王軍毅

摘要：數(shù)學(xué)分類思想作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重要組成部分之一，其思維模式不僅有助于提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，對(duì)學(xué)生的探究思維能力及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力同樣有著尤為重要的促進(jìn)作用. 隨著素質(zhì)教育的改革和推進(jìn)，數(shù)學(xué)分類思想作為廣大教育者的重要研究課題受到了很大的重視，并且其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中被廣泛使用. 本文從數(shù)學(xué)分類思想的含義著手，就其在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用重要性進(jìn)行分析并提出相應(yīng)的滲透策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分類思想；初中數(shù)學(xué)；滲透

分類思想是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的必備思想。素質(zhì)教育要培養(yǎng)面向未來的合格人才，在創(chuàng)造中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，具有創(chuàng)新意識(shí)，教育應(yīng)更多的的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略。數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入，“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)變的過程中，對(duì)學(xué)生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識(shí)概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)和探索過程中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法；要求學(xué)生會(huì)觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會(huì)闡述自己的思想和觀點(diǎn)。從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想觀念層次上的數(shù)學(xué)教育。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。

所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。

分類討論思想，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中。需要運(yùn)用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；②運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；④數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力。

分類思想不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。

教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對(duì)分類思想的主動(dòng)應(yīng)用。

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識(shí)

每個(gè)學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識(shí)，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)的分類，絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機(jī)會(huì)。

教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到對(duì)不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法，如分為：

有理數(shù)有理數(shù)

為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。

認(rèn)識(shí)數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對(duì)數(shù)a進(jìn)行分類，得出正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三類。

講解絕對(duì)值的意義時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：

通過對(duì)正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的認(rèn)識(shí)，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。

又如，兩個(gè)有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較是新的知識(shí)點(diǎn)，這就突出了學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識(shí)。并能在分類討論的時(shí)候注意一些基本原則，如分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對(duì)象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會(huì)出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯(cuò)誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯(cuò)誤。在確定對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級(jí)討論。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對(duì)每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1、根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類。有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。

例1，比較a與-a的大小，易得a的錯(cuò)誤，導(dǎo)致錯(cuò)誤在于沒有注意到數(shù)a可表示不同類的數(shù)。而對(duì)數(shù)a進(jìn)行分類討論，既可得到正確的解答：

a0 時(shí) ， a；0 時(shí)， ； 時(shí)，

2、根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進(jìn)行分類。學(xué)習(xí)一元二次方程，根的判別式時(shí)，對(duì)于變形后的方程。用兩邊開平方求解，需要分類研究大于0，等于0，小于0這三種情況對(duì)應(yīng)方程解的情況。而此題的符號(hào)決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程的根的三種情況。

例2、解關(guān)于x的不等式：ax+3>2x+a

分析通過移項(xiàng)不等式化為（a-2）x>a-3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-2>0，a-2=0，和a-2<0三種情況分別解不等式。

當(dāng)a-2>0，即a>2時(shí)，不等式的解是x>

當(dāng)，a-2=0，即a=2時(shí)，不等式的左邊=0，不等式右邊=-1

因?yàn)?-1，所以不等式的解是一切實(shí)數(shù)。

當(dāng)a-2<0，即a<2時(shí)，不等式的解是x<

3、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類。如直線和圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。例如：在證明圓周角定理時(shí)。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點(diǎn)的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時(shí)，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題

例3、已知函救y=（m-1）+（m-2）x-1（m是實(shí)數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值。

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m-1=0 和 m-10 兩種情況來研究解決問題。

解：當(dāng)m=l 時(shí)函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)y=-x-1，它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（-1，0）。

當(dāng) m1 時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)y=（m-1）+（m-2）x-1

當(dāng)△=+4（m-1）=0，得 m=0.

拋物線 y=--2x-1，的頂點(diǎn)（-1，0）在x軸上

例4、 函數(shù) y = - + - + - x +1，求證：y 的值恒為正數(shù)。

分析：將y的表達(dá)式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類，則問題容易解決。

證明：⑴ 當(dāng)x ≤0時(shí)

∵- - x ≥0 ，∴ y≥1恒成立；

⑵ 當(dāng)0 < x <1時(shí)

y = + （ -） + -） +（1-x）

∵ > ， >， 1> x

∴ y > 0 成立；

⑶ 當(dāng)x = 1 時(shí)， y = 1 > 0 成立；

⑷ 當(dāng)x >1時(shí)

y = -） + -） + - x ） + 1

∵> ，>，> x

∴ y > 1成立

綜上可知，y > 0 成立。

由以上的幾個(gè)例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得異常簡(jiǎn)單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時(shí)間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會(huì)使學(xué)生在認(rèn)識(shí)層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。

參考文獻(xiàn)

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