孫雪梅，趙永香，朱維宗，潘永燕，張朝亮

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云南民族地區(qū)六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征水平的調(diào)查研究

孫雪梅1，趙永香2，朱維宗2，潘永燕1，張朝亮3

（1．曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，云南曲靖 655011；2．云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南昆明 650500；3．云南省武定縣民族中學(xué)，云南武定 651699）

以云南民族地區(qū)的幾所城鎮(zhèn)和農(nóng)村小學(xué)的六年級(jí)彝族學(xué)生為研究對(duì)象，用6類小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決為測試工具，通過紙筆測試法、口語報(bào)告法、作業(yè)分析法和比較研究法．發(fā)現(xiàn)六年級(jí)彝族學(xué)生在不同的數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平有高有低，有的問題解決表征水平已達(dá)到了水平4，有的問題解決表征水平還處于水平1；六年級(jí)城鄉(xiāng)彝族學(xué)生在有的數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平有顯著差異，在有的數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平?jīng)]有顯著差異．另外，城鎮(zhèn)彝族學(xué)生達(dá)到水平3和水平4的學(xué)生多于農(nóng)村彝族學(xué)生，農(nóng)村彝族學(xué)生處于水平1的學(xué)生明顯多于城鎮(zhèn)彝族學(xué)生；六年級(jí)彝族男生和女生的數(shù)學(xué)問題解決表征水平?jīng)]有顯著差異；六年級(jí)彝族數(shù)學(xué)優(yōu)秀生和學(xué)困生的數(shù)學(xué)問題解決表征水平有顯著差異；六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的表征水平與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績顯著相關(guān)，且為正相關(guān)．

彝族小學(xué)生；數(shù)學(xué)問題解決；表征水平

1 問題提出

彝族是中國西南地區(qū)歷史悠久、人口較多、分布較廣的少數(shù)民族．云南、四川、貴州和廣西四省是中國彝族聚居區(qū)和彝族人口主要分布地，其中云南省彝族人口數(shù)為全國第一．云南的彝族主要分布在橫斷山脈南部、哀牢山脈、烏蒙山脈和金沙江、紅河、南盤江流域．全省境內(nèi)85％以上的縣（市）都有彝族居住，其中尤以楚雄彝族自治州、紅河哈尼族彝族自治州分布最多[1]．

1987年貴州師范大學(xué)在中國率先提出并開展了不同文化背景下數(shù)學(xué)教育研究．近20年來，民族數(shù)學(xué)教育日漸引起了社會(huì)各界的高度關(guān)注和重視．研究者對(duì)彝族數(shù)學(xué)教育進(jìn)行了相關(guān)研究，主要有以下3方面：一是對(duì)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究．李金富利用數(shù)學(xué)表征系統(tǒng)深入分析了四川涼山普格縣彝族農(nóng)村小學(xué)高段學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算過程中思維差異，并對(duì)差異背后的文化、觀念、習(xí)慣等影響因素進(jìn)行了剖析．丁云洪等人對(duì)彝族農(nóng)村小學(xué)4~6年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)問題解決觀念的調(diào)查研究．二是對(duì)彝族數(shù)學(xué)教學(xué)研究．阿牛木支通過14年的教學(xué)研究和實(shí)踐，探索了培養(yǎng)合格彝漢雙語師資的培養(yǎng)途徑和方法．三是對(duì)彝族數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)文化的研究．吳雙，周開瑞等對(duì)彝族數(shù)學(xué)及其應(yīng)用進(jìn)行了初步的歸納和整理．吉克曲一等人研究了涼山彝族文化中的數(shù)學(xué)文化．朱黎生研究了彝族服飾圖案中的數(shù)學(xué)元素，并將這些資源應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中．阿牛木支等探究了彝族畢摩從事宗教儀式中的插枝圖中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識(shí)[2~7]．綜上，教育界對(duì)有悠久歷史和濃厚文化底蘊(yùn)、人口較多的彝族的數(shù)學(xué)教育研究較少，而針對(duì)彝族義務(wù)教育階段學(xué)生從表征視角探討數(shù)學(xué)教與學(xué)的實(shí)證研究尚屬空白．

“數(shù)學(xué)表征”是指用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的行為，也指形式本身．它既指過程，又指結(jié)果[8]．近年來，數(shù)學(xué)表征已成為人們研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的一種重要工具，它日漸受到數(shù)學(xué)教師的廣泛認(rèn)同和普遍重視．通過對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的表征研究，能洞察問題解決者的思維過程，了解學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中是如何理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，是如何進(jìn)行數(shù)學(xué)交流和數(shù)學(xué)思維的．為此，選取云南民族地區(qū)幾所小學(xué)的六年級(jí)彝族學(xué)生為研究對(duì)象，通過調(diào)查研究他們在數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平如何，以及表征水平是否存在群體差異性，并且表征水平與數(shù)學(xué)成績間的相關(guān)性如何．旨在為了解少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維特征，改進(jìn)民族地區(qū)少數(shù)民族學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，為縮小民族地區(qū)數(shù)學(xué)教育差異，提高民族地區(qū)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量建言獻(xiàn)策．

2 理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)問題解決是指運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)去探求和解決新的或不熟悉的情境中的非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題的一種過程．?dāng)?shù)學(xué)問題解決既涉及數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)（如數(shù)學(xué)概念、原理等），又涉及程序性知識(shí)（如運(yùn)算、推理、作圖等），還涉及認(rèn)知策略（如表征、解題策略等），是一種高級(jí)的智力活動(dòng)[9]．個(gè)體在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，先要在頭腦中對(duì)題目的初始條件、約束條件、數(shù)量關(guān)系及問題等信息進(jìn)行捕獲、搜集、整合和加工，從而到達(dá)對(duì)題目的理解，然后再通過一系列算子，對(duì)知覺到的刺激或信息進(jìn)行記錄、表達(dá)并描述出來，這就是對(duì)數(shù)學(xué)問題的表征[10]．波文（Bowen，1990）指出，表征是問題解決者在問題解決時(shí)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)，并且該結(jié)構(gòu)是動(dòng)態(tài)的，能反映問題解決者對(duì)任務(wù)的理解程度．他還認(rèn)為表征可以形成一個(gè)系統(tǒng)，表征系統(tǒng)是問題解決者構(gòu)造的能解決問題并能與他人交流的結(jié)構(gòu)和過程的集合．表征不是問題解決過程的一個(gè)環(huán)節(jié)，而是持續(xù)整個(gè)問題解決過程中，數(shù)學(xué)問題解決的過程就是一個(gè)不斷表征的過程[11]．

希爾伯特（J. Hilbert）等基于表征存在的形式以及表征在心理運(yùn)作中的角色，認(rèn)為數(shù)學(xué)表征應(yīng)該區(qū)分為外在表征及內(nèi)在表征．外在表征是指以語言、文字、符號(hào)、圖片、具體物、活動(dòng)或?qū)嶋H情境等形式存在的表征．內(nèi)在表征是指存在于個(gè)體頭腦里而無法直接觀察的心理表征．而戈?duì)柖。℅. A. Goldin）綜合了數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域?qū)Ρ碚鞯难芯?，歸納了數(shù)學(xué)外在表征與數(shù)學(xué)內(nèi)在表征的區(qū)別．他認(rèn)為數(shù)學(xué)表征是反映數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象（包括數(shù)學(xué)概念、命題和問題解決等；或數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)、策略性知識(shí)和過程性知識(shí)等）的外在形式；數(shù)學(xué)內(nèi)在表征則是指個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的意義的賦予與建構(gòu)，包括個(gè)體的語言語義、心象、視空間表征、策略及啟發(fā)法、數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn)等．?dāng)?shù)學(xué)外在表征的本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的一個(gè)替代符號(hào)；數(shù)學(xué)內(nèi)在表征是學(xué)習(xí)對(duì)象的外在表征內(nèi)化在人腦中的心理表征，它本質(zhì)上也是外在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的一個(gè)替代符號(hào)．目前，對(duì)這兩種表征的理解達(dá)成了如下共識(shí)：外在表征和內(nèi)在表征是相互獨(dú)立但又緊密聯(lián)系的兩個(gè)概念．由于對(duì)內(nèi)在表征的研究在實(shí)際操作中有一定的困難，有的傾向于通過不同的外在表征類型間接地推測內(nèi)在表征的過程，有的認(rèn)為表征是一個(gè)內(nèi)在表征和外在表征相互轉(zhuǎn)換的動(dòng)態(tài)認(rèn)知過程[12~13]．

萊什（Lesh，1981）從交流的角度在布魯納的表征系統(tǒng)（動(dòng)作表征、表象表征、符號(hào)表征）的基礎(chǔ)上增加了口頭語言和現(xiàn)實(shí)情境兩種表征，把布魯納的動(dòng)作表征稱為操作模型表征，表象表征稱作圖像表征，符號(hào)表征稱作書面符號(hào)表征．并構(gòu)建了如圖1所示的表征轉(zhuǎn)化模型圖．這幾種表征方式同時(shí)存在于一個(gè)問題解決的情境中，當(dāng)重新組織問題的構(gòu)成要素和不同要素之間的聯(lián)系時(shí)，個(gè)體要重復(fù)使用各種表征和表征序列；同一表征之間或不同表征之間是互動(dòng)和相互轉(zhuǎn)化的，內(nèi)部的箭頭代表同一表征之間的轉(zhuǎn)化，聯(lián)結(jié)不同表征的外部箭頭表示不同表征之間的轉(zhuǎn)化，不同的表征或轉(zhuǎn)化呈現(xiàn)了不同表征水平．要實(shí)現(xiàn)表征之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)生就必須理解包含在給定的表征中的概念，而為了用其它表征方式來表征它，就必須重新解釋這概念．學(xué)生正是在用不同的表征方式來表征數(shù)學(xué)概念并實(shí)現(xiàn)表征方式內(nèi)部或者之間轉(zhuǎn)化的過程中，獲得了對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解[12~14]．

根據(jù)以上理論和研究需要，文中通過對(duì)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的外在表征方式來研究個(gè)體在數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平．文中涉及的數(shù)學(xué)外在表征（以下簡稱“表征”）的形式分為以下3種類型：直觀表征（包括現(xiàn)實(shí)情境、實(shí)物、具體操作、圖表和圖形表征）、語言表征（包括口語和文字表征）、符號(hào)表征（包括算術(shù)符號(hào)、抽象符號(hào)、代數(shù)式表征）．根據(jù)學(xué)生呈現(xiàn)的外在表征形式及其表現(xiàn)出來的所實(shí)現(xiàn)的表征間的相互轉(zhuǎn)化情況，文中把表征水平分為以下幾類：直觀表征水平，是指問題解決者的推理是基于形象化的感知，即個(gè)體用直觀的表征方式（如現(xiàn)實(shí)情境、圖形、實(shí)物、具體操作等）來表征自己的思維過程和結(jié)果．程序表征水平，是指問題解決者通過程序，即用具體的算法、有序的步驟來表征自己的思維過程和結(jié)果，亦即實(shí)現(xiàn)了由直觀表征、語言表征到算術(shù)符號(hào)表征的轉(zhuǎn)化．抽象表征水平，是指問題解決者能夠清晰地將概念與程序分離，能深刻理解概念的內(nèi)涵，能抽象概括出數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，即在更高水平上，實(shí)現(xiàn)了由直觀表征、語言表征、算術(shù)表征到抽象符號(hào)或代數(shù)式表征的轉(zhuǎn)化．

圖1 表征轉(zhuǎn)化模型

3 研究目的與方法

楚雄彝族自治州居住有彝、苗、傣、白、回、哈尼、傈僳等26個(gè)少數(shù)民族，少數(shù)民族人口占總?cè)丝诘?3%左右，彝族人口占全州總?cè)丝诘?6％左右．武定縣位于楚雄彝族自治州東部，是一個(gè)集“山區(qū)、民族、宗教、貧困”四位一體的國家扶貧開發(fā)工作重點(diǎn)縣．峨山彝族自治縣是新中國誕生后的第一個(gè)彝族自治縣，也是云南省的第一個(gè)民族區(qū)域自治縣，全縣居住著彝、漢、哈尼、回、蒙古族等，少數(shù)民族占全縣總?cè)丝诘?3%左右．新平彝族傣族自治縣的世居民族有彝族、傣族、漢族、哈尼族、拉祜族、回族、苗族、白族等，少數(shù)民族人口占全縣總?cè)丝诘?1%左右，彝族傣族人口占全縣總?cè)丝诘?4%左右．因此，選擇楚雄彝族自治州武定縣、玉溪峨山彝族自治縣和新平彝族傣族自治縣作為云南具有地域性、代表性的民族地區(qū)的幾所城鎮(zhèn)和農(nóng)村小學(xué)的彝族學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，能客觀地反映云南民族地區(qū)彝族小學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決狀況和表征水平．

3.1 研究目的

通過調(diào)查研究，旨在了解六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征總體水平如何，六年級(jí)城鄉(xiāng)彝族學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決表征水平有否差異性，以及六年級(jí)彝族男生和女生、數(shù)學(xué)優(yōu)秀生和學(xué)困生數(shù)學(xué)問題解決表征水平是否存在差異性，并對(duì)六年級(jí)彝族學(xué)生的表征水平與數(shù)學(xué)成績間的相關(guān)性進(jìn)行分析．從而得出客觀真實(shí)的結(jié)論，為提高云南民族地區(qū)彝族小學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提供一定的理論參考和實(shí)踐依據(jù)．

3.2 研究方法

3.2.1 被 試

城鎮(zhèn)的學(xué)生選擇了云南楚雄彝族自治州武定縣和玉溪市峨山彝族自治縣的城鎮(zhèn)小學(xué)六年級(jí)彝族學(xué)生97人，農(nóng)村學(xué)生選擇了玉溪市新平彝族傣族自治縣的農(nóng)村小學(xué)六年級(jí)彝族學(xué)生79人作為直接樣本．樣本具體情況如表1所示．

表1 樣本情況

3.2.2 研究方法

紙筆測試法．用編制的《小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決測試題》對(duì)學(xué)生進(jìn)行測試，收集整理學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中數(shù)學(xué)表征的相關(guān)信息并編碼處理，利用SPSS17.0軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．

口語報(bào)告法．測試后，選擇一部分學(xué)生，要求學(xué)生反思并回答其解題的思維過程．研究中，讓學(xué)生對(duì)其所思、所想，毫無保留地報(bào)告出來，研究者通過錄音筆錄下來，再根據(jù)錄音整理信息，然后通過對(duì)信息的分析提煉，以此揭示被試在完成任務(wù)過程中的思維和操作過程，以便能更準(zhǔn)確地確定被試在數(shù)學(xué)問題解決中的數(shù)學(xué)表征類型及水平．

作業(yè)分析法．對(duì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的作業(yè)進(jìn)行分析、比較．對(duì)他們解決問題的書面過程作分析，記錄下學(xué)生呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)表征的類型、表征水平，然后賦予相應(yīng)分值，用SPSS17.0軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，最后進(jìn)行歸納、分類，并得出結(jié)論．

比較研究法．對(duì)六年級(jí)彝族城鄉(xiāng)、男女生、優(yōu)秀生與學(xué)困生的數(shù)學(xué)問題解決表征水平進(jìn)行比較．通過比較揭示各類彝族學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的表征特征和規(guī)律，從而得出客觀真實(shí)的結(jié)論．

3.2.3 研究工具及信度

調(diào)查采用的是自編測試卷“小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決測試卷”．測試試卷的題目主要參照QUASAR（Quantitative Under- standing: Amplifying Student Achievement and Reasoning）項(xiàng)目中的認(rèn)知評(píng)價(jià)工具（Lane，1993；Lane等，1995）和蔡金法（2007）《中美學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的系列實(shí)證研究》中的測試題，結(jié)合學(xué)校和學(xué)生情況，設(shè)計(jì)了一份有10個(gè)題的測試卷，并請專家及一線教師對(duì)該測試題提出修改意見，刪除了一些語意模糊、目的不清、針對(duì)性不強(qiáng)或難度大的問題．而后在一所小學(xué)進(jìn)行了試測，并根據(jù)試測情況進(jìn)行了再次修改，最后確定了6個(gè)題作為測試題（測試題詳見附錄）．

問題1是過程受限的數(shù)論問題，主要是考查學(xué)生的數(shù)感和運(yùn)用數(shù)論基本知識(shí)解決實(shí)際問題的能力和建模意識(shí)．問題2是有關(guān)平均數(shù)的問題，主要考查學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念的理解和方程意識(shí)．問題3是與模式有關(guān)的問題，主要考查學(xué)生的符號(hào)意識(shí)及推理和抽象概括能力．問題4是地圖比例的問題，主要考查學(xué)生對(duì)比、比值及其應(yīng)用能力．問題5是面積問題，主要考查學(xué)生運(yùn)算和思維能力．問題6是過程開放的數(shù)論問題，主要是考查學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)及推理能力[15]．這6個(gè)題都可用多種解題策略和多種表征方式來解答．

對(duì)回收的測試問卷做了信度估計(jì)，用SPSS17.0分析得到信度系數(shù)為0.788，所用問卷信度較好．由表2知，KMO檢驗(yàn)系數(shù)=0.771，<0.005，說明所用問卷效度較好．

表2 KMO和Bartlett的檢驗(yàn)

3.3 測試評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)、策略知識(shí)和數(shù)學(xué)表征3個(gè)維度．按照對(duì)問題所涉及的數(shù)學(xué)概念和原理理解是否完全，使用的數(shù)學(xué)術(shù)語和符號(hào)的適當(dāng)與否，算法是否完整且正確；是否會(huì)使用正式或非正式的相關(guān)的外在信息，是否明確問題的所有要素，是否理解它們之間的關(guān)系；問題解決的策略是否合適，解答過程是否完整且系統(tǒng)；給出的解答是否完整，使用的圖表是否適當(dāng)完整正確，使用的數(shù)學(xué)表達(dá)式和符號(hào)是否正確進(jìn)行評(píng)價(jià)．具體的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)見表3[15]．

表3 數(shù)學(xué)問題解決評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

4 調(diào)查結(jié)果分析

為了從整體上掌握六年級(jí)彝族學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的表征現(xiàn)狀，以便為后續(xù)的分析提供參考，數(shù)據(jù)處理時(shí)將學(xué)生解答6個(gè)數(shù)學(xué)問題所使用的表征類型及其水平進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)．文中用SPSS17.0統(tǒng)計(jì)軟件中的頻數(shù)分布分析法、卡方檢驗(yàn)，以及Spearman等級(jí)相關(guān)分析法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．

4.1 六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征總體水平

六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征總體水平如表4所示．

表4 六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征總體水平百分率統(tǒng)計(jì)

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明：學(xué)生對(duì)數(shù)論問題解決的表征水平總體偏低：對(duì)于過程受限的數(shù)論問題，有50%的學(xué)生處于直觀表征水平（即水平2），尤其是過程開放的數(shù)論問題，40.9%的學(xué)生無法進(jìn)入該題的解答．但開放性數(shù)論問題中35.2%的學(xué)生處于程序表征水平（即水平3），22.2%的學(xué)生處于抽象表征水平（即水平4），均高于過程受限的數(shù)論問題．對(duì)于平均數(shù)問題，52.8%的學(xué)生處于程序表征水平（即水平3），這表明大多數(shù)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解是工具性理解，只掌握了其算法；26.7%的學(xué)生處于抽象表征水平（即水平4），這部分學(xué)生對(duì)平均數(shù)的概念達(dá)到了抽象理解，形成了關(guān)于平均數(shù)的綜合圖式．有72.7%的學(xué)生在比例問題解決中處于程序表征水平（即水平3），表明這部分學(xué)生對(duì)比例的理解處于工具性理解，只有7.4%的學(xué)生達(dá)到了抽象理解水平．總體來看，在平均數(shù)、比例、面積3類問題解決中，大部分六年級(jí)彝族學(xué)生呈現(xiàn)的表征水平為程序表征水平（即水平3）；在模式問題解決中，有大部分學(xué)生達(dá)到了抽象表征水平（即水平4）；在解決過程受限的數(shù)論問題時(shí)，大部分學(xué)生的表征水平為直觀表征水平（即水平2），而在解決過程開放的數(shù)論問題時(shí)，50%左右的學(xué)生的表征水平為程序表征水平（即水平3）或抽象表征水平（即水平4），但還有不少學(xué)生的表征水平還處于水平1．評(píng)價(jià)6個(gè)問題的各表征水平的具體描述見表5．

表5 六年平級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征水平的評(píng)價(jià)描述

4.2 六年級(jí)彝族學(xué)生表征水平的比較研究

下面分別按城鄉(xiāng)、性別、成績分類對(duì)六年級(jí)彝族學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決表征水平進(jìn)行差異比較．

4.2.1 六年級(jí)城鄉(xiāng)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征水平的比較研究

為了比較六年級(jí)城鎮(zhèn)和農(nóng)村彝族學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平是否存在差異，研究者對(duì)此進(jìn)行了卡方檢驗(yàn)．具體情況如表6所示．

表6 六年級(jí)城鄉(xiāng)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征水平卡方檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明：六年級(jí)城鄉(xiāng)彝族學(xué)生在數(shù)論、平均數(shù)、地圖比例3類數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平有顯著差異（<0.05），在模式、面積兩類數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平?jīng)]有顯著差異（>0.05）．另外，城鎮(zhèn)學(xué)生程序表征水平和抽象水平的學(xué)生多于農(nóng)村彝族學(xué)生，錯(cuò)誤表征或無法進(jìn)入數(shù)學(xué)問題解決的農(nóng)村學(xué)生明顯多于城鎮(zhèn)彝族學(xué)生．

4.2.2 六年級(jí)彝族男女生表征水平的比較研究

為比較六年級(jí)彝族男生和女生在數(shù)學(xué)問題解決中表征水平是否存在差異，對(duì)男生和女生數(shù)學(xué)問題解決表征水平進(jìn)行了卡方檢驗(yàn)，具體情況如表7．

表7 六年級(jí)彝族男女生數(shù)學(xué)問題解決表征水平卡方檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明：對(duì)于所測試的6道題，值均大于0.05，說明六年級(jí)彝族男生和女生數(shù)學(xué)問題解決表征水平?jīng)]有顯著差異．

4.2.3 六年級(jí)彝族數(shù)學(xué)優(yōu)秀生與學(xué)困生表征水平的比較研究

為比較六年級(jí)彝族數(shù)學(xué)優(yōu)秀生和學(xué)困生數(shù)學(xué)問題解決表征水平之間的異同，對(duì)優(yōu)秀生和學(xué)困生的數(shù)學(xué)問題解決表征水平進(jìn)行了卡方檢驗(yàn)，具體情況如表8．

表8 六年級(jí)彝族數(shù)學(xué)優(yōu)秀生和學(xué)困生數(shù)學(xué)問題解決表征水平卡方檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明：6道題目的值均小于0.05，說明六年級(jí)彝族數(shù)學(xué)優(yōu)秀生和學(xué)困生在這6類數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平有顯著差異．大部分彝族數(shù)學(xué)學(xué)困生沒有能力進(jìn)入這六類數(shù)學(xué)問題的解決，能夠解答這6類數(shù)學(xué)問題的學(xué)困生數(shù)學(xué)問題解決表征水平基本處于直觀表征水平（即水平2）或程序表征水平（即水平3），而大部分彝族數(shù)學(xué)優(yōu)秀生對(duì)這6類數(shù)學(xué)問題解決的表征水平處于程序表征水平（即水平3）或抽象表征水平（即水平4）．

4.3 六年級(jí)彝族學(xué)生表征水平與數(shù)學(xué)問題解決成績相關(guān)性

為了尋找六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征水平與數(shù)學(xué)問題解決成績之間是否有相關(guān)性，如果有相關(guān)性，相關(guān)性是否顯著的問題．研究者對(duì)六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征水平和數(shù)學(xué)問題解決成績進(jìn)行了Spearman等級(jí)相關(guān)分析，其中表征水平和成績只能取有限的值，每個(gè)表征水平和成績代表著不同程度，表征水平和成績之間的差異無法衡量，符合Spearman等級(jí)相關(guān)分析的基本假設(shè)．具體情況如表9．

表9 表征水平與數(shù)學(xué)問題解決成績間的相關(guān)性檢驗(yàn)

注：**.在置信度（雙側(cè)）為0.01時(shí)，相關(guān)性是顯著的

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明：對(duì)所測試的6道題的分析結(jié)果均顯示<0.001，即六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決表征水平與學(xué)習(xí)成績顯著相關(guān)，且為正相關(guān)．這說明學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決表征水平越高，學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的數(shù)學(xué)成績越好．

5 結(jié)論和教學(xué)啟示

5.1 研究結(jié)論

通過以上的調(diào)查研究可以得到以下結(jié)論．

（1）大部分六年級(jí)彝族學(xué)生在平均數(shù)、比例、面積數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平達(dá)到了程序表征水平（即水平3），在模式問題解決中達(dá)到了抽象表征水平（即水平4），而在數(shù)論問題解決中的表征水平只達(dá)到直觀表征水平（即水平2），甚至還有不少學(xué)生的表征水平還處于水平1．

（2）六年級(jí)城鄉(xiāng)彝族學(xué)生在數(shù)論、平均數(shù)、地圖比例3類數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平有顯著差異，在模式、面積兩類數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平?jīng)]有顯著差異．另外，城鎮(zhèn)彝族學(xué)生達(dá)到程序表征水平和抽象水平的學(xué)生多于農(nóng)村彝族學(xué)生，農(nóng)村學(xué)生處于水平1的學(xué)生明顯多于城鎮(zhèn)彝族學(xué)生．

（3）六年級(jí)彝族男生和女生數(shù)學(xué)問題解決表征水平?jīng)]有顯著差異．

（4）六年級(jí)彝族數(shù)學(xué)優(yōu)秀生和學(xué)困生在這6類數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平有顯著差異．大部分彝族數(shù)學(xué)學(xué)困生沒有能力進(jìn)入這6類數(shù)學(xué)問題的解決，能夠解答這6類數(shù)學(xué)問題的學(xué)困生數(shù)學(xué)問題解決表征水平基本處于直觀表征水平（即水平2）或程序表征水平（即水平3），而大部分彝族數(shù)學(xué)優(yōu)秀生對(duì)這6類數(shù)學(xué)問題解決的表征水平處于程序表征水平（即水平3）或抽象表征水平（即水平4）．

（5）六年級(jí)彝族學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的表征水平與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績顯著相關(guān)，且為正相關(guān)．

通過測試可以看到在數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平為程序表征水平的學(xué)生占的比例較大，說明大部分學(xué)生對(duì)能用具體的算法、程序操作來解決的問題完成得較好．學(xué)生遇到熟悉的問題，有現(xiàn)成的公式可利用時(shí)，如處理平均數(shù)、面積、比例等問題時(shí)學(xué)生就傾向于選擇程序表征．其次，學(xué)生使用直觀表征的頻率是最少的．除了模式問題外，有一半的學(xué)生在過程限制的數(shù)論問題中使用了直觀表征，在其它的4類問題中，學(xué)生極少使用直觀表征．這與教材的編寫注重抽象的解釋和算法化的程序操作的特點(diǎn)，以及教師教學(xué)時(shí)喜好的表征傾向是有關(guān)的．同時(shí)也說明學(xué)生掌握了更高級(jí)的表征方式后，不再愿意使用繁復(fù)的、直觀的表征方式．通過對(duì)測試卷的分析及學(xué)生的口語報(bào)告可以看到，能達(dá)到抽象表征水平的學(xué)生處理問題時(shí)，能較好地將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并恰當(dāng)?shù)剡x擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來解決問題，如遇到過程受限和開放的數(shù)論問題時(shí)，能將問題轉(zhuǎn)化為公倍數(shù)問題來解決．并且這部分學(xué)生解決問題的方法多樣，表征的方式也是多元的，且能較好地實(shí)現(xiàn)各種表征間的轉(zhuǎn)化．這表明達(dá)到抽象表征水平的學(xué)生已從“算術(shù)思維”過渡到了“代數(shù)思維”，能順利地找出問題中的等量關(guān)系并列出相應(yīng)方程來解決問題，說明他們對(duì)方程的本質(zhì)有了深刻的體會(huì)．測試表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決表征水平越高，那么他們在數(shù)學(xué)問題解決中的數(shù)學(xué)成績越好．這也說明直觀表征最后必須上升到抽象表征才是“數(shù)學(xué)”，因?yàn)橹庇^表征能幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，并不能直接實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深層次的數(shù)學(xué)理解，而數(shù)學(xué)優(yōu)秀生和學(xué)困生的表征水平測試的結(jié)果也驗(yàn)證了此結(jié)論．處于水平1的學(xué)生，這部分學(xué)生大多是數(shù)學(xué)學(xué)困生，他們對(duì)問題涉及概念理解不清楚或理解錯(cuò)誤，公式記憶不正確，算法錯(cuò)誤，計(jì)算和推理能力欠缺，對(duì)問題的重要信息理解不清楚或理解錯(cuò)誤，更談不上能選擇合適的策略和表征來解答問題[16~18]．

5.2 教學(xué)啟示

根據(jù)以上研究所得結(jié)論，教師在教學(xué)中要給學(xué)生一定的時(shí)空，充分使用實(shí)物、模型、學(xué)具等，先讓學(xué)生在動(dòng)作操作、直觀表征中思維，學(xué)會(huì)利用直觀表征尋求解答，讓學(xué)生從直觀的角度來構(gòu)建自己對(duì)數(shù)學(xué)概念、法則及關(guān)系的表征，以此幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念和思想方法．如果教師在教學(xué)中僅提供符號(hào)化、形式化的表征，基礎(chǔ)差的學(xué)生因?yàn)殡y以理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象意義，因而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)望而生畏，甚至失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心．

教師在教學(xué)中要注意多元表征的使用，除了關(guān)注言語化表征（如話語文本、書寫文本、數(shù)學(xué)公式、符號(hào)表示、邏輯表示等表征），還要重視視覺化表征（如圖形、圖象、圖表、教學(xué)模型、動(dòng)畫、動(dòng)作操作等表征）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的促進(jìn)作用．因?yàn)閱我槐碚髦环从硵?shù)學(xué)對(duì)象的某個(gè)角度，完整理解數(shù)學(xué)對(duì)象需要從多個(gè)角度把握．多元表征能進(jìn)一步豐富學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生能從多角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的深刻理解，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，最終促進(jìn)學(xué)生從具體思維向抽象思維的發(fā)展．

教師在教學(xué)中要關(guān)注從“現(xiàn)實(shí)問題”到“數(shù)學(xué)問題”模型化的過程，以及從“數(shù)學(xué)問題的結(jié)果”到對(duì)“現(xiàn)實(shí)問題檢驗(yàn)、解釋、預(yù)測、解決及推廣”的過程．教師和學(xué)生平時(shí)較多關(guān)注從“數(shù)學(xué)問題”到“數(shù)學(xué)結(jié)果”的過程，較少關(guān)注從“現(xiàn)實(shí)問題”到“數(shù)學(xué)問題”模型化思想的應(yīng)用．學(xué)生在遇到如測試卷中的問題1（過程受限的數(shù)論問題）時(shí)，51%的學(xué)生選擇用畫出日歷表，然后再按要求一個(gè)個(gè)數(shù)日期來找到正確答案．只有20%的學(xué)生會(huì)把這問題轉(zhuǎn)化為“公倍數(shù)”的問題來解決它，有的雖然想到用公倍數(shù)問題來解決，但沒有根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題來檢驗(yàn)結(jié)果的正確性，多找或少找了正確答案．在數(shù)學(xué)問題解決中，關(guān)注數(shù)學(xué)建模的過程，通過一題多解，或多題一解，能較好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、法則和關(guān)系等數(shù)學(xué)對(duì)象的深入理解，提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力．

另外，通過與一些教育專家的交流，建議教師在教學(xué)中要從彝族的歷史、文化、民俗、服飾、宗教、節(jié)日和生產(chǎn)生活中開發(fā)出適合彝族學(xué)生實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)資源，利用具有彝族特色的數(shù)學(xué)教學(xué)資源能讓學(xué)生找到民族自豪感和認(rèn)同感，從而激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．如果能用雙語進(jìn)行教學(xué)的老師要盡可能用彝漢雙語進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，慢慢過渡到漢語教學(xué)，這樣可以幫助彝族學(xué)生跨越語言障礙，更好地切合彝族學(xué)生思維特點(diǎn)，使學(xué)生能正確深刻地理解抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象[19~22]．

6 反思與展望

研究以數(shù)學(xué)問題解決為載體試圖了解云南少數(shù)民族地區(qū)彝族六年級(jí)學(xué)生表征狀況，力求真實(shí)地反映學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的表征水平，從而以表征為視角分析研究民族地區(qū)民族數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀及存在的問題．但因?yàn)橐恍┲饔^和客觀原因，研究中還存在許多不足：問題的設(shè)計(jì)未能考慮到彝族學(xué)生的語言、習(xí)俗和生活環(huán)境等因素，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)有些問題的理解不夠清楚明確．另外，樣本選擇的代表性不夠，只選取了部分民族地區(qū)，農(nóng)村小學(xué)中的彝族學(xué)生的數(shù)量也不多．通過此次研究發(fā)現(xiàn)有許多值得進(jìn)一步研究的問題，比如，彝族和漢族、其他少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)表征問題的比較研究，各學(xué)段彝族學(xué)生數(shù)學(xué)表征問題研究，表征視角下民族數(shù)學(xué)教與學(xué)策略研究，彝族數(shù)學(xué)文化及教學(xué)資源開發(fā)等問題．唯愿此文能起拋磚引玉的作用，能引發(fā)教育工作者對(duì)彝族數(shù)學(xué)教育的深入研究．

[1] 《彝族簡史》編寫組．彝族簡史[M]．北京：民族出版社，2009．

[2] 呂傳漢，張洪林．民族數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1992，1（1）：101-102．

[3] 吳雙，周群體，周開瑞．彝族數(shù)學(xué)初探[J]．西南民族學(xué)院學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），1996，（17）：124-131．

[4] 周開瑞，周一勤，王世芳．彝鄉(xiāng)數(shù)學(xué)雜談[J]．西南民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1994，（3）：331-340．

[5] 阿牛木支．彝族畢摩插枝儀式中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用[J]．西昌學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，（4）：75-77．

[6] 阿牛木支．彝族插枝圖數(shù)學(xué)思想探討[J]．西南民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999，（3）：330-332．

[7] 朱黎生．彝族服飾圖案中數(shù)學(xué)元素的挖掘及其在教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用嘗試[J]．民族教育研究，2012，（3）：98-102．

[8] 鞏子坤．程序性知識(shí)教與學(xué)研究[M]．南寧：廣西教育出版社，2010．

[9] 張春莉．?dāng)?shù)學(xué)問題解決過程的內(nèi)在心理機(jī)制[J]．華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），1998，（2）：55-63．

[10] 邢強(qiáng)，蔡興華，單永明．外部表征和問題呈現(xiàn)方式對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（4）：74-77．

[11] 李金富．彝族農(nóng)村小學(xué)生數(shù)學(xué)思維差異研究——四川普格5~6年級(jí)計(jì)算測試調(diào)查[D]．西南大學(xué)，2012．

[12] 唐劍嵐．國外關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的多元外在表征的研究述評(píng)．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（1）：30-34．

[13] 唐劍嵐．?dāng)?shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)及教學(xué)[M]．南京：南京師范大學(xué)出版社，2009．

[14] 鮑建生，周超．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[15] 蔡金法．中美學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的系列實(shí)證研究——他山之石，何以攻玉[M]．北京：科學(xué)出版社，2007．

[16] 王光明，廖晶．“探索世界”范式及其對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示[J]．課程·教材·教法，2013，（12）：116-119．

[17] 夏小剛，呂傳漢．跨文化視野下中美學(xué)生數(shù)學(xué)思維差異的比較[J]．比較教育研究，2006，（8）：63-67．

[18] 張定強(qiáng)，蔣會(huì)兵，蔡娟娥．中國少數(shù)民族數(shù)學(xué)教育研究的回顧與展望——基于1993—2013年CNKI期刊數(shù)據(jù)的分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）：69-74．

[19] 孫雪梅，賽麒麟，朱維宗．曲靖市農(nóng)村中學(xué)高二理科生學(xué)習(xí)風(fēng)格的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（6）：35-41．

[20] 任偉芳，偶偉國，龔輝，等．“工具性理解”“關(guān)系性理解”和“創(chuàng)新性理解”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（4）：69-73．

[21] 孫雪梅，潘永燕．基于表征理論的“雞兔同籠”問題教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)之友，2014，（24）：10-12．

[22] 李燕清，唐劍嵐．京族和漢族小學(xué)生估算能力及影響因素的調(diào)查研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）：60-63．

附錄：小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決測試卷

問題1（過程受限的數(shù)論問題）：海邊有一個(gè)小漁村，村里有一老一少兩個(gè)漁夫同住一個(gè)房子里．3月1日那天，他們開始打魚，老漁夫連續(xù)打3 天然后休息1天（即3月1日、2日、3日打魚，4日休息，5日、6日、7日打魚，8日休息，以下依此類推……），年輕漁夫連續(xù)打5 天然后休息1天（即3月1日、2日、3日、4日、5日打魚，6日休息，7日、8日、9日、10日、11日打魚，12日休息，以下依此類推……）．有一位朋友想在3月份趁兩人一起休息的日子去看望他們，這位朋友可以選哪些天去才能同時(shí)碰到他們倆？

用盡可能多的方式解決此問題，并寫出你的全部解答過程．

問題2（平均數(shù)問題）：一商店出售籃球．下圖列出了該商店在前三周售出的籃球數(shù)：

問此商店在第四周應(yīng)該賣掉多少個(gè)籃球，才能使每周售出的籃球平均數(shù)為7？

用盡可能多的方式解決此問題，并寫出你的全部解答過程．

問題3（模式問題）：一些點(diǎn)按下面的模式排列．

（1）畫出第五個(gè)圖．

（2）畫出第十個(gè)圖．

（3）說明你為什么把第十個(gè)圖畫成這樣．

問題4（比例問題）：下面的地圖上標(biāo)有3個(gè)縣城：

清水縣與長江縣的實(shí)際距離是54千米，在地圖上，清水縣與長江縣的距離是3厘米，在地圖上，太湖縣與長江縣的距離是12 厘米．太湖縣與長江縣的實(shí)際距離是多少千米？

用盡可能多的方式解決此問題，并寫出你的全部解答過程．

問題5（面積問題）：某小學(xué)有一間教室將變?yōu)樾ｉL辦公室．

如上圖，不鋪地毯的地方將安置一張辦公桌，別的地方會(huì)鋪上地毯．

（1）沒有地毯部分的面積是多少？寫出你的解答過程．

（2）有地毯部分的面積是多少？寫出你的解答過程．

（3）房間的幾分之幾鋪了地毯？寫出你的解答過程．

問題6（過程開放的數(shù)論問題）：李萍告訴她的弟弟李俊她在數(shù)學(xué)課上所做的游戲．

李萍說：“李俊，今天我在數(shù)學(xué)課堂上用了積木方塊．當(dāng)我把積木方塊分成每2個(gè)一組時(shí)，多出了1個(gè)積木方塊；當(dāng)我把積木方塊分成每3個(gè)一組時(shí)，還是多出1個(gè)積木方塊；當(dāng)我把積木方塊分成每4個(gè)一組時(shí)，仍然多出1個(gè)積木方塊．”

李萍問：“李俊，你猜猜總共有多少積木方塊？”

李俊給出的答案是什么？

用盡可能多的方式解決此問題，并寫出你的全部解答過程．

Study of Sixth-Grade Yi Students’ Capability of Mathematics Problem Solving in Yunnan Ethnic Region

SUN Xue-mei1, ZHAO Yong-xiang2, ZHU Wei-zong2, PAN Yong-yan1, ZHANG Chao-liang3

(1. College of Mathematics and Information Science, Qujing Normal University, Yunnan Qujing 655011, China;2. College of Mathematics, Yunnan Normal University, Yunnan Kunming 650500, China;3. Wuding Middle School of Yunnan Province for Nationalities, Yunnan Wuding 651699, China)

Selecting sixth-grade students of Yi nationality at town and rural in Yunnan ethnic region as research samples; using six categories of capability of mathematics problem solving as evaluation tools; completing pencil and paper test, verbal protocol, job analysis and comparative study, we found that sixth-grade students of Yi have different representation level in different capability of mathematics problem solving, some students reach representation level 4, some students only have representation level 1; there is a significant difference between some capability of mathematics problem solving and representation level, and there is NO significant difference between some capability of mathematics problem solving and representation level also. Furthermore, there are more students of town reach level 3 and 4 than students of rural; there are much more students of rural only have level 1 than students of town; there is NO significant difference between boys and girls; there is a significant difference between excellent students and students with learning difficulty; there is a significant correlation between representation level and math scores, and a positive correlation.

elementary school student of Yi nationality; capability of mathematics problem solving; representation level

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G420

A

1004–9894（2016）03–0085–08

2016–01–15

云南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題一般項(xiàng)目——云南民族地區(qū)5~6年級(jí)彝族學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的數(shù)學(xué)表征研究（BE14014）；曲靖師范學(xué)院2016年重點(diǎn)課題——云南少數(shù)民族數(shù)學(xué)文化的挖掘及其應(yīng)用（2016JZ001）；曲靖師范學(xué)院2014年精品課程建設(shè)項(xiàng)目（JPKC2014003）；曲靖師范學(xué)院2015年研究生項(xiàng)目——5~6年級(jí)漢族和彝族學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決中的表征研究（2015YJS02）

孫雪梅（1970—），女，云南大關(guān)人，教授，碩士，碩士生導(dǎo)師，主要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究及民族數(shù)學(xué)教育研究．