陳華++張紅

摘 要：數(shù)學課程與教學的改革最終都要落實到課堂上，對數(shù)學課堂的研究一直是教學研究的焦點。本研究以匹茲堡大學QUASAR研究項目中的“數(shù)學任務(wù)分析框架”為基礎(chǔ)，選取成都某小學五年級數(shù)學公開課——“找質(zhì)數(shù)”進行課堂觀察，分析在任務(wù)實施過程中學生認知水平的變化情況，并解釋導致數(shù)學任務(wù)發(fā)生變化的原因，以期為促進教師專業(yè)發(fā)展提供參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學任務(wù)；課堂研究；小學數(shù)學

新課程改革實施以來，對傳統(tǒng)教學模式提出了挑戰(zhàn)，而改革最終都要落實到課堂上，因此數(shù)學課堂研究一直是數(shù)學教育研究關(guān)注的焦點。本研究以美國匹茲堡大學“QUASAR計劃”研究項目中的“數(shù)學任務(wù)分析框架”為依據(jù)，去剖析一個小學課例，研究教師如何組織和實施數(shù)學教學任務(wù)，并且分析在任務(wù)實施過程中學生認知水平的變化情況，解釋影響任務(wù)實施的主要因素。

一、數(shù)學任務(wù)分析框架簡介

美國匹茲堡大學“QUASAR（Quantitative Understanding：Amplifying Student Achievement and Reasoning）計劃”的主要目標是給學生提供更多的思維、推理、問題解決和數(shù)學交流的機會。研究者將數(shù)學教學任務(wù)定義為：不僅是課本上或教師授課計劃中出現(xiàn)的問題，而且是圍繞教師和學生組織和實施那些問題所進行的課堂活動。數(shù)學任務(wù)的展開是一個連續(xù)的過程，“QUASAR計劃”中的數(shù)學任務(wù)框架可以用來分析課堂教學，任務(wù)通常在以下三個階段被檢視：（1）當它出現(xiàn)于課程或教材或由教師自己創(chuàng)造時；（2）教師在課堂上創(chuàng)建或發(fā)布任務(wù)時；（3）學生演算或思考時。這三個階段，尤其是第三個階段（即任務(wù)實施階段）被認為對學生實際學到了什么有重要影響，見圖1。

Stein（1998）根據(jù)認知要求將數(shù)學任務(wù)分成2類共4種水平，所謂認知要求指的是學生成功參與并完成任務(wù)所需思維的種類和水平。

A. 記憶——任務(wù)需要對以前學過的知識簡要回憶，不需理解；

B. 無聯(lián)系的程序——任務(wù)提供了解決問題的公式、步驟，與意義不相關(guān)；

C. 有聯(lián)系的程序——任務(wù)集中在選擇解決問題的程序上，與意義相關(guān)；

D. 做數(shù)學——任務(wù)并未暗示可預期的解題途徑，需要研究問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，進行復雜的思考。

其中A、B屬于低認知水平類型的任務(wù)，C、D屬于高認知水平類型的任務(wù)。

本文據(jù)此來分析教師在組織和實施數(shù)學任務(wù)過程中學生思維水平的變化，并且考查數(shù)學任務(wù)得以保持或者降低的主要影響因素，為改進教師課堂教學提供參考。

二、課堂案例分析

1. 教師組織和實施數(shù)學任務(wù)的過程

本節(jié)課授課內(nèi)容為“找質(zhì)數(shù)”，授課地點是成都市某小學，是四川省第二屆小學課堂轉(zhuǎn)型與生態(tài)課堂教學研討會中的一堂數(shù)學課，執(zhí)教的F老師具有豐富的教學經(jīng)驗，該班學生今年五年級，特點是思維活躍、學習積極性高。筆者首先參與了本堂公開課，并且進行了錄像，在課后反復觀看課堂實錄的基礎(chǔ)上，筆者將F教師的主要教學行為進行了整理，將該教師所組織和實施的主要數(shù)學任務(wù)提取出來，按照“QUASAR計劃”的分析框架，對數(shù)學任務(wù)及學生的認知水平進行分類，見表2。

2. 核心數(shù)學任務(wù)分析

本堂課內(nèi)容為“找質(zhì)數(shù)”，學生在課前已經(jīng)預習，對質(zhì)數(shù)的概念和簡單性質(zhì)有了一定了解，基本上可以說出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，因此教師將本堂課的核心數(shù)學任務(wù)定為找出1到100中所有的質(zhì)數(shù)。該數(shù)學任務(wù)的綜合性較強，任務(wù)的復雜之處在于沒有解決該問題的特定方法，學生可以從多個角度入手，但是要得出所有正確的答案，就需要小組合作交流和嚴謹?shù)臄?shù)學思維，這對學生要求較高，因此屬于高認知水平數(shù)學任務(wù)。筆者先對該教學片段進行簡要描述，再進行深入分析。

教師：我們請一個小組來講講他們的發(fā)現(xiàn)。

講解的小組共4名學生。

組生1：我的方法是根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義一個一個地找，我講完了，誰有評價？

學生（多數(shù)）：你這樣一個一個列舉耗費的時間太多了。

教師：你們小組還有其他方法嗎？

組生2：我有一個方法是速記法，2，3，5，7和11，13后面是17……這樣依次類推，三個三個地非常好記，我講完了，誰有評價？

生1：我覺得你這種方法不太保險，因為我發(fā)現(xiàn)了一個錯誤，57是3的倍數(shù)，所以是合數(shù)。我有一種方法，先去掉合數(shù)，剩下的就是質(zhì)數(shù)，首先1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，應(yīng)劃去，再劃掉2、3、5、7的倍數(shù)，剩余的全都是質(zhì)數(shù)。

組生2：我覺得你的方法非常好。

教師：我讓一位同學來配合你，我在投影前放了一張新表，你說怎么劃，她就怎么劃，你說，她來配合。

組生2：先劃掉除2以外的2的倍數(shù)。

學生們看著屏幕，一位學生在投影前挨個劃掉了2的倍數(shù)。

組生2：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，應(yīng)劃掉，2的倍數(shù)已經(jīng)劃掉了，再劃掉3的倍數(shù)。

教師：下面很多同學想幫忙。

生2：我們以前學過2和5的倍數(shù)的特征，2的倍數(shù)的特征是個位為0，2，4，6，8，質(zhì)數(shù)的特征是只有1和本身兩個因素，所以劃掉個位是0，2，4， 6，8的數(shù)，5的倍數(shù)的特征是個位為0，5，所以把個位是0，5的數(shù)劃掉，最后再一個一個去掉合數(shù)。

教師：還有哪個數(shù)的倍數(shù)沒有被劃掉。

組生2：3的倍數(shù)，3的倍數(shù)很特殊，需要各個數(shù)位上的數(shù)字之和加起來是3的倍數(shù)，這樣的數(shù)有哪些呢？

學生（多數(shù)）：9，33，39，42，……

組生2：47？49？……那我們現(xiàn)在把3的倍數(shù)都找完了。

生3：要劃掉49，因為是7的倍數(shù)。

組生2：我們是要先劃掉3的倍數(shù)，再劃掉7的倍數(shù)。

組生2：7的倍數(shù)。13？17？……97？接下來我們找11的倍數(shù)，只有這么斜著的一排，它的個位和十位數(shù)字要一樣，已經(jīng)被全部劃掉了，誰還有補充？

……

組生3：我來總結(jié)一下我們小組的方法，第一種就是一個個找，第二種就是逆向思維，先找2，3，7的倍數(shù)。

最后教師總結(jié)，并且用多媒體演示剛才通過大家努力得到的方法，動畫演示依次去掉2，3，5，7的倍數(shù)。

教師：這種方法其實在古希臘的時候就有數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了，古希臘人把數(shù)寫在涂蠟的板上，每要劃去一個數(shù)，就在上面記以小點，尋求質(zhì)數(shù)的工作完成后，這許多小點就像一個篩子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫作“拉托斯特尼篩法”，簡稱“篩法”。今天這堂課如果早上兩千多年，說不定這種方法就可以叫作“五二班篩法”。

本堂課教師將核心任務(wù)定為找1到100內(nèi)所有的質(zhì)數(shù)，并且整個過程花了26分鐘，占了本堂課58%的時間。在整個過程中，教師將更多的時間留給學生，讓學生先獨立思考再小組討論，讓學生講解，讓學生評價，讓學生提問，給了學生充分表達的機會，真正做到了以學生為中心的教學理念，而教師是課堂的促進者，能在恰當?shù)臅r機提問和總結(jié)。在這個教學片段中，教師使討論始終圍繞數(shù)學任務(wù)展開，并推動其逐步發(fā)展，保持了數(shù)學任務(wù)的探究水平，其中教學過程的主要特點是：

（1）保持問題的復雜性，通過搭“腳手架”給予學生幫助

F教師先給了充足的時間讓學生進行獨立思考和小組討論，而教師在教室中走動，看學生做的情況并詢問討論的結(jié)果，適當讓學生表 達自己的方法，教師在仔細聽取了學生想法的基礎(chǔ)上，對學生的困難或疑惑的根源進行評估，然后給出適當?shù)慕ㄗh，幫助他們依靠自身的努力去解決問題。

（2）保持對學生給出解釋和意義的壓力

F教師通過向?qū)W生提問、追問或讓學生相互提問和評價等方式，把討論引向意義或概念，而不只是最終的正確答案，如在上述教學判斷中，教師說：“我還想提一個問題……”“其余同學還有補充嗎？”“為什么呢？”一系列的問題引發(fā)了學生的積極思考，而學生的相互評價，如“我覺得這個方法太復雜，我有簡單的方法”“我覺得這個方法非常好”等，學生的頭腦風暴，最終使得數(shù)學任務(wù)圓滿解決。

（3）學生以主體性地位示范了高水平的解答

在進行了小組討論后，F(xiàn)教師讓一個小組的4名學生到講臺上分享他們討論的成果，剛開始他們提供的方法并不那么讓人滿意，后來通過教師的引導和同學的幫助，該小組的學生迅速整理了思路。教師還是將機會留給了學生，并沒有因為時間的原因就剝奪了學生的機會。從上面展現(xiàn)的教學片段來看，該生得到的數(shù)學思考方法對他的成長是有很大幫助的，其他學生也在熱烈的討論中學會了如何思考問題。

（4）創(chuàng)建自由、平等、有序的課堂環(huán)境

F教師轉(zhuǎn)變了以往的教育觀念，認為教學是師生相互學習、共同探究的過程，她鼓勵學生自由表達想法，相互評價質(zhì)疑，讓學生真正參與到課堂中。雖然表面上課堂“亂哄哄”的，但是學生始終圍繞著數(shù)學任務(wù)展開激烈的討論，讓學生從被動學習轉(zhuǎn)向了主動學習。這樣的課堂可以促使學生保持積極思考的狀態(tài)。

然而，本堂課在其他數(shù)學任務(wù)上也出現(xiàn)了認知水平下降的情況，主要因素有：（1）教師“包辦”了學生的思維和推理，練習只是給出了答案，并且提問“從剛才的題目中你有什么發(fā)現(xiàn)”，盡管有學生舉手，但是教師沒給學生發(fā)言的機會，而是直接告訴了學生題目背后的數(shù)學問題，接著教師介紹了著名的“哥德巴赫猜想”，因為沒有引導學生從題目背后進行深入發(fā)現(xiàn)，學生對這樣突兀的介紹顯然有點接受不了，沒能達到預期的教學目的。（2）教師把重點從意義、概念或理解轉(zhuǎn)向答案的正確性或完整性。如最開始讓學生判斷自己的學號是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)時，教師讓學生必須按照示范的例子的格式來回答，她好像相信模仿和反復練習最終能使學生毫無錯誤地完成程序，得到正確答案，因此降低了任務(wù)的高認知水平。（3）時間不足。教師在多個數(shù)學任務(wù)的時間上安排得不恰當，以致在課堂最后的總結(jié)部分，為了節(jié)約時間F教師沒有讓學生分享本節(jié)課的收獲，而是由教師代替匆忙做了簡要的總結(jié)，使任務(wù)水平下降。

三、結(jié)論與建議

一堂課中我們可以從不同的角度審查數(shù)學任務(wù)，包括從數(shù)學任務(wù)的數(shù)量、類型，任務(wù)的組織和實施方式等?！癚UASAR”計劃從認知要求的角度入手分析數(shù)學任務(wù)。通過以上對F教師課堂的分析我們可以看到，盡管學生和教師都被認為是課堂活動的重要貢獻者，但教師對學生思維和推理的支持方式和程度是決定高水平任務(wù)最終命運的一個重要因素。該課例中，數(shù)學任務(wù)的數(shù)量不多，教學主要是圍繞核心任務(wù)展開，在實施過程中教師注意保持了任務(wù)的高認知水平，F(xiàn)教師的本堂課值得其他在職教師參考。當然，該教師應(yīng)該注意時間的合理安排，因為在教學中也出現(xiàn)了組織階段高認知水平數(shù)學任務(wù)下降為實施階段的低認知水平數(shù)學任務(wù)的情況。隨著教育改革的深入，課堂中高認知水平的數(shù)學任務(wù)越來越多，但是如何保持任務(wù)的高認知水平一直是研究的焦點，筆者認為教師可以按照數(shù)學任務(wù)分析框架，在課后加強教學反思，這種反思可以是個人反思，也可以是以教學研討的形式進行的反思，這對促進教師專業(yè)發(fā)展非常有利。