǎng)，這種素養(yǎng)是適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關鍵能力，解決的也可能不是明顯的和直接的數(shù)學問題，而是學會從數(shù)學的角度看待問題，用數(shù)學的思維方法思考問題，用數(shù)學的方法解決問題。