蔣海燕

[摘 要]貫通法是指通過多種途徑將數(shù)學知識按照其內(nèi)在聯(lián)系進行有機整合貫通.這種方法不僅有助于學生把握數(shù)學本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系，而且有助于學生獲得相對系統(tǒng)完整的數(shù)學知識，提高數(shù)學能力.運用貫通法的主要途徑可以歸納為：以系統(tǒng)性為導向，貫通數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系；以核心內(nèi)容為統(tǒng)領，貫通數(shù)學知識之間的縱向聯(lián)系；以現(xiàn)代數(shù)學思想方法為紅線貫通數(shù)學知識之間的橫向聯(lián)系；以例題變式訓練為手段，幫助學生從縱橫兩個維度構建數(shù)學知識體系.

[關鍵詞]貫通法 構建 知識體系

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2016）110001

貫通法是筆者在數(shù)學教學中經(jīng)常自覺運用的一種方法.所謂貫通法是指通過多種途徑將數(shù)學知識按照其內(nèi)在聯(lián)系進行有機整合貫通，使分散的知識點形成一個相對系統(tǒng)完整的知識體系.這樣不僅有助于學生把握數(shù)學的本質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系，而且有助于學生獲得相對系統(tǒng)完整的數(shù)學知識，提高數(shù)學能力.

根據(jù)系統(tǒng)論的觀點，系統(tǒng)地組織起來的材料所提供的信息，遠大于部分材料所提供的信息之和.創(chuàng)造心理學研究則表明，新的發(fā)明創(chuàng)造主要決定于整體性認知框架的轉(zhuǎn)換，而整體性認知框架的形成則在于對對象整體的把握.在數(shù)學教學過程中，怎樣才能幫助學生形成系統(tǒng)的知識，形成具有整體性的認知框架呢？筆者在教學實踐中深深體會到，貫通法就是其中一種非常有效的方法.

一、以系統(tǒng)性為導向，貫通數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系

希爾伯特曾指出：“數(shù)學是一個不可分割的整體，它的生命力正是各個部分之間的內(nèi)在聯(lián)系.”[1]中學數(shù)學教學內(nèi)容編排的重要特點之一是系統(tǒng)性.系統(tǒng)性主要包括邏輯性、連續(xù)性和層次性等幾個方面的要求.所謂邏輯性，即數(shù)學概念和命題的排列是以它們賴以生存的思維順序展開的.數(shù)學是一門演繹科學，嚴謹?shù)倪壿嬓允撬闹饕卣髦?，因而?shù)學教材中一切數(shù)學概念的展開都是以概念間的聯(lián)系為依據(jù)，并形成概念系統(tǒng)，所有數(shù)學命題的建立都是以學科公理為基礎，用邏輯推理的方法來證明.所謂連續(xù)性，即數(shù)學知識間的過渡是連續(xù)的，先行知識與后繼知識之間是連續(xù)地發(fā)展.所謂層次性，即數(shù)學教材本身是一個前后相繼的結構系統(tǒng).一般都是先安排最基本的概念和原理，再逐步呈現(xiàn)其下屬概念和下位原理.數(shù)學教學內(nèi)容系統(tǒng)性的特點決定了教師在數(shù)學教學中必須注重系統(tǒng)性，即注重數(shù)學知識間的邏輯性、連續(xù)性和層次性，從宏觀上構建知識網(wǎng)絡.例如在講某個概念時，教師首先要在宏觀上認識這個概念在數(shù)學知識體系中的地位與作用，弄清楚“為什么要引入這個概念，這個概念與相鄰概念之間是什么關系，它們之間有何聯(lián)系與區(qū)別”等問題，從而在頭腦中建立起由基本概念構成的概念系統(tǒng)，然后再把這種觀念傳遞給學生，讓學生圍繞這個概念逐步構建起一個概念網(wǎng)絡.網(wǎng)絡的結點越多，概念系統(tǒng)就會越完善，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化、遷移的能力就會越來越強.如實數(shù)概念的教學，可以把實數(shù)進行分類，寫出分類表，通過分類表指出數(shù)的概念從自然數(shù)到分數(shù)、有理數(shù)再到實數(shù)的擴充過程，進一步比較各種數(shù)集及其運算性質(zhì)，從而指出數(shù)概念的擴充原則以及各種數(shù)集間的關系，這樣學生可清晰系統(tǒng)地掌握概念間的邏輯關系.中學數(shù)學中許多定理彼此緊密聯(lián)系，教完這些定理之后，應及時揭示這些定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生的知識系統(tǒng)化，形成數(shù)學命題體系.如學習了幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理以后，可以通過運動變化的觀點，生動巧妙地闡明它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并給以量化，統(tǒng)一成圓冪定理.

二、以核心內(nèi)容為統(tǒng)領，貫通數(shù)學知識間的縱向聯(lián)系

對于一個由若干相關章節(jié)內(nèi)容組成的數(shù)學單元來說，其內(nèi)部知識之間必然有著緊密的邏輯聯(lián)系，而在這樣的知識結構中必定有其核心內(nèi)容.所謂核心內(nèi)容，就是指在單元知識結構中能夠?qū)ζ渌R起著統(tǒng)領、整合和解釋作用的基本概念、基本方法或基本規(guī)律，在單元復習中只有注重運用核心知識統(tǒng)領并整合其他知識，才有可能更好地掌握知識單元的邏輯結構，形成良好的具有整體性的認知框架.例如，在復習《解析幾何》這一單元的知識時，就要抓住其核心內(nèi)容——解析法.解析法是數(shù)形結合思想方法的內(nèi)核，也是直線、圓以及各種圓錐曲線方程的上位概念，解析幾何知識結構直接依解析法而展開，因此，解析法在解析幾何知識中居統(tǒng)領地位.在解析幾何知識單元復習中，必須運用解析法去研究推導直線、圓以及各種圓錐曲線的典型方程，幫助學生掌握曲線的點、對稱軸、焦點、離心率、弦、切線等有關元素，樹立曲線與方程相互轉(zhuǎn)化的意識，掌握轉(zhuǎn)化的基本方法及應遵循的基本規(guī)則，明確解析法與其他各項知識之間的邏輯關系，使本單元的整個知識系統(tǒng)化、結構化.這樣不僅有利于學生加深理解，也有利于學生記憶，更有利于知識的遷移，為學生發(fā)展智力、提高能力奠定堅實的基礎.

三、以現(xiàn)代數(shù)學思想方法為紅線，貫通數(shù)學知識間的橫向聯(lián)系

中學數(shù)學的全部教學內(nèi)容中有兩條主線，一條是反映數(shù)學知識間縱向聯(lián)系數(shù)學知識系統(tǒng)的線；另一條是反映了數(shù)學知識間橫向聯(lián)系數(shù)學思想方法系統(tǒng)的線.這兩個系統(tǒng)從縱橫兩個維度上構成了數(shù)學學科的基本結構.現(xiàn)代數(shù)學教學論認為，在數(shù)學教學中讓學生掌握數(shù)學思想方法，對促進學生把握學科結構、發(fā)展數(shù)學能力是至關重要的問題.而淡化數(shù)學思想方法的教學，不僅不利于學生從縱橫兩個維度上把握學科的基本結構，也使學生對數(shù)學思想方法的掌握若明若暗，嚴重影響學生數(shù)學能力的發(fā)展.因此，在數(shù)學教學中要注重運用現(xiàn)代的數(shù)學思想方法處理數(shù)學教學內(nèi)容，幫助學生把握知識間的橫向聯(lián)系.

例如數(shù)形結合思想.數(shù)與形是數(shù)學中兩個最基本的概念.數(shù)學的內(nèi)容和方法都是圍繞對這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的.在數(shù)學科的發(fā)展中，數(shù)與形常常是結合在一起的，內(nèi)容上相互滲透，方法上相互聯(lián)系，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化.中學數(shù)學的代數(shù)、函數(shù)、三角、幾何都滲透了數(shù)形結合的內(nèi)容和思想.如實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；復數(shù)與坐標平面上的點一一對應；函數(shù)可用圖像表示；二元一次方程表示坐標平面上的一條直線；二元二次方程表示二次曲線；等等.掌握了數(shù)形結合的思想方法，有助于把代數(shù)、函數(shù)、三角、幾何的相關知識融會貫通，在分析問題與解決問題時，把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系問題，或者將數(shù)量關系問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，化難為易.

對于這樣一個知識跨度較大的題目，如果到此結束，不給出幾個變式進行強化，學生仍然對有關知識和思想方法不能融會貫通，稍微變形便會不知所措，找不到解題方法.因此，有必要順水推舟給出下面幾個變式練習：

變式 設f（x）=ax2+bx，1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，

（1）求f（-2）的取值范圍；（2）求ba的最小值；

（3）求a2+b2的取值范圍；（4）求a2+b2-4a-2b+5的取值范圍.

通過這樣的變式訓練，不僅能使學生從整體上把握線性規(guī)劃問題的本質(zhì)特征，而且能使學生學會發(fā)散思維，達到“會一題，通一類”的效果.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 希爾伯特.數(shù)學問題，數(shù)學譯文集[M].上海：上?？萍汲霭嫔?，1981.

[2] 張建.試卷講評要關注學生的思維過程[J].數(shù)學通報，2014（2）.

（責任編輯 黃桂堅）