圓錐曲線將幾何與代數(shù)進行了完美結(jié)合，直線與圓錐曲線的題型涉及函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想方法.將幾何問題轉(zhuǎn)化為易于計算的代數(shù)問題，這為研究問題提供了許多便利；但也不可避免地造成許多計算的繁瑣，同時對運算能力提出較高要求.圓錐曲線作為高考必考內(nèi)容常被同學們看成一道分水嶺，跨過去往往數(shù)學就能取得高分，如何在有限的答題時間內(nèi)取得理想的答題效果，除了練就扎實的計算、化簡等基本功之外還要了解減少運算量的一些常用策略，扎實備考.現(xiàn)舉例說明.

一、回歸定義，善用幾何

解析幾何中，我們主要運用代數(shù)的方法研究幾何問題，但很多時候，若能充分挖掘利用圖形的幾何特征，則會將復雜問題簡單化.

例1已知橢圓x22+y2=1的右焦點為F，右準線為l，過點F的直線m與橢圓交于A，B兩點.若AF=3FB，求直線m的方程.

法一：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），F(xiàn)（1，0），AF=（1-x1，-y1），F(xiàn)B=（x2-1，y2），由AF=3FB

得1-x1=3（x2-1）

-y1=3y2，即x1=-3x2+4

y1=-3y2，

又因為x212+y21=1，x222+y22=1，

所以（-3x2+4）22+（-3y2）2=1，（1）

9x222+9y22=9，（2），

由（2）-（1）得24x2-162=8，

解得x2=43，進一步解得y2=13或y2=-13，所以直線m的斜率為k=1或k=-1，所以直線m的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

評注：該解法是從代數(shù)角度——設(shè)未知數(shù)列方程組的辦法求出直線上點的坐標，從而求出直線方程的斜率，重在計算.實際上，AB是過焦點的直線，可以從幾何角度求出直線的傾斜角，請看法二.

法二：如圖，分別自A、B作右準線的垂線，垂足分別為C、D，過B作AD的垂線，垂足為E，設(shè)AF=3x，BF=x，由橢圓的第二定義知AFAD=BFBC=e，AD=3xe，BC=xe，AE=2xe，e=22，在Rt△AEB中，AB=4x，cos∠BAE=AEAB=2xe4x=12e=22，∠BAE=45°，所以直線m的斜率為1，由橢圓的對稱性可知m的斜率也可為-1，所以直線m的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

評注：該法重在挖掘圖中的幾何性質(zhì)，利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，推導得到直線的傾斜角，相對法一，計算量減少.平常涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形問題，涉及焦點、準線、離心率問題?？梢越Y(jié)合定義解題.解題要能夠優(yōu)先回歸定義，善用幾何圖形的性質(zhì)以簡化解題過程.

二、設(shè)而不求，整體代入

用解析法處理直線與圓錐曲線問題時，設(shè)點坐標最為常見，如果點坐標好求可直接求出，若不好求或者沒必要求，我們可根據(jù)點在曲線上，通過整體思想處理坐標關(guān)系，實現(xiàn)設(shè)而不求，整體代入.

例2橢圓x216+y24=1上有兩點P、Q，O是原點，若OP、OQ斜率之積為-14，求證：OP2+OQ2為定值.

解析：設(shè)P、Q兩點的坐標分別為P（x1，y1）、Q（x2，y2），P、Q分別在橢圓上，且OP、OQ斜率之積為-14，所以x2116+y214=1

x2216+y224=1

y1x1y2x2=-144y21=16-x21（1）

4y22=16-x22（2）

4y1y2=-x1x2（3）

由（1）×（2）得：

16y21y22=162-16（x21+x22）+x21x22（4）

將（3）代入（4）得x21+x22=16，

（1）+（2）得y21+y22=8-14（x21+x22）=4，

所以O(shè)P2+OQ2=x21+y21+x22+y22=20為定值.

評注：該題設(shè)出弦的兩個端點坐標，后代入橢圓方程，再作差，這樣的方法往往稱之為點差法，在斜率和弦的中點坐標關(guān)系上經(jīng)常使用.

例3已知橢圓x216+y29=1，求以點P（2，1）為中點的弦所在的直線方程.

解析：對于橢圓x216+y29=1，設(shè)弦的兩個端點為M（x1，y1）、N（x2，y2），則x2116+y219=1（1）

x2216+y229=1（2）

由（1）-（2）得x21-x2216+y21-y229=0，

∴y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-916（3）

∵kMN=y1-y2x1-x2，y1+y2x1+x2=2y中2x中，將中點坐標代入（3）得kMN=-98，所以直線的方程為9x+8y-26=0，經(jīng)檢驗符合題意.

評注：在處理直線與圓錐曲線相交弦長問題，中點弦問題，對稱問題時，借助設(shè)而不求，整體代入，整體消元，降低了運算量，優(yōu)化解題過程.

三、借助向量，減少計算

平面向量由于具有代數(shù)和幾何雙重特征，因而為解析幾何增添了鮮活的色彩，可以借助向量工具實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化.

例4已知橢圓x23+y22=1，上頂點為A，左焦點為F1，直線AF1交橢圓于B，設(shè)P（m，n）（m，n為常數(shù)）在直線BO上且在橢圓外，過點P的動直線與橢圓交于不同點M、N，在線段MN上取點Q，滿足MPPN=MQQN，證明點Q恒在一定直線上.

解析：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x，y），則2x21+3y21=6，2x22+3y22=6，∵MPPN=MQQN，設(shè)MPPN=MQQN=λ，則MP=-λPN，MQ=λQN，可求得m=x1-λx21-λ，x=x1+λx21+λ，n=y1-λy21-λ，y=y1+λy21+λ，從而mx=x21-λ2x221-λ2，ny=y21-λ2y221-λ2.

∵2mx+3ny=2x21-2λ2x221-λ2+3y21-3λ2y221-λ2=2x21+3y21-λ2（2x22+3y22）1-λ2=6，

所以定直線為2mx+3ny-6=0.

評注：本題將不大好用的幾何條件MPPN=MQQN改換成向量形式，從而順利實現(xiàn)代數(shù)化，向量的工具性顯而易見.

四、引入?yún)?shù)，實現(xiàn)減元

適當引入?yún)?shù)，對于深入研究直線與圓錐曲線的關(guān)系非常重要，選擇合適的參數(shù)，如點坐標、角、直線的斜率、比值等，再配以相應的數(shù)式變形，往往可以簡化計算，事半功倍.

例5在橢圓x225+y216=1上求一點，使它到直線l：4x+5y-40=0的距離最短，并求此距離.

解析：設(shè)橢圓上的點為M（5cosα，4sinα），則點M到直線l的距離為

d=|20cosα+20sinα-40|41=|202sin（α+π4）-40|41

所以當α=π4時，

dmin=20（2-2）41=4041-208241，

此時點M（522，22）.

評注：點在橢圓上的條件使用的代數(shù)形式一般兩種：一是兩元式（x，y），二是一元式（參數(shù)形式）.本題就是利用橢圓的參數(shù)方程實現(xiàn)消元，同時將最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，從而順利解題.

五、逆向代入，明確目標

圓錐曲線上的點坐標常見用法是直接代入方程，或解出坐標或設(shè)而不求整體代入，但是在具體問題中如果能夠從別的途徑或者用別的量較容易表示出圓錐曲線上的點的坐標，再代入方程，不妨稱之為逆向代入，往往具有目標明確，直奔主題的效果.

例6已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的動點，弦PA，PB分別過點F1，F(xiàn)2，PF1=λ1F1A，PF2=λ2F2B，求證：λ1+λ2為定值.

解析：設(shè)P（x0y0），A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），由PF1=λ1F1A得

（-c-x0，-y0）=λ1（x1+c，y1），

則-c-x0=λ1（x1+c）

-y0=λ1y1，

解得x1=-x0+λ1c+cλ1

y1=-y0λ1

代入橢圓方程得

b2（λ1c+x0+c）2+a2y20=a2b2λ21，

又P（x0，y0）在橢圓上，即有a2y20=a2b2-b2x20，代入上式并化簡得

b2λ21-2（cx0+c2）λ1-a2-c2-2cx0=0解得λ1=a2+c2+2cx0b2或λ1=-1（舍），

同理可得λ2=a2+c2-2cx0b2，

∴λ1+λ2=a2+c2+2cx0b2+a2+c2-2cx0b2=2a2+2c2b2=4a2-2b2b2為定值.

評注：解題初始從向量條件解出A點坐標，再代入橢圓方程的作用在于把“A點在橢圓上”這個已知條件轉(zhuǎn)化為λ1的條件，直接暴露目標的特征，為證明結(jié)論做好鋪墊.這本身就是轉(zhuǎn)化思想在指引解題.

在解決直線與圓錐曲線相關(guān)問題時，既要關(guān)注思路方法的探尋，也要著意運算的錘煉，解題過程要有求簡意識，在解題過程中不斷積累經(jīng)驗，總結(jié)感悟，實際上，相關(guān)策略并不是孤立的，往往需要綜合考慮，穿插使用，相互補充，才能達到變難為易，化繁為簡的效果.

（作者：于泳，江蘇省贛榆高級中學）