湖北省武漢市第十二中學(xué)　　余智敏

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例談高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題組訓(xùn)練選題技巧

湖北省武漢市第十二中學(xué)余智敏

題組訓(xùn)練就是從典型例題（基礎(chǔ)問題）入手，通過一題多變、試題改編與延伸，進(jìn)行有效的變式教學(xué).這種變式改編的例題既能幫助學(xué)生鞏固已學(xué)知識，更能促使學(xué)生提高思維能力；既有利于改變高三復(fù)習(xí)中學(xué)生只愿做題，不會反思的現(xiàn)象，又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高復(fù)習(xí)的積極性.其實(shí)高考中的新題只能是少量的，絕大多數(shù)試題要依賴陳題的改編，且高考十分強(qiáng)調(diào)公平公正，即試題的信度和效度，因此大家都能接觸到的高考題、模擬題或教材原題的改編成為高考命題的主要手法之一.

“圓錐曲線中兩條相交直線的斜率之積為定值”問題在近年的高考試卷上出現(xiàn)了十余次，在各地調(diào)考模考試卷中也頻繁出現(xiàn).?？嫉闹R點(diǎn)會承載更多的優(yōu)質(zhì)方法和更高的訓(xùn)練效率.本文就以“圓錐曲線（主要是橢圓和雙曲線）中兩條相交直線的斜率之積為定值”為例，闡述選題的思路，探討高三題組訓(xùn)練選題技巧.通過研究我們發(fā)現(xiàn)，題組編寫其實(shí)有章可循，掌握方法就能做到輕車熟路，簡單易行，真的是“千淘萬漉不辛苦，吹盡狂沙始到金”.

一、從熟悉的情景中引出專題

在題組問題的確定上，我們通常建議選擇切入點(diǎn)較多、方法多樣，特別是還可延伸推廣、進(jìn)行變式的問題，那么學(xué)生熟悉的問題便成為首選.以熟悉的情景出發(fā)編寫題組，更貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，能幫助學(xué)生將所學(xué)的知識與方法系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，將所學(xué)內(nèi)容連成線、織成網(wǎng)、鋪成面，熟悉知識之間的聯(lián)系，然后進(jìn)行延伸拓展和能力提升，掌握分析解決問題的一般思維方法.同時(shí)，教師不妨把選題的主要精力放在近年高考真題和各地模擬試題上，通過簡單的收集整理、分類篩選，從中選出符合高考要求的試題或試題的部分內(nèi)容.

先論證P為弦的中點(diǎn)時(shí)，弦的斜率和弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率之積為

例1：（2010·新課標(biāo)理，12）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，P（3，0）是雙曲線的焦點(diǎn)，過P的直線l與E相交于AB兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（-12，-15），則E的方程式為（）.

解析：通過P、N兩點(diǎn)寫出直線l的斜率，借助斜率之積為定值即可快速求解.

例3：（2005·全國I理，21）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1，且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，+與a=（3，-1）共線，求橢圓的離心率.

變式意圖：這道題除了使用規(guī)律外，還可以讓學(xué)生體會中點(diǎn)也可以通過向量給出，可進(jìn)一步歸納出向量加法的平行四邊形法則中，平行四邊形對角線互相平分必然得出中點(diǎn).

二、從類似的結(jié)論中拓展廣度

把熟悉的知識系統(tǒng)化以后，對學(xué)習(xí)中等的學(xué)生而言肯定是學(xué)到了“新知識”，但是，對于數(shù)學(xué)能力強(qiáng)、一輪復(fù)習(xí)效果好的學(xué)生來說，可能并無所獲，缺乏新鮮感，若長此以往，是不利于尖子生的持續(xù)發(fā)展的.因此，二輪復(fù)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)站在更高的角度來審視試題，更好地挖掘數(shù)學(xué)知識的潛在功能，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)貙}、習(xí)題進(jìn)行變式推廣，讓學(xué)生在不同角度、不同層次、不同情形、不同背景下經(jīng)歷一種重新的認(rèn)識，對涉及知識點(diǎn)向多側(cè)面、廣角度進(jìn)行合理拓寬，從“點(diǎn)”出發(fā)，把“面”帶出來呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生能更加系統(tǒng)全面地掌握知識.

類型二：A1，A2為橢圓或雙曲線的頂點(diǎn).

類型三：A1，A2為橢圓或雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn).

分析1：此規(guī)律的證明只需取PM或PN的中點(diǎn)C，連OC，由中位線及第一節(jié)規(guī)律即可輕松證得.

變式意圖：在新的規(guī)律下，這個(gè)變式的解法已經(jīng)上了一個(gè)新臺階，無需再取弦中點(diǎn)，跳過了中位線的過渡，使得解法更為簡潔，讓學(xué)生體會規(guī)律的發(fā)展過程，并留下深刻的印象.

三、從方法的應(yīng)用上加強(qiáng)深度

類型四：軌跡問題.

解析：這道高考題考察解析幾何的通法——“設(shè)而不求”.直線代入曲線，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫韋達(dá)定理，向量坐標(biāo)化，消參、四進(jìn)二、二進(jìn)一.這些基本操作要求學(xué)生熟練掌握.

變式意圖：從具體問題的研究上升到對一般結(jié)論的探究，三個(gè)問題可以共用一個(gè)演算過程，最后知二推三的環(huán)節(jié)對于培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力非常有好處.這樣的問題變式對學(xué)生而言是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣、發(fā)展提出問題并解決問題能力的良好素材，對教師而言是靈動地把握教學(xué)，潛移默化地發(fā)展學(xué)生思維能力，進(jìn)行科學(xué)命題和測試的良好手段.

選例意圖：這道題啟發(fā)學(xué)生對于熟悉的規(guī)律如何變通使用.平時(shí)訓(xùn)練的內(nèi)容不會原封不動的考查，要加強(qiáng)知識的遷移能力才能以不變應(yīng)萬變.

變式意圖：從具體問題的研究上升到對一般結(jié)論的探究，這種“原生態(tài)”的計(jì)算對學(xué)生的訓(xùn)練效果更好，而且培養(yǎng)學(xué)生追根溯源，探求本質(zhì)，不達(dá)目的不罷休的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度.

四、從知識的交匯處提升能力

選例意圖：這道題難度較大，對于沒有見過此類問題的學(xué)生入口較窄，所以平時(shí)多積累處理解析幾何的模型素材是很有必要的.學(xué)生可以體會專題復(fù)習(xí)帶來的好處.

五、從信息的創(chuàng)新處開闊眼界

最近在互聯(lián)網(wǎng)上又發(fā)現(xiàn)了下面一個(gè)“兩直線斜率乘積為定值”的結(jié)論.

選題理由：高考命題的素材很多來自于期刊論文、競賽題、自主招生題目等，教師隨時(shí)關(guān)注貼近高考的新信息和新發(fā)現(xiàn)，對部分有條件的學(xué)生適當(dāng)補(bǔ)充，對于開闊學(xué)生眼界，充分備考都有好處.

在高三復(fù)習(xí)中，教師作為課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，應(yīng)發(fā)揮題組訓(xùn)練的卓越功能，本著“從熟悉的情景引出專題，從類似的結(jié)論拓展廣度，從方法的應(yīng)用上加強(qiáng)深度，從知識的交匯處提升能力，從知識的創(chuàng)新處開闊眼界”的原則和方法，編寫高質(zhì)量的題組供學(xué)生訓(xùn)練使用.一方面可以幫助學(xué)生短時(shí)間內(nèi)較快地形成知識的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)并加深理解，使學(xué)生的零碎知識結(jié)網(wǎng)成片，形成一個(gè)完整的體系，構(gòu)建立體的知識大廈；另一方面通過題組訓(xùn)練，教師可以總結(jié)解題方法，指點(diǎn)解題技巧，敲打注意問題，指明應(yīng)用方向，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，引導(dǎo)學(xué)生多角度進(jìn)行思考，從而調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，鍛煉思維的靈活性，培養(yǎng)創(chuàng)新意識與發(fā)散性思維.

編輯/王一鳴

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