姜華

[摘 要] 解析幾何是高考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，其小題往往對于學(xué)生思維和運(yùn)算兩方面進(jìn)行了考查，本文從近年來的一些常見小題出發(fā)，談?wù)勑☆}復(fù)習(xí)的一些深入性思考.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何；小題；定義；平面幾何；運(yùn)算

解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中地位非常重要的章節(jié). 從近年來解析幾何考查的比重來看，其在高考中一般占據(jù)20～25分的程度，而且難度一般較大，大部分學(xué)生對于解析幾何的得分率普遍較低. 從解析幾何的內(nèi)容來看，其涉及的橢圓、雙曲線往往運(yùn)算量較大，運(yùn)算能力較差的學(xué)生基本難以在解答題中取分，從概念性質(zhì)來說，橢圓、雙曲線、拋物線定義的運(yùn)用，以及愈來愈多平面幾何性質(zhì)的結(jié)合使用，往往使得學(xué)生在問題解決中摸不著頭腦，因此筆者結(jié)合近年來考題方向和特點(diǎn)，談一談解析幾何小題在教學(xué)中應(yīng)該處理的“三重境界”，層層遞進(jìn)式的解決問題.

境界一——解析幾何定義的使用

？搖？搖解析幾何的定義在中學(xué)數(shù)學(xué)階段主要是兩種，其一是感官定義，教材利用了繩子固定端點(diǎn)的拉動形成的橢圓以及拉鏈拉動形成的雙曲線，在學(xué)生腦海中形成重要的第一印象，其二是第二定義（現(xiàn)階段考查相對較少）. 在高考解析幾何小題中，對定義的考查比比皆是，來看例題：

問題1 （改編自2013年浙江理）：如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是_____________.

分析：筆者建議有興趣的讀者試一試本題，本題從定義的兩次運(yùn)用出發(fā)，后續(xù)研究中位線、等腰直角三角形和余弦定理的使用，是一道將平面幾何性質(zhì)使用較多的綜合性解析幾何小題. 對于這樣問題的處理，我們發(fā)現(xiàn)有助于學(xué)生理清問題解決的層次性：即首先運(yùn)用定義思考問題，進(jìn)一步運(yùn)用平面幾何相關(guān)性質(zhì)來處理離心率.

總之，從近年高考真題的分析來看，筆者以為解析幾何小題的破解恰在于上述三個(gè)層次的合理運(yùn)用，純粹對于定義的使用往往是針對簡單問題的考查，對于運(yùn)算的處理和一定技能的運(yùn)用往往在于稍難問題的區(qū)分，運(yùn)用定義和平面幾何性質(zhì)的相關(guān)使用結(jié)合是對于思維考查較高的一種體現(xiàn). 筆者想起了詩人王國維在講人生三境界的時(shí)候，其一“望盡天涯路”，暗指人生目標(biāo)；其二“為伊消得人憔悴”，暗指奮斗不止；其三“驀然回首，卻在燈火闌珊處”，暗指反思即能豁然開朗. 因此，在研究高考解析幾何小題指引復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，也可以思考這樣的三重境界，層層深入.筆者認(rèn)為解析幾何小題的解決恰是三種境界的體現(xiàn)：

（1）類型1體現(xiàn)的恰是一種“望盡天涯路”的境界——解決問題的方向是使用橢圓和雙曲線的定義，這也是解決解析幾何小題的常規(guī)思考方向；

（2）類型2體現(xiàn)的是解析幾何小題“為伊消得人憔悴”的境界——在無法使用定義，只能通過坐標(biāo)的運(yùn)算方式來解決問題，筆者個(gè)人覺得這樣的考題區(qū)分度、難度稍大；

（3）類型3在解決離心率中，很自然地回避了通過大量運(yùn)算來解決的方式，從雙曲線定義考慮，結(jié)合三角形的相關(guān)知識（諸如余弦定理、中位線、三角形四心等等）即輕松解決，這體現(xiàn)了問題解決的第三重境界“驀然回首”，問題還得倚靠定義來，進(jìn)一步結(jié)合平面幾何中的相關(guān)知識即可.